Введение

Уравнение, неизвестной которого является функция

В математике функциональное уравнение, в самом широком смысле, – это уравнение, в котором одна или несколько функций выступают в качестве неизвестных. Таким образом, дифференциальные и интегральные уравнения являются функциональными уравнениями. Однако часто используется более узкое определение, согласно которому функциональное уравнение – это уравнение, связывающее различные значения одной и той же функции. Например, логарифмические функции по сути характеризуются логарифмическим функциональным уравнением.

Если область определения неизвестной функции – натуральные числа, то функция обычно рассматривается как последовательность, и в этом случае функциональное уравнение (в узком смысле) называется рекуррентным соотношением. Таким образом, термин «функциональное уравнение» используется преимущественно для вещественных и комплексных функций. Кроме того, для решений часто предполагается условие гладкости, поскольку без него большинство функциональных уравнений имеют весьма нерегулярные решения. Например, гамма-функция – это функция, удовлетворяющая функциональному уравнению и начальному условию. Существует множество функций, удовлетворяющих этим условиям, но гамма-функция является единственной, которая мероморфна во всей комплексной плоскости и логарифмически выпукла для действительных и положительных x (теорема Бора — Моллерупа).

Решение

Один из методов решения элементарных функциональных уравнений — подстановка. В решениях некоторых функциональных уравнений использовались свойства сюръективности, инъективности, нечётности и чётности. Некоторые функциональные уравнения решались с помощью предположений (анзацев) и математической индукции. Некоторые классы функциональных уравнений можно решать с использованием компьютерных методов. В динамическом программировании для решения функционального уравнения Беллмана применяются различные методы последовательных приближений, в том числе методы, основанные на итерациях по фиксированной точке.