Кіріспе
Математикада фрейм бунделі – кез келген векторлық бундель E-ге қатысты негізгі талшықтық бундель F(E) болып табылады. F(E) бунделинің x нүктесіндегі талшығы – Ex үшін барлық реттелген негіздердің немесе фреймдердің жиыны. Жалпы сызықтық топ негізді өзгерту арқылы F(E) бойынша табиғи түрде әрекет етеді, бұл фрейм бунделіне негізгі GL(k, ℝ) бунделинің құрылымын береді (мұнда k – E бунделинің рангі). Жұпсызданған кеңістіктің фрейм бунделі оның жанама бунделимен байланысты. Сондықтан оны кейде жанама фрейм бунделі деп атайды.
Тангентті рамалық бульон
Тегіс көпқырлы M-нің тангенстік бунделі (немесе жай ғана фрейм бунделі) – M-нің тангенстік бунделіне қатысты фрейм бунделі. M-нің фрейм бунделі көбінесе F(TM) орнына FM немесе GL(M) деп белгіленеді. Егер M n-өлшемді болса, онда тангенстік бундельдің дәрежесі n-ге тең, сондықтан M-нің фрейм бунделі – M-дегі GL(n, ℝ) негізгі бунделі.
Тегіс рамалар
M-нің фрейм бунделінің жергілікті қималары M-дегі тегіс фреймдер деп аталады. Бас бунделдерге қатысты қима теоремасы, фрейм бунделі U-дегі M-де тегіс фрейм болатын кез келген ашық жиынтықта тривиалды екенін көрсетеді. Егер s : U → FU тегіс фрейм болса, онда ψ : FU → U × GL(n, ℝ) тривиализациясы мына түрде беріледі:
мұнда p – x нүктесіндегі фрейм. Осыдан, көпқырлы параллельдеуге болатыны, M-нің фрейм бунделі жаһандық қимаға ие болған жағдайда ғана мүмкін екені шығады. M-нің жанама бунделі M-нің координаталық аймақтарында тривиалды болғандықтан, фрейм бунделі де тривиалды болады. Шындығында, (x₁, …, xₙ) координаттары бар кез келген координаталық аймақ U үшін, координаталық векторлық өрістер
U-да тегіс фреймді анықтайды. Фрейм бунделдерімен жұмыс істеудің артықшылықтарының бірі – олар координаттық фреймдерден өзге фреймдермен жұмыс істеуге мүмкіндік береді; қолдағы мәселеге сәйкес фреймді таңдауға болады. Бұл кейде жылжымалы фреймдер әдісі деп аталады.
Тінтуір пішіні
Многообразие M-ның фрейм бунделі – негізгі бундельдің ерекше түрі, себебі оның геометриясы M-ның геометриясымен тығыз байланысты. Бұл қатынасты FM-дегі векторлік мәнді 1-форма арқылы көрсетуге болады, ол дәнекерлеу формасы (немесе фундаментальды немесе тавтологиялық 1-форма) деп аталады. Егер x – M многообразиеның нүктесі болса, ал p – x нүктесіндегі кадр болса, онда
is a linear isomorphism of Rn with the tangent space of M at x. The solder form of FM is the Rn valued 1 form θ defined by
where ξ is a tangent vector to FM at the point (x,p), and p−1 : TxM → Rn is the inverse of the frame map, and dπ is the differential of the projection map π : FM → M. The solder form is horizontal in the sense that it vanishes on vectors tangent to the fibers of π and right equivariant in the sense that
where Rg is right translation by g ∈ GL(n, R). A form with these properties is called a basic or tensorial form on FM. Such forms are in 1 1 correspondence with TM valued 1 forms on M which are, in turn, in 1 1 correspondence with smooth bundle maps TM → TM over M. Viewed in this light θ is just the identity map on TM. As a naming convention, the term "tautological one form" is usually reserved for the case where the form has a canonical definition, as it does here, while "solder form" is more appropriate for those cases where the form is not canonically defined. This convention is not being observed here.
Rn-нің x нүктесіндегі M-ның жанама кеңістігімен сызықтық изоморфизм болады. FM-нің дәнекерлеу формасы – Rn-ге тең 1-форма θ, мұнда ξ – (x, p) нүктесінде FM-ге жанасатын вектор, ал p⁻¹ : TxM → Rn – кадрлық бейнелеудің керісі, ал dπ – проекциялық бейнелеудің дифференциалы π : FM → M. Дәнекерлеу формасы горизонтальды, яғни π талшықтарына жанасатын векторлар үшін нөлге тең, және оң теңдестікті сақтайды, яғни
is a linear isomorphism of Rn with the tangent space of M at x. The solder form of FM is the Rn valued 1 form θ defined by
where ξ is a tangent vector to FM at the point (x,p), and p−1 : TxM → Rn is the inverse of the frame map, and dπ is the differential of the projection map π : FM → M. The solder form is horizontal in the sense that it vanishes on vectors tangent to the fibers of π and right equivariant in the sense that
where Rg is right translation by g ∈ GL(n, R). A form with these properties is called a basic or tensorial form on FM. Such forms are in 1 1 correspondence with TM valued 1 forms on M which are, in turn, in 1 1 correspondence with smooth bundle maps TM → TM over M. Viewed in this light θ is just the identity map on TM. As a naming convention, the term "tautological one form" is usually reserved for the case where the form has a canonical definition, as it does here, while "solder form" is more appropriate for those cases where the form is not canonically defined. This convention is not being observed here.
мұнда Rg – g ∈ GL(n, ℝ) арқылы оңға жылжу. Осы қасиеттері бар форма FM-де негізгі немесе тензорлық форма деп аталады. Атау бойынша, "тавтологиялық бір форма" термині әдетте форманың канондық анықтамасы болған жағдайларда қолданылады, ал "дәнекерлеу формасы" форманың канондық анықтамасы жоқ жағдайларда қолайлырақ. Бұл конвенция осы жерде сақталмайды.
is a linear isomorphism of Rn with the tangent space of M at x. The solder form of FM is the Rn valued 1 form θ defined by
where ξ is a tangent vector to FM at the point (x,p), and p−1 : TxM → Rn is the inverse of the frame map, and dπ is the differential of the projection map π : FM → M. The solder form is horizontal in the sense that it vanishes on vectors tangent to the fibers of π and right equivariant in the sense that
where Rg is right translation by g ∈ GL(n, R). A form with these properties is called a basic or tensorial form on FM. Such forms are in 1 1 correspondence with TM valued 1 forms on M which are, in turn, in 1 1 correspondence with smooth bundle maps TM → TM over M. Viewed in this light θ is just the identity map on TM. As a naming convention, the term "tautological one form" is usually reserved for the case where the form has a canonical definition, as it does here, while "solder form" is more appropriate for those cases where the form is not canonically defined. This convention is not being observed here.
Ортонормалды фреймдік түйін
Егер векторлық топтама E Римандық топтама метрикасымен жабдықталған болса, онда әрбір Ex талшығы тек векторлық кеңістік ғана емес, сонымен қатар ішкі көбейту кеңістігі болып табылады. Осыдан кейін Ex үшін барлық ортонормальды кадрлар жиыны туралы сөйлесуге болады. Ex ортонормальды кадры – Ex үшін ортонормальды база немесе, балама ретінде, Rk стандартты Евклид метрикасымен жабдықталған сызықтық изометрия. Ортгоналдық топ O(k) оң жақтан құрастыру арқылы барлық ортонормальды кадрлар жиынына еркін және транзитивті әрекет етеді. Басқаша айтқанда, барлық ортонормальды кадрлар жиыны – оң жақты O(k) торсор. E ортонормальды кадрлар бунделі, FO(E) деп белгіленеді, – X базалық кеңістіктегі әрбір x нүктесіндегі барлық ортонормальды кадрлар жиыны. Оны қарапайым кадрлар бунделін құрастыруға ұқсас әдіспен құрастыруға болады. k дәрежелі Римандық векторлық бунделінің ортонормальды кадрлар бунделі E → X – X үстінен негізгі O(k) бунделі. Бұл құрылыс тегіс санатта да жақсы жұмыс істейді. Егер E векторлық бунделі бағытталған болса, онда E-нің бағытталған ортонормальды кадрлар бунделін, FSO(E) деп белгіленеді, барлық оң бағытталған ортонормальды кадрлардың негізгі SO(k) бунделі ретінде анықтауға болады. Егер M – n өлшемді Римандық көпқырлы болса, онда M ортонормальды кадрлар бунделі, FOM немесе O(M) деп белгіленеді, M тангенциалдық бунделіне байланысты ортонормальды кадрлар бунделі (ол анықтамасы бойынша Римандық метрикамен жабдықталған). Егер M бағытталған болса, онда FSOM бағытталған ортонормальды кадрлар бунделі де болады. Римандық векторлық бунделі E берілген болса, ортонормальды кадрлар бунделі жалпы сызықтық кадрлар бунделінің O(k) негізгі суббунделі болып табылады. Басқаша айтқанда, кіріктіру картасы – негізгі бундель картасы. FO(E) – FGL(E) құрылымдық тобының GL(k, R)-ден O(k)-ға дейін қысқартылуы деуге болады.
where Rk is equipped with the standard Euclidean metric. The orthogonal group O(k) acts freely and transitively on the set of all orthonormal frames via right composition. In other words, the set of all orthonormal frames is a right O(k) torsor. The orthonormal frame bundle of E, denoted FO(E), is the set of all orthonormal frames at each point x in the base space X. It can be constructed by a method entirely analogous to that of the ordinary frame bundle. The orthonormal frame bundle of a rank k Riemannian vector bundle E → X is a principal O(k) bundle over X. Again, the construction works just as well in the smooth category. If the vector bundle E is orientable then one can define the oriented orthonormal frame bundle of E, denoted FSO(E), as the principal SO(k) bundle of all positively oriented orthonormal frames. If M is an n dimensional Riemannian manifold, then the orthonormal frame bundle of M, denoted FOM or O(M), is the orthonormal frame bundle associated to the tangent bundle of M (which is equipped with a Riemannian metric by definition). If M is orientable, then one also has the oriented orthonormal frame bundle FSOM. Given a Riemannian vector bundle E, the orthonormal frame bundle is a principal O(k) subbundle of the general linear frame bundle. In other words, the inclusion map
is principal bundle map. One says that FO(E) is a reduction of the structure group of FGL(E) from GL(k, R) to O(k).
G-құрылыстары
Егер тегіс М көпқабаттысы қосымша құрылыммен келсе, онда берілген құрылымға бейімделген М толық кадрлық бунделінің кіші бунделін қарастыру жиі табиғи. Мысалы, егер M — Римандық көпқабатты болса, онда M-нің ортонормальды кадрлық бунделін қарастыру табиғи. Ортонормальды кадрлық бундель — FGL(M) құрылым тобының ортогональды топқа O(n) дейін қысқартылуы ғана. Жалпы, егер M — тегіс n-көпқабатты болса және G — GL(n, ℝ) Ли тобының ішкі тобы болса, онда M-дегі G-құрылымын FGL(M) құрылым тобының G-ге дейін қысқартылуы ретінде анықтаймыз. Бұл M-дегі G-нің негізгі FG(M) бунделі және G-эквивариантты бундельдік бейнелеу. Осы тілде M-дегі Риман метрикасы M-дегі O(n) құрылымын тудырады. Кез келген бағдарланған көпқабаттыда бағдарланған кадрлық бундель болады, ол М-де GL+(n, ℝ) құрылымы. М-дегі көлем формасы М-де SL(n, ℝ) құрылымын анықтайды. 2n-өлшемді симплектикалық көпқабаттыда табиғи Sp(2n, ℝ) құрылымы бар. 2n-өлшемді кешенді немесе дерлік кешенді көпқабаттыда табиғи GL(n, ℂ) құрылымы бар. Көптеген жағдайларда M-дегі G-құрылымы M-дегі сәйкес құрылымды бірден анықтайды. Мысалы, M-дегі SL(n, ℝ) құрылымы M-дегі көлемдік форманы анықтайды. Алайда, кейбір жағдайларда, мысалы, симплектикалық және кешенді көпқабаттылар үшін қосымша интегралдану шарты қажет. M-дегі Sp(2n, ℝ) құрылымы M-дегі дегенерацияланбаған 2-форманы бірден анықтайды, бірақ M-нің симплектикалық болуы үшін бұл 2-форма да жабық болуы керек.
over M.
In this language, a Riemannian metric on M gives rise to an O(n) structure on M. The following are some other examples. Every oriented manifold has an oriented frame bundle which is just a GL+(n, R) structure on M.
A volume form on M determines a SL(n, R) structure on M.
A 2n dimensional symplectic manifold has a natural Sp(2n, R) structure. A 2n dimensional complex or almost complex manifold has a natural GL(n, C) structure. In many of these instances, a G structure on M uniquely determines the corresponding structure on M. For example, a SL(n, R) structure on M determines a volume form on M. However, in some cases, such as for symplectic and complex manifolds, an added integrability condition is needed. A Sp(2n, R) structure on M uniquely determines a nondegenerate 2 form on M, but for M to be symplectic, this 2 form must also be closed.