Кіріспе
Екі өрістен құралған сақина математикада екі өрістің тензорлық көбейтіндісі – олардың ортақ субөріс үстінен алгебра ретіндегі тензорлық көбейтіндісі болып табылады. Егер субөріс нақты көрсетілмесе, екі өрістің бірдей қасиеттері болуы керек, ал ортақ субөріс – олардың түпкілікті субөрісі болып есептеледі. Екі өрістің тензорлық көбейтіндісі кейде өріс болатын жағдайлар бар, көбінесе өрістердің тікелей көбейтіндісін құрайды; ал кейбір жағдайларда нөлдік емес нильпотент элементтерді де қамтуы мүмкін. Екі өрістің тензорлық көбейтіндісі екі өрісті ортақ кеңейту өрісіне енгізудің әртүрлі жолдарын бір құрылымда көрсетеді.
In mathematics, the tensor product of two fields is their tensor product as algebras over a common subfield. If no subfield is explicitly specified, the two fields must have the same characteristic and the common subfield is their prime subfield. The tensor product of two fields is sometimes a field, and often a direct product of fields; In some cases, it can contain non zero nilpotent elements. The tensor product of two fields expresses in a single structure the different way to embed the two fields in a common extension field.
Тензор көбейтіндісі сақина түрінде
Жалпы теорияны алу үшін, бір объектіде сақиналық құрылымды қарастыру қажет. Көбейтіндіні былай анықтауға болады (Алгебралардың тензорлық көбейтіндісін қараңыз). Бұл формула әрбір айнымалы бойынша N-ге қатысты көпсызықты болып табылады; осылайша тензорлық көбейтіндіде сақиналық құрылымды анықтайды, оны коммутативті N-алгебраға айналдырады, бұл өрістердің тензорлық көбейтіндісі деп аталады.
Сақина құрылымының талдауы
Сақинаның құрылымын K және L екеуін де N-нің қандай да бір өріс кеңейтіліміне ендірудің барлық тәсілдерін қарастыру арқылы талдауға болады. Мұндағы құрастыру ортақ қосалқы өріс N-ді қабылдайды; бірақ K және L кейбір M өрісінің қосалқы өрістері деп алдын ала қабылдамайды (осылайша, композит өріс құру туралы ескертулерді еске алудың қажеті жоқ). Егер K және L-ді осындай M өрісіне енгізетін болсақ, мысалы, K үшін α және L үшін β ендірулерін пайдаланып, M-ге γ сақиналық гомоморфизм анықталады: γ-ның ядросы тензорлық көбейтіндінің жайқы идеалы болады; ал керісінше, тензорлық көбейтіндінің кез келген жайқы идеалы N алгебраларының гомоморфизмін интегралды доменге (бөлшектер өрісінің ішінде) береді, сонымен қатар K және L-дің кейбір өрістегі ендірулерін (N-нің көшірмесі) қамтамасыз етеді.
The kernel of γ will be a prime ideal of the tensor product; and conversely any prime ideal of the tensor product will give a homomorphism of N algebras to an integral domain (inside a field of fractions) and so provides embeddings of K and L in some field as extensions of (a copy of) N.
In this way one can analyse the structure of : there may in principle be a non zero nilradical (intersection of all prime ideals) – and after taking the quotient by that one can speak of the product of all embeddings of K and L in various M, over N.
In case K and L are finite extensions of N, the situation is particularly simple since the tensor product is of finite dimension as an N algebra (and thus an Artinian ring). One can then say that if R is the radical, one has as a direct product of finitely many fields. Each such field is a representative of an equivalence class of (essentially distinct) field embeddings for K and L in some extension M.
Осылайша, оның құрылымын талдауға болады: принципте, нөлдік емес нилрадикал (барлық жайқы идеалдардың қиылысы) болуы мүмкін – және оған қатысты бөліп алғаннан кейін, K және L-дің әртүрлі M-дегі ендірулерінің көбейтіндісі туралы айтуға болады, N-ге қатысты.
The kernel of γ will be a prime ideal of the tensor product; and conversely any prime ideal of the tensor product will give a homomorphism of N algebras to an integral domain (inside a field of fractions) and so provides embeddings of K and L in some field as extensions of (a copy of) N.
In this way one can analyse the structure of : there may in principle be a non zero nilradical (intersection of all prime ideals) – and after taking the quotient by that one can speak of the product of all embeddings of K and L in various M, over N.
In case K and L are finite extensions of N, the situation is particularly simple since the tensor product is of finite dimension as an N algebra (and thus an Artinian ring). One can then say that if R is the radical, one has as a direct product of finitely many fields. Each such field is a representative of an equivalence class of (essentially distinct) field embeddings for K and L in some extension M.
Егер K және L – N-нің шекті кеңейтімдері болса, жағдай ерекше қарапайым, себебі тензорлық көбейтінді N алгебрасы ретінде шекті өлшемді (ал демек, Артан сақинасы). Онда R радикал болса, ол шекті көп өрістердің тікелей көбейтіндісі болады. Әрбір мұндай өріс K және L үшін кейбір M кеңейтімдегі (мағынасы бойынша ерекше) өріс ендірулерінің эквиваленттілік класының өкілі болып табылады.
The kernel of γ will be a prime ideal of the tensor product; and conversely any prime ideal of the tensor product will give a homomorphism of N algebras to an integral domain (inside a field of fractions) and so provides embeddings of K and L in some field as extensions of (a copy of) N.
In this way one can analyse the structure of : there may in principle be a non zero nilradical (intersection of all prime ideals) – and after taking the quotient by that one can speak of the product of all embeddings of K and L in various M, over N.
In case K and L are finite extensions of N, the situation is particularly simple since the tensor product is of finite dimension as an N algebra (and thus an Artinian ring). One can then say that if R is the radical, one has as a direct product of finitely many fields. Each such field is a representative of an equivalence class of (essentially distinct) field embeddings for K and L in some extension M.
Нақты және күрделі кіріктірудің классикалық теориясы
Алгебралық сандар теориясында өрістердің тензорлық көбейтінділері (көп жағдайда, жасырын түрде) негізгі құрал болып табылады. Егер K өрісі шекті дәрежелі n-нің кеңейтімі болса, ол әрқашан да немесе толыққандай нақты сандар өрісімен изоморфты өрістердің көбейтіндісі болып табылады. Толыққандай нақты сандар өрістері – тек нақты өрістер ғана болатын өрістер. Әдетте, оларда r1 нақты және r2 кешенді өріс болады, мұнда r1 + 2r2 = n, бұл өлшемдерді санау арқылы көрінеді. Өріс факторлары классикалық әдебиетте сипатталған нақты ендірулермен және кешенді конъюгат ендірулер жұптарымен 1:1 сәйкес келеді. Бұл идея p-адик сандар өрісі p болған жағдайда да қолданылады. Бұл p-дің шекті кеңейтімдерінің көбейтіндісі болып табылады, ол K өрісінің толықтыруларымен p-адик метрикасының кеңейтімдері үшін 1:1 сәйкес келеді.