Введение
Кольцо, образованное из двух полей
В математике тензорное произведение двух полей — это их тензорное произведение как алгебр над общим подполем. Если подполе не указано явно, то оба поля должны иметь одинаковую характеристику, а общим подполем является их простое подполе. Тензорное произведение двух полей иногда является полем, а часто — прямым произведением полей; в некоторых случаях оно может содержать ненулевые нильпотентные элементы. Тензорное произведение двух полей выражает в единой структуре различные способы вложения двух полей в общее расширение поля.
Произведение тензора в виде кольца
Чтобы получить общую теорию, необходимо рассмотреть кольцевую структуру на одном из . Можно определить произведение как (см. Тензорный продукт алгебр). Эта формула является мультилинейной по N по каждой переменной и, следовательно, определяет кольцевую структуру на тензорном произведении, превращая его в коммутативную N-алгебру, называемую тензорным произведением полей.
Анализ кольцевой структуры
Структура кольца может быть проанализирована, рассмотрев все способы вложения K и L в некоторое полевое расширение N. Данная конструкция предполагает наличие общего подполя N, но не предполагает априори, что K и L являются подполями некоторого поля M (что позволяет избежать ограничений, связанных с построением поля композита). Когда K и L вкладываются в такое поле M, например, с использованием вложений α для K и β для L, возникает кольцевой гомоморфизм γ из в M, определяемый следующим образом: ядро γ будет простым идеалом тензорного произведения; и наоборот, любой простой идеал тензорного произведения определяет гомоморфизм N-алгебр в целостное множество (внутри поля частных), и таким образом предоставляет вложения K и L в некоторое поле как расширения (копии) N.
The kernel of γ will be a prime ideal of the tensor product; and conversely any prime ideal of the tensor product will give a homomorphism of N algebras to an integral domain (inside a field of fractions) and so provides embeddings of K and L in some field as extensions of (a copy of) N.
In this way one can analyse the structure of : there may in principle be a non zero nilradical (intersection of all prime ideals) – and after taking the quotient by that one can speak of the product of all embeddings of K and L in various M, over N.
In case K and L are finite extensions of N, the situation is particularly simple since the tensor product is of finite dimension as an N algebra (and thus an Artinian ring). One can then say that if R is the radical, one has as a direct product of finitely many fields. Each such field is a representative of an equivalence class of (essentially distinct) field embeddings for K and L in some extension M.
Таким образом, можно анализировать структуру : в принципе может существовать ненулевой нильрадикал (пересечение всех простых идеалов), и после деления на него можно говорить о произведении всех вложений K и L в различные M над N.
The kernel of γ will be a prime ideal of the tensor product; and conversely any prime ideal of the tensor product will give a homomorphism of N algebras to an integral domain (inside a field of fractions) and so provides embeddings of K and L in some field as extensions of (a copy of) N.
In this way one can analyse the structure of : there may in principle be a non zero nilradical (intersection of all prime ideals) – and after taking the quotient by that one can speak of the product of all embeddings of K and L in various M, over N.
In case K and L are finite extensions of N, the situation is particularly simple since the tensor product is of finite dimension as an N algebra (and thus an Artinian ring). One can then say that if R is the radical, one has as a direct product of finitely many fields. Each such field is a representative of an equivalence class of (essentially distinct) field embeddings for K and L in some extension M.
Если K и L являются конечными расширениями N, ситуация особенно проста, поскольку тензорное произведение является конечномерным N-алгеброй (и, следовательно, артиновым кольцом). Тогда можно сказать, что если R – это радикал, то представляется как прямое произведение конечного числа полей. Каждое такое поле представляет собой представитель класса эквивалентности (по существу различных) полевых вложений для K и L в некотором расширении M.
The kernel of γ will be a prime ideal of the tensor product; and conversely any prime ideal of the tensor product will give a homomorphism of N algebras to an integral domain (inside a field of fractions) and so provides embeddings of K and L in some field as extensions of (a copy of) N.
In this way one can analyse the structure of : there may in principle be a non zero nilradical (intersection of all prime ideals) – and after taking the quotient by that one can speak of the product of all embeddings of K and L in various M, over N.
In case K and L are finite extensions of N, the situation is particularly simple since the tensor product is of finite dimension as an N algebra (and thus an Artinian ring). One can then say that if R is the radical, one has as a direct product of finitely many fields. Each such field is a representative of an equivalence class of (essentially distinct) field embeddings for K and L in some extension M.
Классическая теория реальных и сложных встраиваний
В алгебраической теории чисел тензорные произведения полей являются (неявно, часто) базовым инструментом. Если K – расширение степени n, то оно всегда является произведением полей, изоморфных K или . Полностью вещественные числовые поля – это те, для которых встречаются только вещественные поля: в общем случае существует r1 вещественных и r2 комплексных полей, при этом r1 + 2r2 = n, что можно увидеть, подсчитывая размерности. Факторы поля находятся во взаимно однозначном соответствии с вещественными вложениями и парами комплексно сопряженных вложений, описанными в классической литературе. Эта идея также применима к , где p – поле p-адических чисел. Это произведение конечных расширений p, находящихся во взаимно однозначном соответствии с завершениями K для расширений p-адической метрики на .