Кіріспе
Көптүзекті алгебрадағы әмбебап құрылыс. Математикада V векторлық кеңістігінің тензорлық алгебрасы, T(V) немесе T(V) деп белгіленеді, V-дегі тензорлардың алгебрасы (кез келген рангіде), мүшелеуі тензорлық көбейту болып табылады. Бұл V-дегі бос алгебра, алгебралардан векторлық кеңістіктерге дейінгі ұмыту функторының сол жақ қосымшасы ретінде: бұл V-ді қамтитын "ең жалпы" алгебра, сәйкес әмбебап қасиет мағынасында (төменде қараңыз). Тензорлық алгебра маңызды, себебі көптеген басқа алгебралар T(V)-нің фактор-алгебралары ретінде туындайды. Оларға сыртқы алгебра, симметриялық алгебра, Клиффорд алгебралары, Вейль алгебрасы және әмбебап орау алгебрасы жатады. Тензорлық алгебраның екі коалгебра құрылымы бар; біреуі қарапайым, ол оны биалгебра етпейді, бірақ кобос коалгебра тұжырымына әкеледі, ал екіншісі күрделі, ол биалгебраны береді және Хопф алгебра құрылымын жасау үшін антипод беру арқылы кеңейтілуі мүмкін. Ескерту: Бұл мақалада барлық алгебралар бірлікке ие және ассоциативті деп есептеледі. Копродуктті анықтау үшін бірлік нақты түрде қажет.
In mathematics, the tensor algebra of a vector space V, denoted T(V) or T(V), is the algebra of tensors on V (of any rank) with multiplication being the tensor product. It is the free algebra on V, in the sense of being left adjoint to the forgetful functor from algebras to vector spaces: it is the "most general" algebra containing V, in the sense of the corresponding universal property (see below). The tensor algebra is important because many other algebras arise as quotient algebras of T(V). These include the exterior algebra, the symmetric algebra, Clifford algebras, the Weyl algebra and universal enveloping algebras. The tensor algebra also has two coalgebra structures; one simple one, which does not make it a bialgebra, but does lead to the concept of a cofree coalgebra, and a more complicated one, which yields a bialgebra, and can be extended by giving an antipode to create a Hopf algebra structure. Note: In this article, all algebras are assumed to be unital and associative. The unit is explicitly required to define the coproduct.
Коммутативті емес көптіктер
Егер V-дің өлшемі n-ге тең болса, тензорлық алгебраны қарастырудың тағы бір жолы – "n ауыспалы емес айнымалылардағы К саңлағындағы көпмүшелер алгебрасы". V үшін негізгі векторларды алғанда, олар T(V)-де ассоциативтілік, таралу заңы және К-сызықтылықтан басқа шектеулерге бағынбайтын ауыспалы емес айнымалыларға (немесе белгісіздерге) айналады. V-дегі көпмүшелер алгебрасы емес екенін ескеріңіз: V-дегі (гомогенді) сызықтық функция – бұл элемент, мысалы, векторлық кеңістіктегі координаттар ковекторлар болып табылады, себебі олар векторды қабылдап, скаляр береді (вектордың сәйкес координатасы).
Квотиенттер
Тензорлық алгебраның жалпылығының арқасында, көптеген басқа да қызығушылық тудыратын алгебраларды тензорлық алгебрадан бастап, генераторларға белгілі бір қатынастар қойып, яғни T(V) тензорлық алгебрасының коэффициенттік алгебраларын құрастыру арқылы жасауға болады. Мысалдарға сыртқы алгебра, симметриялық алгебра, Клиффорд алгебралары, Вейль алгебрасы және әмбебап орау алгебрасы жатады.
Көмір алгебрасы
Тензорлық алгебраның екі түрлі коалгебралық құрылымы бар. Бірі тензорлық көбейтіндімен үйлесімді, сондықтан оны биалгебраға дейін кеңейтуге болады, ал одан әрі антиподпен Хопф алгебрасының құрылымына жеткізуге болады. Екінші құрылым, қарапайым болғанымен, биалгебраға дейін кеңейтілмейді. Бірінші құрылым төменде егжей-тегжейлі қарастырылады; екінші құрылым көмірсіз коалгебра туралы бөлімде келтірілген. Төменде ұсынылған әдістеме сыртқы алгебраға да қолданылуы мүмкін, тензор символының орнына клин символын пайдалана отырып; сыртқы алгебра элементтерін ауыстырғанда таңбаны да ескеру қажет. Бұл сәйкестік биалгебраның және Хопф алгебрасының анықтамалары арқылы жалғасады. Яғни, сыртқы алгебраға да Хопф алгебралық құрылым беруге болады. Сол сияқты, симметриялық алгебраға да дәл сол тәсілмен Хопф алгебрасының құрылымын беруге болады, тензорлық көбейтіндіні симметрияланған тензорлық көбейтіндімен ауыстыру арқылы, яғни, онда . Бұл әр жағдайда мүмкін, өйткені кезектесетін көбейтінді және симметриялық көбейтінді биалгебра мен Хопф алгебрасының анықтамасы үшін қажетті тұрақтылық шарттарын қанағаттандырады; мұны төменде көрсетілгендей нақты тексеруге болады. Егер өнім осы тұрақтылық шарттарын қанағаттандырса, конструкция сәтті аяқталады; егер мұндай өнім үлестік кеңістікке әкелсе, онда үлестік кеңістік Хопф алгебрасының құрылымын мұралайды. Категория теориясының тілінде, K векторлық кеңістіктер санатынан K ассоциативтік алгебралар санатына T функторы бар деуге болады. Бірақ сонымен қатар, Λ функторы векторлық кеңістіктерді сыртқы алгебралар санатына, ал Sym функторы векторлық кеңістіктерді симметриялық алгебраларға жібереді. T-ден олардың әрқайсысына табиғи бейнелеу бар. Квотиенттің Хопф алгебрасының құрылымын сақтауды тексеру, бейнелеулердің шын мәнінде табиғи екенін тексерумен бірдей.
In each case, this is possible because the alternating product and the symmetric product obey the required consistency conditions for the definition of a bialgebra and Hopf algebra; this can be explicitly checked in the manner below. Whenever one has a product obeying these consistency conditions, the construction goes through; insofar as such a product gave rise to a quotient space, the quotient space inherits the Hopf algebra structure. In the language of category theory, one says that there is a functor T from the category of K vector spaces to the category of K associative algebras. But there is also a functor Λ taking vector spaces to the category of exterior algebras, and a functor Sym taking vector spaces to symmetric algebras. There is a natural map from T to each of these. Verifying that quotienting preserves the Hopf algebra structure is the same as verifying that the maps are indeed natural.
Биалгебра
Биалгебра көбейтуді де, қосарлануды да анықтайды және олардың бір-бірімен сәйкес келуін қажет етеді.
Кофри кокомплекттік көміргебрасы
Тензорлық алгебрада жоғарыда көрсетілгеннен қарапайым басқа копродуктті анықтауға болады. Ол былай беріледі:
Мұнда, бұрынғыдай, нотациялық тәсіл қолданылады (яғни, еске сала кетейік). Бұл копродукт коалгебраны тудырады. Ол T(V∗) алгебрасының құрылымына дуалды коалгебраны сипаттайды, мұнда V∗ – V → F сызықтық бейнелеулерінің дуалдық векторлық кеңістігін білдіреді. Тензорлық алгебра еркін алгебра болғандай, сәйкес коалгебра кокомплектті коеркін деп аталады. Әдеттегі көбейту арқылы бұл биалгебра емес. Оны көбейтіндісімен биалгебраға айналдыруға болады, мұнда (i, j) – биномдық коэффициентті білдіреді. Бұл биалгебра бөлінген қуаттардың Хопф алгебрасы деп белгілі. Бұл және басқа коалгебра арасындағы айырмашылық ең оңай түрде терминде көрінеді. Мұнда, мынадай теңдік орындалады:
мұндағы , бұл бұрынғыға қарағанда шатастырылмаған мүшесіз екені анық.