Кіріспе
Лебег-Стильджес интеграциясы
Өлшемдік теориялық талдау және математиканың осымен байланысты салаларында Лебег-Стильджес интеграциясы Риман-Стильджес және Лебег интеграциясын жалпылайды, бұл ретте бұрынғысының көптеген артықшылықтарын жалпы өлшемдік теориялық аяда сақтайды. Лебег-Стильджес интегралы – Лебег-Стильджес өлшемі деп аталатын өлшемге қатысты қарапайым Лебег интегралы болып табылады, ол нақты түзудегі шектелген өзгеруі бар кез келген функциямен байланысты болуы мүмкін. Лебег-Стильджес өлшемі – реттелген Борель өлшемі, ал керісінше, нақты түзудегі кез келген реттелген Борель өлшемі осы түрге жатады. Генри Леон Лебег және Томас Йоаннес Стильджес есімдерімен аталатын Лебег-Стильджес интегралдары Лебег-Радон интегралдары немесе жай ғана Радон интегралдары деп те аталады, себебі теорияның көп бөлігі Иоганн Радонға тиесілі. Олар ықтималдық және стохастикалық процестерде, сондай-ақ потенциал теориясын қоса алғанда, талдаудың белгілі бір салаларында кеңінен қолданылады.
In measure theoretic analysis and related branches of mathematics, Lebesgue–Stieltjes integration generalizes both Riemann–Stieltjes and Lebesgue integration, preserving the many advantages of the former in a more general measure theoretic framework. The Lebesgue–Stieltjes integral is the ordinary Lebesgue integral with respect to a measure known as the Lebesgue–Stieltjes measure, which may be associated to any function of bounded variation on the real line. The Lebesgue–Stieltjes measure is a regular Borel measure, and conversely every regular Borel measure on the real line is of this kind. Lebesgue–Stieltjes integrals, named for Henri Leon Lebesgue and Thomas Joannes Stieltjes, are also known as Lebesgue–Radon integrals or just Radon integrals, after Johann Radon, to whom much of the theory is due. They find common application in probability and stochastic processes, and in certain branches of analysis including potential theory.
Мысал
γ: [a, b] → 'R'^(2) жазықтықтағы түзетілетін қисық және ρ : 'R'^(2) → [0, ∞) Борель өлшегіш болсын. Онда γ қисығының ρ-мен салмақталған Евклидтік метрикаға қатысты ұзындығын былай анықтауға болады:
мұнда γ қисығының [a, t] кесіндісінің ұзындығы. Бұл кейде γ қисығының ρ-ұзындығы деп аталады. Бұл түсінік түрлі қолданулар үшін өте пайдалы: мысалы, лайлы жерде адамның қозғалу жылдамдығы лайдың тереңдігіне байланысты болуы мүмкін. Егер ρ(z) z нүктесінде немесе оның маңындағы жүру жылдамдығының кері шамасын білдірсе, онда γ қисығының ρ-ұзындығы – γ қисығын жүріп өтуге кеткен уақыт. Экстремалды ұзындық тұжырымы осы қисықтардың ρ-ұзындығы түсінігін пайдаланады және конформдік бейнелеулерді зерттеуде қолданылады.
Лебег интеграциясы
Егер барлық нақты x үшін , онда μg – Лебег өлшемі, ал f функциясының g-ге қатысты Лебег-Стильджес интегралы f функциясының Лебег интегралымен сәйкес келеді.