Введение
В теоретическом анализе мер и смежных областях математики интеграл Лебега — Стильтьеса обобщает как интеграл Римана — Стильтьеса, так и интеграл Лебега, сохраняя многие преимущества последнего в более общей теоретико-измерительной структуре. Интеграл Лебега — Стильтьеса представляет собой обычный интеграл Лебега по мере, известной как мера Лебега — Стильтьеса, которая может быть связана с любой функцией ограниченной вариации на вещественной прямой. Мера Лебега — Стильтьеса является регулярной мерой Бореля, и наоборот, любая регулярная мера Бореля на вещественной прямой имеет такой вид. Интегралы Лебега — Стильтьеса, названные в честь Анри Леона Лебега и Томаса Иоанна Стильтьеса, также известны как интегралы Лебега — Радона или просто интегралы Радона, в честь Иоганна Радона, которому принадлежит значительная часть теории. Они широко применяются в теории вероятностей и стохастических процессах, а также в некоторых разделах анализа, включая потенциальную теорию.
In measure theoretic analysis and related branches of mathematics, Lebesgue–Stieltjes integration generalizes both Riemann–Stieltjes and Lebesgue integration, preserving the many advantages of the former in a more general measure theoretic framework. The Lebesgue–Stieltjes integral is the ordinary Lebesgue integral with respect to a measure known as the Lebesgue–Stieltjes measure, which may be associated to any function of bounded variation on the real line. The Lebesgue–Stieltjes measure is a regular Borel measure, and conversely every regular Borel measure on the real line is of this kind. Lebesgue–Stieltjes integrals, named for Henri Leon Lebesgue and Thomas Joannes Stieltjes, are also known as Lebesgue–Radon integrals or just Radon integrals, after Johann Radon, to whom much of the theory is due. They find common application in probability and stochastic processes, and in certain branches of analysis including potential theory.
Пример
Предположим, что γ : [a, b] → ℝ² является поправляемой кривой на плоскости и ρ : ℝ² → [0, ∞) является борелевски измеримой функцией. Тогда мы можем определить длину кривой γ относительно евклидовой метрики с весом ρ как
где — длина ограничения кривой γ на отрезок [a, t]. Это иногда называют ρ-длиной кривой γ. Это понятие весьма полезно для различных приложений: например, в пересеченной местности скорость передвижения человека может зависеть от глубины грязи. Если ρ(z) обозначает величину, обратную скорости ходьбы в точке z или вблизи неё, то ρ-длина кривой γ представляет собой время, необходимое для прохождения по кривой γ. Понятие экстремальной длины использует это понятие ρ-длины кривых и полезно при изучении конформных отображений.
Интеграция Лебега
Когда для всех действительных x, то μg является мерой Лебега, а интеграл Лебега — Стильтьеса функции f по g эквивалентен интегралу Лебега функции f.