Кіріспе
Математикадағы матрицалық ыдырау Сызықтық алгебра математикалық пәнінде Шур ыдырауы немесе Шур үшбұрышы, Исаи Шурдың есімімен аталған, матрицалық ыдырау болып табылады. Ол кез келген күрделі квадраттық матрицаны бастапқы матрицаның өзіндік мәндері диагональдық элементтері болатын жоғарғы үшбұрышты матрицаға эквивалентті етіп жазуға мүмкіндік береді.
In the mathematical discipline of linear algebra, the Schur decomposition or Schur triangulation, named after Issai Schur, is a matrix decomposition. It allows one to write an arbitrary complex square matrix as unitarily equivalent to an upper triangular matrix whose diagonal elements are the eigenvalues of the original matrix.
Дәлел
Шур ыдырауының конструктивті дәлелі мынадай: күрделі шекті өлшемді векторлық кеңістіктегі кез келген оператор A-ның өзіндік мәні λ болады, ол белгілі бір өзіндік кеңістік Vλ-ға сәйкес келеді. Vλ-ның ортогональды толықтыруы Vλ⊥ болсын. Бұл ортогональды ыдырау бойынша A-ның матрицалық бейнеленуі бар екені анық (осы жерде Vλ және Vλ⊥ үшін кез келген ортонормальды Z1 және Z2 негіздерін таңдауға болады), мұнда Iλ – Vλ-дағы сәйкестік операторы. Жоғарыда көрсетілген матрица А22 блогын қоспағанда жоғарғы үшбұрышты болады. Бірақ дәл осындай процедураны Vλ⊥ операторы ретінде қаралатын A22 субматрицасына және оның субматрицаларына қолдануға болады. Бұл әдісті жоғарғы үшбұрышты матрицаға дейін жалғастырыңыз. Әрбір конъюгация жоғарғы үшбұрышты блоктың өлшемін кем дегенде бірге ұлғайтатындықтан, бұл процесс ең көп дегенде n қадамды алады. Осылайша Cn кеңістігі толығымен қарастырылып, процедура қажетті нәтиже береді. Жоғарыдағы аргументті келесідей қайта айтуға болады: λ – A-ның өзіндік мәні болсын, ол Vλ өзіндік кеңістігіне сәйкес келуі керек. A, Cn/Vλ коэффициенттік кеңістігінде T операторын туындайды. Бұл оператор жоғарыда көрсетілген A22 субматрицасымен сәйкес келеді. Бұрынғыдай, T-де өзіндік кеңістік болады, мысалы Wμ ⊂ Cn (Vλ модулі бойынша). Wμ-дің коэффициенттік бейнесі Vλ-ні қамтитын A-ның инвариантты субкеңістігі екенін ескеріңіз. Қоэффициенттік кеңістіктің өлшемі 0-ге дейін қысқарғанша осылай жалғастырыңыз. Содан кейін әр қадамда табылған өзіндік кеңістіктердің тізбегі A тұрақтандыратын тудыратын жалаушаны құрайды.
where Iλ is the identity operator on Vλ. The above matrix would be upper triangular except for the A22 block. But exactly the same procedure can be applied to the sub matrix A22, viewed as an operator on Vλ⊥, and its submatrices. Continue this way until the resulting matrix is upper triangular. Since each conjugation increases the dimension of the upper triangular block by at least one, this process takes at most n steps. Thus the space Cn will be exhausted and the procedure has yielded the desired result. The above argument can be slightly restated as follows: let λ be an eigenvalue of A, corresponding to some eigenspace Vλ. A induces an operator T on the quotient space Cn/Vλ. This operator is precisely the A22 submatrix from above. As before, T would have an eigenspace, say Wμ ⊂ Cn modulo Vλ. Notice the preimage of Wμ under the quotient map is an invariant subspace of A that contains Vλ. Continue this way until the resulting quotient space has dimension 0. Then the successive preimages of the eigenspaces found at each step form a flag that A stabilizes.
Есептеу
Берілген матрицаның Шур ыдырауы QR алгоритмі немесе оның түрлендірілген нұсқалары арқылы сандық түрде есептеледі. Яғни, матрицаға сәйкес келетін сипаттамалық полиномның түбірлерін оның Шур ыдырауын алу үшін міндетті түрде алдын ала есептеудің қажеті жоқ. Керісінше, QR алгоритмі кез келген берілген сипаттамалық полиномның түбірлерін оның серік матрицасының Шур ыдырауын тауып есептеу үшін қолданылуы мүмкін. Сол сияқты, QR алгоритмі кез келген берілген матрицаның өзіндік мәндерін есептеу үшін де пайдаланылады, олар Шур ыдырауының жоғарғы үшбұрышты матрицасының диагональдық элементтері болып табылады. QR алгоритмі формальды түрде операциялардың шексіз тізбегі болғанымен, машиналық дәлдікке жуықтасу іс жүзінде белгілі бір операциялар санында қол жеткізіледі. LAPACK пайдаланушы нұсқаулығындағы «Симметриясыз өзіндік мәселелер» бөлімін қараңыз.
Жалпыланған Шур ыдырау
А және В квадраттық матрицалары берілгенде, жалпыланған Шур ыдырауы екі матрицаны да және түрлерінде көреді, мұндағы Q және Z унитарлы, ал S және T жоғарғы үшбұрышты матрицалар. Жалпыланған Шур ыдырауы кейде QZ ыдырауы деп те аталады. Жалпыланған өзіндік мәселені шешетін жалпыланған өзіндік құндылықтар (мұнда x – белгісіз, нөлдік емес вектор) S матрицасының диагональдық элементтерінің T матрицасының диагональдық элементтеріне қатынасы ретінде есептелуі мүмкін. Яғни, матрица элементтерін көрсету үшін төменгі индекстерді пайдалансақ, i-інші жалпыланған өзіндік құндылық шарты орындалады.