Кіріспе
Функциясы белгісіз теңдеу. Математикада функционалдық теңдеу – ең кең мағынасында, бір немесе бірнеше функциялар белгісіз ретінде келетін теңдеу. Сондықтан, дифференциалдық теңдеулер мен интегралдық теңдеулер – функционалдық теңдеулер болып табылады. Дегенмен, көбінесе функционалдық теңдеу – бір функцияның бірнеше мәнін байланыстыратын теңдеу ретінде қарастырылады. Мысалы, логарифмдік функциялар негізінен логарифмдік функционалдық теңдеу арқылы сипатталады. Егер белгісіз функцияның анықталу облысы натурал сандар болса, функция әдетте тізбек ретінде қарастырылады, және осы жағдайда функционалдық теңдеу (тар мағынада) рекурренттік қатынас деп аталады. Осылайша, функционалдық теңдеу термині негізінен нақты және комплекс функциялар үшін қолданылады. Сонымен қатар, шешімдер үшін көбінесе тегіс болу шарты қолданылады, себебі мұндай шартсыз көптеген функционалдық теңдеулердің өте тұрақсыз шешімдері болады. Мысалы, гамма функциясы – функционалдық теңдеуді және бастапқы мәнді қанағаттандыратын функция. Бұл шарттарды қанағаттандыратын көптеген функциялар бар, бірақ гамма функциясы – бүкіл комплекс жазықтықта мероморфты және x нақты және оң болғанда логарифмдік дөңгелек (Бохр-Моллеруп теоремасы).
In mathematics, a functional equation
is, in the broadest meaning, an equation in which one or several functions appear as unknowns. So, differential equations and integral equations are functional equations. However, a more restricted meaning is often used, where a functional equation is an equation that relates several values of the same function. For example, the logarithm functions are essentially characterized by the logarithmic functional equation
If the domain of the unknown function is supposed to be the natural numbers, the function is generally viewed as a sequence, and, in this case, a functional equation (in the narrower meaning) is called a recurrence relation. Thus the term functional equation is used mainly for real functions and complex functions. Moreover a smoothness condition is often assumed for the solutions, since without such a condition, most functional equations have very irregular solutions. For example, the gamma function is a function that satisfies the functional equation and the initial value There are many functions that satisfy these conditions, but the gamma function is the unique one that is meromorphic in the whole complex plane, and logarithmically convex for x real and positive (Bohr–Mollerup theorem).
Шешім
Элементарлық функционалдық теңдеулерді шешудің бір әдісі – алмастыру. Кейбір функционалдық теңдеулердің шешімдері сюръективтілік, инъективтілік, тақ функция болу және жұп функция болу қасиеттерін пайдаланды. Кейбір функционалдық теңдеулер ансацтар мен математикалық индукция қолданылып шешілген. Функционалдық теңдеулердің кейбір түрлері компьютерлік көмекпен шешуге болады. Динамикалық бағдарламалауда Беллманның функционалдық теңдеуін шешу үшін түрлі жақын шамалау әдістері қолданылады, оның ішінде бекітілген нүктелік итерацияларға негізделген әдістер де бар.