Введение

Обобщенное понятие пересечения кривых в алгебраической геометрии. В математике, и особенно в алгебраической геометрии, число пересечений обобщает интуитивное понятие подсчета числа точек пересечения двух кривых, распространяя его на более высокие размерности, на случай пересечения нескольких (более двух) кривых и корректно учитывая касательность. Для формулировки результатов, таких как теорема Безу, необходимо определение числа пересечений. Число пересечений очевидно в некоторых случаях, например, пересечение осей x и y на плоскости, которое должно равняться единице. Сложности возникают при вычислении пересечений в точках касания, а также при пересечениях, которые не являются просто точками, а имеют более высокую размерность. Например, если плоскость касается поверхности вдоль прямой, то число пересечений вдоль этой прямой должно быть не менее двух. Эти вопросы систематически рассматриваются в теории пересечений.

Формула Тор Серре

Пусть V и W — два подвида несингулярного проективного сорта X, такие что dim(V) + dim(W) = dim(X). Тогда мы ожидаем, что пересечение V ∩ W будет конечным набором точек. Если мы попытаемся их сосчитать, могут возникнуть два вида проблем. Во-первых, даже если ожидаемая размерность V ∩ W равна нулю, фактическое пересечение может быть большой размерности: например, число самопересечения проективной прямой в проективной плоскости. Вторая потенциальная проблема заключается в том, что даже если пересечение имеет нулевую размерность, оно может быть не трансверсальным, например, если V — плоская кривая, а W — одна из её касательных прямых. Первая проблема требует аппарата теории пересечений, подробно рассмотренного выше, который заменяет V и W более удобными подвидами с использованием леммы о движении. С другой стороны, вторая проблема может быть решена непосредственно, без перемещения V или W. В 1965 году Жан-Пьер Серр описал, как найти кратность каждой точки пересечения методами коммутативной алгебры и гомологической алгебры. Эта связь между геометрическим понятием пересечения и гомологическим понятием производного тензорного произведения оказала значительное влияние и привела, в частности, к нескольким гомологическим гипотезам в коммутативной алгебре. Формула Серра для Tor утверждает: пусть X — регулярный сорт, V и W — два подмножества с дополнительными размерностями, такие что V ∩ W имеет нулевую размерность. Для любой точки x ∈ V ∩ W пусть A — локальное кольцо в точке x. Структурные пучки V и W в точке x соответствуют идеалам I, J ⊆ A. Тогда кратность V ∩ W в точке x равна

где length — длина модуля над локальным кольцом, а Tor — функтор Tor. Когда V и W можно переместить в трансверсальное положение, эта гомологическая формула даёт ожидаемый ответ. Так, например, если V и W пересекаются трансверсально в точке x, то кратность равна 1. Если V — касательная прямая к параболе W в точке x на плоскости, то кратность в точке x равна 2. Если V и W локально задаются регулярными последовательностями, например, если они несингулярны, то в указанной выше формуле все старшие Tor обращаются в ноль, следовательно, кратность положительна. Положительность в произвольном случае является одной из гипотез о кратности Серра.

Дополнительные определения

Определение может быть значительно обобщено, например, на пересечения вдоль подмногообразий вместо просто в точках, или на произвольные полные многообразия. В алгебраической топологии число пересечения возникает как двойственное преобразование Пуанкаре произведения чашек. В частности, если два многообразия X и Y пересекаются трансверсально в многообразии M, то класс гомологии пересечения является двойственным преобразованием Пуанкаре произведения чашек двойственных преобразований Пуанкаре X и Y.

Саморежущиеся точки

Некоторые из наиболее интересных чисел пересечений для вычисления – это числа самопересечений. Это означает, что делитель сдвигается к другому эквивалентному делителю в общем положении относительно исходного, и затем вычисляется их пересечение. Таким образом, числа самопересечений могут быть корректно определены и даже отрицательными.

Приложения

Число пересечений частично мотивировано стремлением определить пересечение так, чтобы оно удовлетворяло теореме Безу. Число пересечений возникает при изучении фиксированных точек, которые можно изящно определить как пересечения графиков функций с диагоналями. Вычисление числа пересечений в фиксированных точках позволяет подсчитать фиксированные точки с учётом их кратности и приводит к теореме Лефшеца о фиксированных точках в количественной формулировке.