Введение

Универсальная конструкция в многолинейной алгебре
В математике тензорная алгебра векторного пространства V, обозначаемая T(V), является алгеброй тензоров на V (любого ранга), где умножение задается тензорным произведением. Это свободная алгебра над V, в том смысле, что она является левым сопряженным к забывающему функтору из алгебр в векторные пространства: это "наиболее общая" алгебра, содержащая V, в смысле соответствующего универсального свойства (см. ниже). Тензорная алгебра важна, поскольку многие другие алгебры возникают как фактор-алгебры T(V). К ним относятся внешняя алгебра, симметричная алгебра, алгебры Клиффорда, алгебра Вейля и универсальные обволакивающие алгебры. Тензорная алгебра также обладает двумя коалгебраическими структурами: одна простая, которая не делает её биалгеброй, но приводит к понятию косвободной коалгебры, и более сложная, которая порождает биалгебру и может быть расширена добавлением антипода для создания структуры алгебры Хопфа. Примечание: В данной статье все алгебры считаются унитальными и ассоциативными. Единица явно требуется для определения копроизведения.

Некоммутативные полиномы

Если V имеет конечную размерность n, то тензорную алгебру можно рассматривать и как "алгебру многочленов над K от n некоммутирующих переменных". Если взять базисные векторы для V, то они становятся некоммутирующими переменными (или неопределённостями) в T(V), подчиняющимися лишь законам ассоциативности, дистрибутивности и K-линейности, но никаким другим ограничениям. Важно отметить, что алгебра многочленов *на* V – это не , а скорее : (однородная) линейная функция на V является элементом , например, координаты на векторном пространстве – это ковекторы, поскольку они принимают на вход вектор и выдают скаляр (соответствующую координату вектора).

Коэффициенты

Из-за общности тензорной алгебры, многие другие интересующие алгебры можно построить, начиная с тензорной алгебры и затем накладывая определенные соотношения на образующие, то есть, конструируя определенные фактор-алгебры T(V). Примерами этого служат внешняя алгебра, симметричная алгебра, алгебры Клиффорда, алгебра Вейля и универсальные обволакивающие алгебры.

Алгебра

Тензорная алгебра имеет две различные структуры коалгебры. Одна совместима с тензорным произведением и, следовательно, может быть расширена до биалгебры, а затем, с помощью антипода, до структуры алгебры Хопфа. Другая структура, хотя и проще, не может быть расширена до биалгебры. Первая структура рассматривается непосредственно ниже, а вторая – в разделе, посвященном кофри-коалгебре, расположенном далее. Приведенное ниже построение может быть также применено к внешней алгебре, используя символ клина вместо символа тензорного произведения; при перестановке элементов внешней алгебры также необходимо учитывать знак. Это соответствие сохраняется и при определении биалгебры, и при определении алгебры Хопфа. То есть, внешней алгебре также можно придать структуру алгебры Хопфа. Аналогично, симметричной алгебре также можно придать структуру алгебры Хопфа точно таким же образом, заменяя везде тензорное произведение симметризованным тензорным произведением, то есть произведением, где.

В каждом случае это возможно, поскольку чередующееся произведение и симметричное произведение удовлетворяют необходимым условиям согласованности для определения биалгебры и алгебры Хопфа, что можно явно проверить ниже. Всякий раз, когда произведение удовлетворяет этим условиям согласованности, построение выполняется; если такое произведение порождает фактор-пространство, то фактор-пространство наследует структуру алгебры Хопфа. На языке теории категорий можно сказать, что существует функтор T из категории K-векторных пространств в категорию K-ассоциативных алгебр. Но существует также функтор Λ, отображающий векторные пространства в категорию внешних алгебр, и функтор Sym, отображающий векторные пространства в симметричные алгебры. Существует естественное отображение из T в каждый из них. Проверка того, что фактор-пространство сохраняет структуру алгебры Хопфа, эквивалентна проверке того, что эти отображения действительно естественны.

Биалгебра

Биалгебра определяет умножение и соумножение и требует их совместимости.

Кофре Кокомплект Коалгебра

Можно определить другой сопродукт на тензорной алгебре, более простой, чем описанный выше. Он задается следующим образом:

Здесь, как и ранее, используется нотационный прием (вспоминая, что тривиально). Этот сопродукт порождает коалгебру. Он описывает коалгебру, дуальную алгебраической структуре на T(V*), где V* обозначает двойственное векторное пространство линейных отображений V → F. Подобно тому, как тензорная алгебра является свободной алгеброй, соответствующая коалгебра называется кокомплитной свободной коалгеброй. С обычным произведением это не биалгебра. Её можно превратить в биалгебру с произведением, где (i, j) обозначает биномиальный коэффициент для . Эта биалгебра известна как алгебра Хопфа делительной степени. Различие между этой и другой коалгеброй наиболее заметно в члене . Здесь имеем, что

для , что явно не хватает перемешанного члена по сравнению с предыдущим случаем.