Кіріспе

Математикалық функция доменінің бір бөлігі, онда функция нөлдік емес мәндерді қабылдайды. Математикадағы басқа қолданыстар. Математикада нақты мәнді функцияның қолдауы – нөлге жіберілмейтін элементтерді қамтитын функция доменінің ішкі жиыны. Егер функцияның домені топологиялық кеңістік болса, онда функцияның қолдауы нөлге жіберілмейтін барлық нүктелерді қамтитын ең кіші жабық жиын ретінде анықталады. Бұл ұғым математикалық талдауда кеңінен қолданылады.

Негізгі қолдау

Егер топологиялық өлшем кеңістігі Борел өлшемімен (мысалы, немесе Лебег өлшемімен жабдықталған Лебег өлшенетін ішкі жиынтығы) жабдықталған болса, онда функциялардың дерлік әр жерде тең болуы жиі анықталады. Осы жағдайда, өлшенетін функцияның негізгі тірегі (essential support), деп белгіленеді, ол кеңістігінің ең кіші жабық ішкі жиынтығы ретінде анықталады, онда дерлік әр жерде сыртында болады. Балама түрінде, – дегені, дерлік әр жерде тең болатын ең үлкен ашық жиынның толықтығы.

Функцияның негізгі тірегі өлшемге де, функцияға да байланысты және жабық тіректен қатаң кіші болуы мүмкін. Мысалы, егер Дирихле функциясы иррационал сандарда 1-ге, ал рационал сандарда 0-ге тең болса және Лебег өлшемімен жабдықталған болса, онда функциясының тірегі бүкіл аралығын құрайды, бірақ негізгі тірегі бос, өйткені дерлік әр жерде нөлдік функцияға тең. Анализде, екі жиынтық әр түрлі болған жағдайда, функцияның жабық тірегінен гөрі негізгі тірегін пайдалану қажет, сондықтан жиі жай ғана деп жазылады және тірек деп аталады.

Жалпылау

Егер – нөлді қамтитын кез келген жиын болса, қолдау түсінігі функцияларға тікелей жалпыланады. Қолдау, сондай-ақ, сәйкестік элементі нөлдің орнында тұратын (мысалы, топ, моноид немесе композициялық алгебра сияқты) кез келген алгебралық құрылым үшін де анықталуы мүмкін. Мысалы, натурал сандардан бүтін сандарға дейінгі функциялар отбасы – бүтін сандар тізбектерінің санаусыз жиыны. Осы отбасының кіші тобы – тек шектеулі мөлшерде нөлдік емес элементтері бар бүтін сандар тізбектерінің саналатын жиыны. Шектеулі қолдау функциялары топтық сақиналар және еркін абельдік топтар сияқты алгебралық құрылымдарды анықтауда қолданылады.

Дистрибуцияны қолдау

Сондай-ақ, Дирак дельта функциясы сияқты таралымның нақты сызықтағы қолдауы туралы сөйлесуге болады. Бұл мысалда біз сынақ функцияларын қарастыра аламыз, олар тегіс функциялар болып, қолдауы берілген нүктені қамтымайды. Егер (таралымды сынақ функциясына сызықтық функционал ретінде қолданғанда) мұндай функциялар үшін нөлге тең болса, онда таралымның қолдауы тек сол нүктеде ғана деп айтуға болады. Нақты сызықтағы өлшемдер (оның ішінде ықтималдық өлшемдер) таралымдардың ерекше жағдайлары болғандықтан, өлшемнің қолдауы туралы да дәл осылай айтуға болады. Егер таралым болса және Евклид кеңістігіндегі ашық жиын болса, онда барлық сынақ функциялары үшін, олардың қолдауы ішінде жатса, онда деп айтылады. Егер кез келген ашық жиындар отбасында жоғалып кетсе, онда кез келген сынақ функциясы үшін, қолдауы ішінде жатқанда, қолдауының компакттығына және бірлік бөлінісіне негізделген қарапайым аргумент де жоғалатынын көрсетеді. Сондықтан таралымның қолдауын, жоғалатын ең үлкен ашық жиынның толықтығы ретінде анықтауға болады. Мысалы, Дирак дельтасының қолдауы – .

Бірлік қолдау

Фурье талдауында, әсіресе, үлестірудің қолдауын зерттеу қызықты. Бұл интуитивті түсіндіруге сәйкес, үлестіру тегіс функция бола алмайтын нүктелер жиынтығы. Мысалы, Хевисайдтың қадамдық функциясының Фурье түрлендірмесін тұрақты факторларға дейін (функция) деп санауға болады, бірақ 0 нүктесінде ғана. 0 нақты ерекше нүкте болса да, түрлендірмедегі үлестірудің ерекше қолдауы бар екенін айту дәлірек: оны қолдауы 0 нүктесін қамтитын тест функцияларына қатысты функция ретінде дәл көрсетуге болмайды. Оны Коши негізгі мәніне сәйкессіз интегралдың қолданылуы ретінде көрсетуге болады. Бірнеше айнымалылардағы үлестірулер үшін, ерекше қолдаулар толқын фронт жиынтықтарын анықтауға және математикалық талдау тұрғысынан Гюйгенс қағидасын түсінуге мүмкіндік береді. Ерекше қолдаулар сондай-ақ үлестіру теориясына тән құбылыстарды түсіну үшін де қолданылуы мүмкін, мысалы, үлестірулерді "көбейту" әрекеттері (Дирактың дельта функциясын квадраттау сәтсіз аяқталады – негізінен, өйткені көбейтілетін үлестірулердің ерекше қолдаулары бөлек болуы керек).

Тіректер тобы

Анри Картан бушақтар теориясына қолайлы топологиялық кеңістікте абстрактілі ұғымды анықтады. Поанкаре дуалдығын компакт емес көптеулерге кеңейтуде, дуалдықтың бір жағында 'компактты қолдау' идеясы табиғи түрде пайда болады; мысалы, Александр-Спаниель кохомологиясын қараңыз. Брэдон, Бушақтар теориясы (2-басылым, 1997) осы анықтамаларды келтіреді. Егер ол төменнен жабық және ақырғы біріктіру бойынша жабық болса, онда жабық ішкі жиындардың жиыны – тіректер жиыны болып табылады. Оның кеңеюі – бұл жиынның барлық элементтерінің біріктірілісі. Паракомпактификациялық тіректер жиыны, сонымен қатар, кез келген ішкі жиынның ішкі кеңістік топологиясымен паракомпакт кеңістік екенін қанағаттандырады; және оның ішінде кейбір маңай бар. Егер кеңістік жергілікті компактты және Хаусдорф кеңістігі болса, онда барлық компакт ішкі жиындар жиыны қосымша шарттарды орындайды, осылайша оны паракомпактификациялайды.