Введение

Алгебраическая конструкция

В алгебре, задав модуль и подмодуль, можно построить их фактормодуль. Эта конструкция, описанная ниже, очень похожа на построение факторного векторного пространства. Она отличается от аналогичных построений факторколец и факторгрупп тем, что в этих случаях подпространство, используемое для определения фактора, не имеет той же природы, что и исходное пространство (то есть факторкольцо является фактором кольца по идеалу, а не по подкольцу, а факторгруппа является фактором группы по нормальной подгруппе, а не по произвольной подгруппе). Пусть дан модуль A над кольцом R и подмодуль B модуля A. Факторпространство A/B определяется отношением эквивалентности:

если и только если

для любых a, b из A. Элементы A/B – это классы эквивалентности. Функция, отображающая a из A в его класс эквивалентности a + B, называется факторным отображением или проекцией и является гомоморфизмом модулей. Операция сложения в A/B определяется для двух классов эквивалентности как класс эквивалентности суммы двух представителей из этих классов; а скалярное умножение элементов A/B на элементы R определяется аналогично. Следует отметить, что необходимо показать, что эти операции корректно определены. Тогда A/B само становится R-модулем, называемым фактормодулем. В символах, для всех a, b из A и r из R:

Примеры

Рассмотрим кольцо многочленов R[X] с действительными коэффициентами и модуль R[X]. Рассмотрим подмодуль A, то есть подмодуль всех многочленов, делящихся на . Следовательно, отношение эквивалентности, определяемое этим модулем, будет следующим: P(X) ~ Q(X) тогда и только тогда, когда P(X) и Q(X) дают один и тот же остаток при делении на . Поэтому в фактормодуле A/B, эквивалентно 0; таким образом, можно рассматривать A/B как полученный из R[X] путем приравнивания к нулю. Этот фактормодуль изоморфен комплексным числам, рассматриваемым как модуль над действительными числами R.