Введение

Дифференциальные уравнения, линейные по отношению к неизвестной функции и ее производным – линейные дифференциальные уравнения с одной независимой переменной.

В математике линейное дифференциальное уравнение – это дифференциальное уравнение, определяемое линейным полиномом относительно неизвестной функции и ее производных, то есть уравнение вида

где a(x) и b(x) – произвольные дифференцируемые функции, не обязательно линейные, а y', y'', y^(n) – последовательные производные неизвестной функции y от переменной x. Такое уравнение является обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ). Линейное дифференциальное уравнение также может быть линейным уравнением в частных производных (УЧП), если неизвестная функция зависит от нескольких переменных, а производные, входящие в уравнение, являются частными производными.

Типы раствора

Линейное дифференциальное уравнение или система линейных уравнений, для которых соответствующие однородные уравнения имеют постоянные коэффициенты, могут быть решены с помощью квадратур, то есть их решения могут быть выражены в виде интегралов. Это также справедливо для линейного уравнения первого порядка с непостоянными коэффициентами. Уравнение второго или более высокого порядка с непостоянными коэффициентами, как правило, не может быть решено с помощью квадратур. Для уравнений второго порядка алгоритм Ковачича позволяет определить, существуют ли решения, выражаемые через интегралы, и вычислить их, если они существуют. Решения однородных линейных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами называются голономными функциями. Этот класс функций устойчив относительно сложения, умножения, дифференцирования, интегрирования и включает в себя многие обычные функции и специальные функции, такие как экспоненциальная функция, логарифм, синус, косинус, обратные тригонометрические функции, функция ошибок, функции Бесселя и гипергеометрические функции. Их представление в виде определяющего дифференциального уравнения и начальных условий позволяет сделать большинство операций математического анализа (для этих функций) алгоритмическими, таких как вычисление первообразных, пределов, асимптотических разложений и численное вычисление с любой заданной точностью и гарантированной оценкой погрешности.

Основная терминология

Высший порядок производной, входящей в (линейное) дифференциальное уравнение, называется порядком этого уравнения. Член b(x), не зависящий от искомой функции и её производных, иногда называют свободным членом уравнения (по аналогии с алгебраическими уравнениями), даже если этот член является неконстантной функцией. Если свободный член равен нулевой функции, то дифференциальное уравнение называется однородным, так как представляет собой однородный многочлен относительно искомой функции и её производных. Уравнение, полученное заменой свободного члена в линейном дифференциальном уравнении на нулевую функцию, называется соответствующим однородным уравнением. Дифференциальное уравнение имеет постоянные коэффициенты, если коэффициенты в соответствующем однородном уравнении являются постоянными функциями. Решением дифференциального уравнения называется функция, удовлетворяющая этому уравнению. Множество решений однородного линейного дифференциального уравнения образует векторное пространство. В общем случае это векторное пространство имеет конечную размерность, равную порядку уравнения. Все решения линейного дифференциального уравнения находятся путём добавления к частному решению любого решения соответствующего однородного уравнения.