Введение

Часть области определения математической функции, где функция принимает ненулевые значения. Другие применения в математике. В математике, поддержка функции вещественного значения — это подмножество области определения функции, содержащее элементы, которые не отображаются в ноль. Если область определения функции является топологическим пространством, то поддержка функции определяется как наименьшее замкнутое множество, содержащее все точки, не отображаемые в ноль. Эта концепция широко используется в математическом анализе.

Необходимая поддержка

Если является топологическим пространством с мерой (например, или измеримое подмножество с мерой Лебега), то обычно отождествляют функции, равные почти всюду. В этом случае, существенная поддержка измеримой функции , обозначаемая как , определяется как наименьшее замкнутое подмножество такое, что почти всюду вне . Эквивалентно, является дополнением к наибольшему открытому множеству, на котором почти всюду.

Существенная поддержка функции зависит от меры и от самой функции , и может быть строго меньше, чем замкнутая поддержка. Например, если – функция Дирихле, равная 1 на иррациональных числах и 0 на рациональных числах, и оснащена мерой Лебега, то поддержка – это весь интервал , но существенная поддержка пуста, поскольку почти всюду равна нулевой функции. В анализе почти всегда требуется использовать существенную поддержку функции, а не ее замкнутую поддержку, когда эти два множества различны, поэтому часто записывают просто как и называют поддержкой.

Обобщение

Если *X* – произвольное множество, содержащее ноль, то понятие поддержки сразу же обобщается на функции *f*: *X* → *Y*. Поддержка также может быть определена для любой алгебраической структуры с единичным элементом (такой как группа, моноид или композиционная алгебра), в которой единичный элемент играет роль нуля. Например, семейство функций из натуральных чисел в целые числа представляет собой несчётное множество целочисленных последовательностей. Подсемейство *F* – это счётное множество всех целочисленных последовательностей, имеющих лишь конечное число ненулевых элементов. Функции с конечной поддержкой используются при определении алгебраических структур, таких как кольца групп и свободные абелевы группы.

Поддержка дистрибутива

Также можно говорить о поддержке распределения, например, дельта-функции Дирака на вещественной прямой. В этом примере мы можем рассмотреть тестовые функции, которые являются гладкими функциями с поддержкой, не включающей точку. Поскольку (распределение, примененное как линейный функционал к) равно нулю для таких функций, мы можем сказать, что поддержка распределения состоит только из этой точки. Поскольку меры (включая меры вероятности) на вещественной прямой являются частными случаями распределений, мы также можем говорить о поддержке меры таким же образом. Пусть – распределение, а – открытое множество в евклидовом пространстве, такое, что для всех тестовых функций таких, что поддержка которых содержится в , обращается в нуль на . Теперь, если обращается в нуль на произвольном семействе открытых множеств, то для любой тестовой функции, поддержка которой содержится в , простое рассуждение, основанное на компактности поддержки и разбиении единицы, показывает, что также обращается в нуль. Следовательно, мы можем определить поддержку как дополнение к наибольшему открытому множеству, на котором обращается в нуль. Например, поддержка дельта-функции Дирака равна .

Однозначная поддержка

В анализе Фурье особенно интересно изучать сингулярную поддержку распределения. Это имеет интуитивную интерпретацию как множество точек, в которых распределение перестаёт быть гладкой функцией. Например, преобразование Фурье ступенчатой функции Хевисайда можно, с точностью до постоянных множителей, рассматривать как (функцию), за исключением точки 0. Хотя 0 явно является особенной точкой, точнее сказать, что преобразование распределения имеет сингулярную поддержку: его нельзя корректно представить в виде функции относительно тестовых функций, область определения которых включает 0. Его можно представить как применение несобственного интеграла в смысле главного значения Коши. Для распределений в нескольких переменных сингулярные поддержки позволяют определить волновые фронты и понять принцип Гюйгенса с точки зрения математического анализа. Сингулярные поддержки также могут использоваться для понимания явлений, специфичных для теории распределений, таких как попытки "умножить" распределения (возведение в квадрат дельта-функции Дирака не удаётся – по сути, потому что сингулярные поддержки перемножаемых распределений должны быть непересекающимися).

Семейство опор

Абстрактное понятие о топологическом пространстве, подходящее для теории пучков, было определено Анри Картаном. При расширении двойственности Пуанкаре на многообразия, не являющиеся компактными, идея "компактного носителя" естественным образом возникает на одной стороне двойственности; см., например, когомологии Александра-Спаниера. Bredon, Sheaf Theory (2-е издание, 1997) приводит эти определения. Семейство замкнутых подмножеств пространства является семейством носителей, если оно замкнуто относительно взятия подмножеств и замкнуто относительно конечного объединения. Его протяженность – это объединение по всем элементам семейства. Паракомпактифицирующее семейство носителей, дополнительно удовлетворяющее условию, что любое подмножество из семейства, наделенное подпространственной топологией, является паракомпактным пространством, и содержит некоторое подмножество, являющееся окрестностью. Если пространство локально компактно и хаусдорфово, то семейство всех компактных подмножеств удовлетворяет дополнительным условиям, делающим его паракомпактифицирующим.