Введение

В математике, расслоение фреймов — это главное расслоение с волокнами F(E), ассоциированное с любым векторным расслоением E. Волокно F(E) над точкой x — это множество всех упорядоченных базисов, или фреймов, для Ex. Общая линейная группа действует естественным образом на F(E) посредством изменения базиса, наделяя расслоение фреймов структурой главного GL(k, R)-расслоения (где k — ранг E). Расслоение фреймов гладкого многообразия — это расслоение, ассоциированное с его касательным расслоением. По этой причине его иногда называют касательным расслоением фреймов.

Тангентная рамка

Тангентный расслоение рамки (или просто расслоение рамки) гладкого многообразия M — это расслоение рамки, ассоциированное с тангентным расслоением M. Расслоение рамки M часто обозначается FM или GL(M), а не F(TM). Если M является n-мерным, то тангентное расслоение имеет ранг n, следовательно, расслоение рамки M является главным GL(n, ℝ)-расслоением над M.

Гладкие рамки

Локальные сечения расслоения рамок M называются гладкими рамками на M. Теорема о поперечном сечении для главных расслоений утверждает, что расслоение рамок тривиально над любым открытым множеством U в M, допускающим гладкую рамку. Для гладкой рамки s : U → FU тривиализация ψ : FU → U × GL(n, R) задается формулой

где p – рамка в точке x. Отсюда следует, что многообразие параллелизуемо тогда и только тогда, когда расслоение рамок M допускает глобальное сечение. Поскольку касательное расслоение M тривиализуется в координатных окрестностях M, то и расслоение рамок также тривиализуется. Фактически, для любой координатной окрестности U с координатами (x1, …, xn) координатные векторные поля

определяют гладкую рамку на U. Одним из преимуществ работы с расслоениями рамок является то, что они позволяют работать с рамками, отличными от координатных; можно выбрать рамку, адаптированную к решаемой задаче. Это иногда называют методом подвижных рамок.

Форма пайки

Фрейм-расслоение многообразия M является особым типом главного расслоения в том смысле, что его геометрия фундаментально связана с геометрией M. Эта связь может быть выражена посредством 1-формы с векторными значениями на FM, называемой паяльной формой (также известной как фундаментальная или тавтологическая 1-форма). Пусть x – точка многообразия M, а p – кадр в x, так что

является линейным изоморфизмом из Rn в касательное пространство M в точке x. Паяльная форма FM – это 1-форма с Rn-значениями θ, определяемая как

где ξ – касательный вектор к FM в точке (x, p), а p−1 : TxM → Rn – обратное отображение кадра, а dπ – дифференциал проекционного отображения π : FM → M. Паяльная форма горизонтальна в том смысле, что она обращается в нуль на векторах, касательных к слоям π, и право-эквивариантна в том смысле, что

где Rg – правый сдвиг на g ∈ GL(n, R). Форма с этими свойствами называется основной или тензорной формой на FM. Такие формы находятся в 1-1 соответствии с 1-формами с TM-значениями на M, которые, в свою очередь, находятся в 1-1 соответствии с гладкими отображениями расслоений TM → TM над M. Рассматривая это в таком свете, θ является просто тождественным отображением на TM. В качестве соглашения термин "тавтологическая 1-форма" обычно резервируется для случаев, когда форма имеет каноническое определение, как это происходит здесь, в то время как "паяльная форма" более уместна для тех случаев, когда форма не определена канонически. Данное соглашение здесь не соблюдается.

Ортонормальный фрейм-пакет

Если векторный расслоение E снабжено римановым метрическим расслоением, то каждое волокно Ex является не только векторным пространством, но и пространством с внутренним произведением. Тогда можно говорить о множестве всех ортонормальных базисов для Ex. Ортонормальный базис для Ex – это упорядоченный ортонормальный базис для Ex, или, эквивалентно, линейная изометрия, где Rk снабжено стандартной евклидовой метрикой. Ортогональная группа O(k) действует свободно и транзитивно на множество всех ортонормальных базисов посредством композиции справа. Иными словами, множество всех ортонормальных базисов является правым O(k)-торсором. Расслоение ортонормальных базисов E, обозначаемое FO(E), – это множество всех ортонормальных базисов в каждой точке x базового пространства X. Его можно построить методом, полностью аналогичным построению обычного расслоения базисов. Расслоение ортонормальных базисов риманова векторного расслоения ранга k, E → X, является главным O(k)-расслоением над X. Снова, конструкция работает так же хорошо и в гладкой категории. Если векторное расслоение E ориентируемо, то можно определить ориентированное расслоение ортонормальных базисов E, обозначаемое FSO(E), как главное SO(k)-расслоение всех положительно ориентированных ортонормальных базисов. Если M – n-мерное риманово многообразие, то расслоение ортонормальных базисов M, обозначаемое FOM или O(M), является расслоением ортонормальных базисов, ассоциированным с тангенциальным расслоением M (которое по определению снабжено римановой метрикой). Если M ориентируемо, то существует также ориентированное расслоение ортонормальных базисов FSOM. Для заданного риманова векторного расслоения E расслоение ортонормальных базисов является главным O(k)-подрасслоением общего линейного расслоения базисов. Иными словами, отображение включения является главным отображением расслоения. Говорят, что FO(E) является редукцией структурной группы FGL(E) от GL(k, R) до O(k).

Г-структуры

Если гладное многообразие M снабжено дополнительной структурой, то часто естественно рассматривать подпучок полного расслоения кадров M, который адаптирован к данной структуре. Например, если M – риманово многообразие, мы видели выше, что естественно рассматривать ортонормальный расслоение кадров M. Ортонормальный расслоение кадров является просто редукцией структурной группы FGL(M) к ортогональной группе O(n). В общем случае, если M – гладное n-многообразие, а G – подгруппа Ли GL(n, R), то мы определяем G-структуру на M как редукцию структурной группы FGL(M) к G. Явно, это главное G-расслоение FG(M) над M вместе с G-эквивариантным отображением расслоения над M.

В этих обозначениях, риманова метрика на M порождает O(n)-структуру на M. Приведем несколько других примеров. Каждое ориентированное многообразие имеет ориентированный расслоение кадров, которое является GL+(n, R)-структурой на M.
Объемная форма на M определяет SL(n, R)-структуру на M.
Симплектическое 2n-мерное многообразие имеет естественную Sp(2n, R)-структуру. Комплексное или почти комплексное 2n-мерное многообразие имеет естественную GL(n, C)-структуру. Во многих из этих случаев G-структура на M однозначно определяет соответствующую структуру на M. Например, SL(n, R)-структура на M определяет объемную форму на M. Однако в некоторых случаях, таких как симплектические и комплексные многообразия, требуется дополнительное условие интегрируемости. Sp(2n, R)-структура на M однозначно определяет невырожденную 2-форму на M, но для того, чтобы M было симплектическим, эта 2-форма также должна быть замкнутой.