Кіріспе
Алгебралық құрылым
In algebra, given a module and a submodule, one can construct their quotient module. This construction, described below, is very similar to that of a quotient vector space. It differs from analogous quotient constructions of rings and groups by the fact that in these cases, the subspace that is used for defining the quotient is not of the same nature as the ambient space (that is, a quotient ring is the quotient of a ring by an ideal, not a subring, and a quotient group is the quotient of a group by a normal subgroup, not by a general subgroup). Given a module A over a ring R, and a submodule B of A, the quotient space A/B is defined by the equivalence relation
if and only if
for any a, b in A. The elements of A/B are the equivalence classes The function sending a in A to its equivalence class a + B is called the quotient map or the projection map, and is a module homomorphism. The addition operation on A/B is defined for two equivalence classes as the equivalence class of the sum of two representatives from these classes; and scalar multiplication of elements of A/B by elements of R is defined similarly. Note that it has to be shown that these operations are well defined. Then A/B becomes itself an R module, called the quotient module. In symbols, for all a, b in A and r in R:
Алгебрада модуль және субмодуль берілген болса, олардың коэффициент модулін құрастыруға болады. Төменде сипатталған бұл құрылым квозиент векторлық кеңістіктің құрылысына өте ұқсас. Ол сақиналар мен топтардың ұқсас үлестік құрылымдарынан ерекшеленеді, өйткені бұл жағдайларда үлестікті анықтау үшін қолданылатын қосалқы кеңістік, қоршаған кеңістікпен бірдей сипатта болмайды (яғни, үлестікті сақина – бұл сақинаның идеалмен, субсақинамен емес, ал үлестікті топ – бұл топтың қалыпты субтобымен, жалпы субтоппен емес, бөлінуі). R сақинасы бойынша A модулі және A-ның B субмодулі берілген болса, A/B үлестік кеңістігі, егер және тек қана егер кез келген a, b ∈ A үшін,
In algebra, given a module and a submodule, one can construct their quotient module. This construction, described below, is very similar to that of a quotient vector space. It differs from analogous quotient constructions of rings and groups by the fact that in these cases, the subspace that is used for defining the quotient is not of the same nature as the ambient space (that is, a quotient ring is the quotient of a ring by an ideal, not a subring, and a quotient group is the quotient of a group by a normal subgroup, not by a general subgroup). Given a module A over a ring R, and a submodule B of A, the quotient space A/B is defined by the equivalence relation
if and only if
for any a, b in A. The elements of A/B are the equivalence classes The function sending a in A to its equivalence class a + B is called the quotient map or the projection map, and is a module homomorphism. The addition operation on A/B is defined for two equivalence classes as the equivalence class of the sum of two representatives from these classes; and scalar multiplication of elements of A/B by elements of R is defined similarly. Note that it has to be shown that these operations are well defined. Then A/B becomes itself an R module, called the quotient module. In symbols, for all a, b in A and r in R:
теңдестік қатынасымен анықталады. A/B элементтері эквиваленттік сыныптар болып табылады. A-дағы a-ны оның эквиваленттік класына a + B-ға жіберу функциясы коэффициенттік карта немесе проекциялық карта деп аталады және модульдік гомоморфизм болып табылады. A/B-дағы қосу операциясы екі эквиваленттік сынып үшін осы сыныптардан алынған екі өкілдің қосындысының эквиваленттік класы ретінде анықталады; ал A/B элементтерін R элементтерімен скалярлық көбейту де осылай анықталады. Бұл операциялардың дұрыс анықталғанын көрсету қажет. Содан кейін A/B өзі R модуліне айналады, ол коэффициент модулі деп аталады. Белгілермен, барлық a, b ∈ A және r ∈ R үшін:
In algebra, given a module and a submodule, one can construct their quotient module. This construction, described below, is very similar to that of a quotient vector space. It differs from analogous quotient constructions of rings and groups by the fact that in these cases, the subspace that is used for defining the quotient is not of the same nature as the ambient space (that is, a quotient ring is the quotient of a ring by an ideal, not a subring, and a quotient group is the quotient of a group by a normal subgroup, not by a general subgroup). Given a module A over a ring R, and a submodule B of A, the quotient space A/B is defined by the equivalence relation
if and only if
for any a, b in A. The elements of A/B are the equivalence classes The function sending a in A to its equivalence class a + B is called the quotient map or the projection map, and is a module homomorphism. The addition operation on A/B is defined for two equivalence classes as the equivalence class of the sum of two representatives from these classes; and scalar multiplication of elements of A/B by elements of R is defined similarly. Note that it has to be shown that these operations are well defined. Then A/B becomes itself an R module, called the quotient module. In symbols, for all a, b in A and r in R:
Мысалдар
Көптама сақинасын, \R[X] нақты коэффициенттерімен, және \R[X] модулін қарастырайық. А модулінің субмодулін қарастырайық, яғни -ға бөлінетін барлық көптамалардың субмодулін. Осы модульмен анықталатын эквиваленттілік қатынасы мынадай болады: P(X) ~ Q(X) егер және тек қана P(X) және Q(X) -ты бөлгенде бірдей қалдық берсе. Сондықтан, A/B коэффициенттік модулінде , 0-ге тең болады; демек, A/B-ні \R[X]-тан -ты 0-ге тең деп қойып алу арқылы алынғандай қарастыруға болады. Бұл коэффициенттік модуль кешенді сандарға изоморфты, оларды нақты сандар \R үстінен модуль ретінде қарастырғанда.
of A, that is, the submodule of all polynomials divisible by It follows that the equivalence relation determined by this module will be
P(X) ~ Q(X) if and only if P(X) and Q(X) give the same remainder when divided by
Therefore, in the quotient module A/B, is the same as 0; so one can view A/B as obtained from \R[X] by setting This quotient module is isomorphic to the complex numbers, viewed as a module over the real numbers \R.