Кіріспе
Белгісіз функция және оның туындыларына қатысты сызықтық дифференциалдық теңдеулер, бір тәуелсіз айнымалысы бар сызықтық дифференциалдық теңдеу. Математикада сызықтық дифференциалдық теңдеу – бұл белгісіз функция және оның туындылары бойынша сызықтық полиноммен анықталатын дифференциалдық теңдеу, яғни
linear differential equations with one independent variable
In mathematics, a linear differential equation is a differential equation that is defined by a linear polynomial in the unknown function and its derivatives, that is an equation of the form
where and b(x) are arbitrary differentiable functions that do not need to be linear, and y′, , y^((n)) are the successive derivatives of an unknown function y of the variable x. Such an equation is an ordinary differential equation (ODE). A linear differential equation may also be a linear partial differential equation (PDE), if the unknown function depends on several variables, and the derivatives that appear in the equation are partial derivatives.
түріндегі теңдеу, мұнда және b(x) – кез келген дифференциалданатын функциялар, олар сызықтық болуы міндетті емес, ал y′, y′′, y^(n) – x айнымалының белгісіз функциясы y-тің тізбекті туындылары. Мұндай теңдеу – қалыпты дифференциалдық теңдеу (ҚДТ). Егер белгісіз функция бірнеше айнымалыға тәуелді болса және теңдеуде пайда болатын туындылар ішінара туындылар болса, сызықтық дифференциалдық теңдеу ішінара дифференциалдық теңдеу (ІДТ) болуы мүмкін.
linear differential equations with one independent variable
In mathematics, a linear differential equation is a differential equation that is defined by a linear polynomial in the unknown function and its derivatives, that is an equation of the form
where and b(x) are arbitrary differentiable functions that do not need to be linear, and y′, , y^((n)) are the successive derivatives of an unknown function y of the variable x. Such an equation is an ordinary differential equation (ODE). A linear differential equation may also be a linear partial differential equation (PDE), if the unknown function depends on several variables, and the derivatives that appear in the equation are partial derivatives.
Ерітінді түрлері
Сызықтық дифференциалдық теңдеу немесе біртекті теңдеулердің жүйесі, егер оларға байланысты біртекті теңдеулер тұрақты коэффициенттерге ие болса, квадратура арқылы шешілуі мүмкін, яғни шешімдерін интегралдар арқылы өрнектеуге болады. Бұл тұрақты емес коэффициенттері бар бірінші реттік сызықтық теңдеулер үшін де сәйкес келеді. Бірақ, тұрақты емес коэффициенттері бар екінші немесе одан жоғары реттік теңдеулер, жалпы жағдайда, квадратура арқылы шешілмейді. Екінші реттік теңдеулер үшін Ковачич алгоритмі интегралдар түрінде шешімдердің болуын анықтауға және оларды табуға мүмкіндік береді. Полиномдық коэффициенттері бар гомогенді сызықтық дифференциалдық теңдеулердің шешімдері голономиялық функциялар деп аталады. Бұл функциялар класы қосу, көбейту, дифференциалдау, интегралдау операцияларына қатысты тұрақты және көптеген кәдімгі функциялар мен арнайы функцияларды қамтиды, мысалы, экспоненциалдық функция, логарифм, синус, косинус, кері тригонометриялық функциялар, қателік функциясы, Бессель функциялары және гипергеометриялық функциялар. Олардың анықтамалық дифференциалдық теңдеу және бастапқы шарттар арқылы берілуі, осы функциялар бойынша интегралдарды табу, лимиттерді есептеу, асимптотикалық кеңею және кез келген дәлдікпен сандық бағалау сияқты есептеудің көптеген операцияларын алгоритмдік түрде жүзеге асыруға мүмкіндік береді, сонымен қатар қате шегін сертификаттауға да болады.
Негізгі терминология
(Сызықтық) дифференциалдық теңдеуде кездесетін ең жоғары туынды реті – теңдеудің реті болып табылады. b(x) термині, белгісіз функция мен оның туындыларына тәуелді емес, кейде теңдеудің тұрақты мүшесі деп аталады (алгебралық теңдеулермен салыстыру арқылы), тіпті бұл мүше тұрақты емес функция болса да. Егер тұрақты мүше нөлдік функция болса, онда дифференциалдық теңдеу гомогенді деп аталады, себебі ол белгісіз функция мен оның туындылары бойынша гомогенді полином болып табылады. Сызықтық дифференциалдық теңдеуде тұрақты мүшені нөлдік функциямен алмастыру арқылы алынған теңдеу – қатарлас гомогенді теңдеу болып табылады. Дифференциалдық теңдеу тұрақты коэффициенттерге ие, егер қатарлас гомогенді теңдеуде тек тұрақты функциялар ғана коэффициенттер ретінде кездессе. Дифференциалдық теңдеудің шешімі – теңдеуді қанағаттандыратын функция. Гомогенді сызықтық дифференциалдық теңдеудің шешімдері векторлық кеңістік құрайды. Әдеттегі жағдайда, бұл векторлық кеңістіктің өлшемі шекті болады және теңдеудің ретіне тең. Сызықтық дифференциалдық теңдеудің барлық шешімдері белгілі бір шешімге қатарлас гомогенді теңдеудің кез келген шешімін қосу арқылы табылады.