Введение
Факторизация матриц в математике
В математической дисциплине линейной алгебры разложение Шура, или триангуляция Шура, названное в честь Иссаи Шура, является разложением матрицы. Оно позволяет представить любую произвольную комплексную квадратную матрицу в виде унитарно эквивалентной верхней треугольной матрицы, диагональные элементы которой являются собственными значениями исходной матрицы.
In the mathematical discipline of linear algebra, the Schur decomposition or Schur triangulation, named after Issai Schur, is a matrix decomposition. It allows one to write an arbitrary complex square matrix as unitarily equivalent to an upper triangular matrix whose diagonal elements are the eigenvalues of the original matrix.
Доказательство
Конструктивное доказательство разложения Шура выглядит следующим образом: каждый оператор A на комплексном конечномерном векторном пространстве имеет собственное значение λ, соответствующее некоторому собственному пространству Vλ. Пусть Vλ⊥ – его ортогональное дополнение. Очевидно, что относительно этого ортогонального разложения, A имеет матричное представление (можно выбрать здесь любые ортонормальные базисы Z1 и Z2, порождающие Vλ и Vλ⊥ соответственно), где Iλ – оператор идентичности на Vλ. Вышеуказанная матрица будет верхнетреугольной, за исключением блока A22. Но точно та же процедура может быть применена к подматрице A22, рассматриваемой как оператор на Vλ⊥, и к её подматрицам. Продолжайте так, пока полученная матрица не станет верхнетреугольной. Поскольку каждая итерация увеличивает размер верхнетреугольного блока по крайней мере на единицу, этот процесс занимает не более n шагов. Таким образом, пространство Cn будет исчерпано, и процедура даст желаемый результат. Вышеприведенный аргумент можно немного переформулировать следующим образом: пусть λ – собственное значение A, соответствующее некоторому собственному пространству Vλ. Оператор A индуцирует оператор T на факторпространстве Cn/Vλ. Этот оператор является точно подматрицей A22, указанной выше. Как и прежде, T будет иметь собственное пространство, скажем, Wμ ⊂ Cn по модулю Vλ. Заметьте, что прообраз Wμ под факторным отображением является инвариантным подпространством A, содержащим Vλ. Продолжайте так, пока полученное факторпространство не станет размерности 0. Тогда последовательные прообразы собственных пространств, найденных на каждом шагу, образуют флаг, который стабилизируется под действием A.
where Iλ is the identity operator on Vλ. The above matrix would be upper triangular except for the A22 block. But exactly the same procedure can be applied to the sub matrix A22, viewed as an operator on Vλ⊥, and its submatrices. Continue this way until the resulting matrix is upper triangular. Since each conjugation increases the dimension of the upper triangular block by at least one, this process takes at most n steps. Thus the space Cn will be exhausted and the procedure has yielded the desired result. The above argument can be slightly restated as follows: let λ be an eigenvalue of A, corresponding to some eigenspace Vλ. A induces an operator T on the quotient space Cn/Vλ. This operator is precisely the A22 submatrix from above. As before, T would have an eigenspace, say Wμ ⊂ Cn modulo Vλ. Notice the preimage of Wμ under the quotient map is an invariant subspace of A that contains Vλ. Continue this way until the resulting quotient space has dimension 0. Then the successive preimages of the eigenspaces found at each step form a flag that A stabilizes.
Вычисления
Разложение Шура заданной матрицы численно вычисляется с помощью QR-алгоритма или его модификаций. Иными словами, корни характеристического многочлена, соответствующего матрице, не обязательно вычисляются заранее для получения её разложения Шура. Обратно, QR-алгоритм может быть использован для вычисления корней любого заданного характеристического многочлена путем нахождения разложения Шура его сопутствующей матрицы. Аналогично, QR-алгоритм используется для вычисления собственных значений любой заданной матрицы, которые являются диагональными элементами верхнетреугольной матрицы разложения Шура. Хотя QR-алгоритм формально представляет собой бесконечную последовательность операций, сходимость к машинной точности практически достигается за конечное число операций. См. раздел "Несимметричные собственные задачи" в руководстве пользователя LAPACK.
Обобщенный распад Шура
При заданных квадратных матрицах A и B обобщенное разложение Шура раскладывает обе матрицы на факторы вида и , где Q и Z – унитарные, а S и T – верхнетреугольные. Обобщенное разложение Шура также иногда называют QZ-разложением. Обобщенные собственные значения, являющиеся решениями обобщенной задачи на собственные значения (где x – неизвестный ненулевой вектор), могут быть вычислены как отношение диагональных элементов S к соответствующим диагональным элементам T. То есть, используя индексы для обозначения элементов матрицы, i-е обобщенное собственное значение удовлетворяет .