Кіріспе

Алгебралық геометрияда қисықтардың қиылысуын есептеудің жалпыланған түсінігі
Математикада, әсіресе алгебралық геометрияда, қиылысу саны екі қисықтың қиылысуының интуитивті түсінігін жоғары өлшемдерге, екінен астам қисықтарға және жанасуды дұрыс ескеруге дейін жалпылайды. Безу теоремасы сияқты теоремаларды тұжырымдау үшін қиылысу санының анықтамасы қажет. Қиылысу саны кейбір жағдайларда, мысалы, жазықтықтағы x және y осьтерінің қиылысуында, бірге тең болуы керек. Қиылысуды есептеу кезінде қиындықтар туындайды, әсіресе жанасу нүктелерінде және нүктелер түрінде ғана емес, сонымен қатар жоғары өлшемді қиылыстарда. Мысалы, егер жазықтық сызық бойымен бетке жанасатын болса, онда сол сызық бойымен қиылысу саны кем дегенде екі болуы керек. Бұл мәселелер қиылысу теориясында жүйелі түрде қарастырылады.

Серредің Тор формуласы

V және W — X проективті кеңістігінің екі субварианты болсын, мұндағы dim(V) + dim(W) = dim(X). Онда V ∩ W қиылысының нүктелердің шекті жиыны болатынын күтеміз. Егер оларды санауға тырыссақ, екі түрлі проблема туындауы мүмкін. Біріншіден, V ∩ W-тің күтілетін өлшемі нөл болса да, нақты қиылысу үлкен өлшемді болуы мүмкін: мысалы, проективті жазықтықтағы проективті түзудің өзімен-өзінің қиылысу саны. Екінші мүмкін проблема — қиылысу нөлдік өлшемді болса да, ол көлденең болмауы мүмкін, мысалы, егер V жазық қисық болса және W оның бірінші тангенс түзуі болса. Бірінші проблеманы шешу үшін жоғарыда егжей-тегжейлі қарастырылған қиылысу теориясының аппараты қажет, ол V және W-ні жылдамды лемманы қолдана отырып, ыңғайлырақ субварианттармен алмастырады. Екінші проблеманы керісінше, V немесе W-ні жылдырмай тікелей шешуге болады. 1965 жылы Жан-Пьер Серр коммутативтік алгебра және гомологиялық алгебра әдістерімен әр қиылысу нүктесінің көптігін қалай табуға болатынын сипаттады. Геометриялық қиылысу ұғымы мен туынды тензорлық көбейтіндіге қатысты гомологиялық ұғым арасындағы бұл байланыс зор ықпал етті және әсіресе коммутативтік алгебрадағы бірнеше гомологиялық болжамдарға әкелді. Серрдің Tor формуласы былай тұжырымдайды: X — тұрақты түрлену болсын, V және W — толықтыратын өлшемдегі екі субвариант болсын, сондықтан V ∩ W нөлдік өлшемді. Кез келген x ∈ V ∩ W нүктесі үшін A — x-тің жергілікті сақинасы болсын. V және W-нің x-тегі құрылымдық шоқтары A-ның I, J идеалдарына сәйкес келеді. Онда V ∩ W-нің x нүктесіндегі көптігі

тең, мұндағы length — жергілікті сақинадағы модульдің ұзындығы, ал Tor — Tor функторы. Егер V және W көлденең орналасуға жылдырылса, осы гомологиялық формула күтілетін жауапты береді. Мысалы, егер V мен W x нүктесінде көлденең қиылысса, онда көптік 1-ге тең. Егер V — x нүктесіндегі парабола W-ге x нүктесіндегі жазықтықтағы тангенс болса, онда x нүктесіндегі көптік 2-ге тең. Егер V және W екеуі де тұрақты тізбектермен жергілікті түрде кесілсе, мысалы, егер олар сингулярлы болмаса, онда жоғарыдағы формуладағы барлық жоғары Tor-лар жоғалады, сондықтан көптік оң болады. Кездейсоқ жағдайдағы оңдық Серрдің көптік болжамдарының бірі болып табылады.

Қосымша анықтамалар

Анықтама кеңінен жалпылауға болады, мысалы, тек нүктелерде ғана емес, субварианттар бойынша қиылыстарға немесе кез келген толық варианттарға. Алгебралық топологияда қиылысу саны кубок көбейтіндісінің Пуанкаре дуалы ретінде көрінеді. Атап айтқанда, егер екі манифольд, X және Y, манифольд M-де көлденең қиылысса, қиылыстың гомология классы X және Y-тің Пуанкаре дуалдарының кубок көбейтіндісінің Пуанкаре дуалы болып табылады.

Өзін-өзі қиылысулары

Кейбір ең қызықты қиылысу сандарын есептеу – өз-өзімен қиылысу сандары. Бұл, бөлгіштің біріншісіне қатысты жалпы жағдайдағы эквивалентті басқа бөлгішке жылжырылуы және олардың қиылысуын білдіреді. Осылайша, өзімен-өзі қиылысатын сандар дұрыс анықталуы мүмкін, тіпті теріс те болуы мүмкін.

Қолданбалар

Қиылысу саны, ішінара, Безу теоремасын қанағаттандыратын қиылысуды анықтау ниетімен шақырылған. Қиылысу саны тұрақты нүктелерді зерттеуде туындайды, оларды функция графиктерінің диагональдармен шеберлікпен анықталған қиылысулары ретінде қарастыруға болады. Тұрақты нүктелердегі қиылысу сандарын есептеу тұрақты нүктелерді көптігімен санайды және Лефшецтің тұрақты нүкте теоремасына сандық түрде алып келеді.