Эли Жозеф Картан: Француз математигі және оның ғылыми еңбектері
Élie Cartan
Эли Картан (1869-1951) – франциялық математик, жалпы салыстырмалылық теориясы, дифференциалды геометрия және Ли тобы теориясындағы зерттемелерімен танымал.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Француз математигі (1869–1951)
French mathematician (1869–1951)
Эли Жозеф Картан (kaʁtɑ̃; 9 сәуір 1869 – 6 мамыр 1951) – Ли тобы, дифференциалдық жүйелер (ішкі координаттарға тәуелсіз геометриялық тұжырымдама арқылы шешілетін дифференциалдық теңдеулер) және дифференциалдық геометрия теориясында маңызды еңбек еткен, ықпалды француз математигі. Ол сондай-ақ жалпы салыстырмалылық теориясына және тікелей емес кванттық механикаға елеулі үлес қосты. Ол ХХ ғасырдың ең ұлы математиктерінің бірі саналады. Әдетте, Картанмен кездескеннен кейін бір күнінен соң одан хат алатынмын. Ол: «Сен кеткен соң, сұрақтарың туралы ойладым» дейтін, – жаңа нәтижелерге қол жеткізіп, тағы да сұрақтар қоятын. Ол қарапайым Ли тобы және Ли алгебрасы туралы барлық мақалаларды жатқа білген. Көшеде кездескенде, қандай да бір мәселе туындағанда, ол бір конверт алып, бірдеңе жазып, сізге жауап беретін. Кейде маған сол жауапты алу үшін бірнеше сағат немесе тіпті бірнеше күн керек болатын, өте көп еңбек етуге тура келді. 1921 жылы ол Польша Ғылым академиясының шетелдік мүшесі, ал 1937 жылы Нидерланд Корольдік өнер және ғылым академиясының шетелдік мүшесі болып сайланды. 1938 жылы ол ғылымның біртүтастығы үшін халықаралық конгресс ұйымдастыру үшін құрылған Халықаралық комитеттің құрамына кірді. Ол ұзақ аурудан кейін 1951 жылы Парижде қайтыс болды. 1976 жылы Ай бетіндегі кратерге оның есімі берілді. Бұрын ол Аполлоний Д. деп аталған.
Élie Joseph Cartan (kaʁtɑ̃; 9 April 1869 – 6 May 1951) was an influential French mathematician who did fundamental work in the theory of Lie groups, differential systems (coordinate free geometric formulation of PDEs), and differential geometry. He also made significant contributions to general relativity and indirectly to quantum mechanics. He is widely regarded as one of the greatest mathematicians of the twentieth century. Usually the day after [meeting with Cartan] I would get a letter from him. He would say, “After you left, I thought more about your questions ”—he had some results, and some more questions, and so on. He knew all these papers on simple Lie groups, Lie algebras, all by heart. When you saw him on the street, when a certain issue would come up, he would pull out some old envelope and write something and give you the answer. And sometimes it took me hours or even days to get the same answer I had to work very hard. In 1921 he became a foreign member of the Polish Academy of Learning and in 1937 a foreign member of the Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences. In 1938 he participated in the International Committee composed to organise the International Congresses for the Unity of Science. He died in 1951 in Paris after a long illness. In 1976, a lunar crater was named after him. Before, it was designated Apollonius D.
Лей топтары
Картан диссертациясынан кейінгі отыз жыл бойы Ли топтары саласында дерлік жалғыз болды. Ли бұл топтарды бастысынан аналитикалық түрлендірулердің аналитикалық көптігі ретінде қарастырды, олар шекті сандағы параметрлерге аналитикалық түрде тәуелді. 1888 жылы Вильгельм Киллинг басқа көптүрліліктердегі олардың мүмкін әрекеттеріне тәуелсіз, топты өздігінен жүйелі түрде зерттеуді бастағанда, бұл топтарды зерттеудің өте жемісті тәсілі ашылды. Сол кезде (және 1920 жылға дейін) тек жергілікті қасиеттер қарастырылды, сондықтан Киллингтің негізгі зерттеу нысаны – топтың Ли алгебрасы болды, ол жергілікті қасиеттерді таза алгебралық тұрғыдан нақты көрсетеді. Киллингтің үлкен жетістігі – барлық қарапайым комплекс Ли алгебраларын анықтау болды; алайда, оның дәлелдемелері көбінесе кемшіліктері болды, ал Картанның диссертациясы негізінен жергілікті теорияға қатаң негіз салуға және Киллинг көрсеткендей, қарапайым комплекс Ли алгебраларының әр түріне жататын ерекше Ли алгебраларының бар екенін дәлелдеуге арналған. Кейін Картан жергілікті теорияны екі маңызды мәселені нақты шешу арқылы толықтырды, олар үшін оған мүлдем жаңа әдістерді әзірлеу қажет болды: қарапайым нақты Ли алгебраларын жіктеу және осы мақсат үшін енгізген бейнелеу салмағы түсінігі арқылы қарапайым Ли алгебраларының барлық ирредукциялық сызықтық бейнелеулерін анықтау. 1913 жылы ортогональды топтардың сызықтық бейнелеулерін анықтау процесінде Картан спинорларды ашты, олар кейін кванттық механикада маңызды рөл атқарды. 1925 жылдан кейін Картан топологиялық мәселелерге көбірек қызығушылық таныта бастады. Вейлдің компактты топтардағы керемет нәтижелеріне ықпалданып, ол Ли топтарының жаһандық қасиеттерін зерттеудің жаңа әдістерін әзірледі; атап айтқанда, ол топологиялық тұрғыдан байланысты Ли тобы Евклид кеңістігі мен компактты топтың туындысы екенін көрсетті, ал компактты Ли топтары үшін топтың Ли алгебрасының құрылымынан негізгі көптіктің мүмкін болатын фундаменталдық топтарын оқуға болатындығын анықтады. Соңында ол компактты Ли топтарының Бетти сандарын анықтау әдісін сипаттады, бұл мәселені олардың Ли алгебралары бойынша алгебралық сұраққа қайтадан азайтып, ол содан бері толық шешілді.
Cartan was practically alone in the field of Lie groups for the thirty years after his dissertation. Lie had considered these groups chiefly as systems of analytic transformations of an analytic manifold, depending analytically on a finite number of parameters. A very fruitful approach to the study of these groups was opened in 1888 when Wilhelm Killing systematically started to study the group in itself, independent of its possible actions on other manifolds. At that time (and until 1920) only local properties were considered, so the main object of study for Killing was the Lie algebra of the group, which exactly reflects the local properties in purely algebraic terms. Killing's great achievement was the determination of all simple complex Lie algebras; his proofs, however, were often defective, and Cartan's thesis was devoted mainly to giving a rigorous foundation to the local theory and to proving the existence of the exceptional Lie algebras belonging to each of the types of simple complex Lie algebras that Killing had shown to be possible. Later Cartan completed the local theory by explicitly solving two fundamental problems, for which he had to develop entirely new methods: the classification of simple real Lie algebras and the determination of all irreducible linear representations of simple Lie algebras, by means of the notion of weight of a representation, which he introduced for that purpose. It was in the process of determining the linear representations of the orthogonal groups that Cartan discovered in 1913 the spinors, which later played such an important role in quantum mechanics. After 1925 Cartan grew more and more interested in topological questions. Spurred by Weyl's brilliant results on compact groups, he developed new methods for the study of global properties of Lie groups; in particular he showed that topologically a connected Lie group is a product of a Euclidean space and a compact group, and for compact Lie groups he discovered that the possible fundamental groups of the underlying manifold can be read from the structure of the Lie algebra of the group. Finally, he outlined a method of determining the Betti numbers of compact Lie groups, again reducing the problem to an algebraic question on their Lie algebras, which has since been completely solved.
Жалған псевдотоптар
Ли тобының құрылымы мәселесін шешкеннен кейін Картан (Лиден кейін) оны «шекті үздіксіз топтар» (немесе «шекті түрлендіру топтары») деп атады. Картан сондай-ақ «шексіз үздіксіз топтар» үшін ұқсас мәселені қойды, олар қазір Ли псевдотоптары деп аталады, бұл Ли топтарының шексіз өлшемді аналогы (Ли топтарының басқа да шексіз жалпыламалары бар). Картан қарастырған Ли псевдотобы – бірдей түрлендіруді қамтитын кеңістіктің ішкі жиындары арасындағы түрлендірулер жиыны, және бұл жиынның екі түрлендіруінің композициясы (егер мүмкін болса) сол жиынға тиесілі болады. Екі түрлендірудің композициясы әрқашан мүмкін болмайтындықтан, түрлендірулер жиыны топ емес (қазіргі терминологияда – группоид), сондықтан оны псевдотоп деп атайды. Картан қарастырылып отырған түрлендірулерге байланысты кеңістіктің сыныптарға бөлінбейтін түрлендірулерін ғана қарастырды. Мұндай түрлендірулердің псевдотоптары примитивті деп аталады. Картан көрсеткендей, күрделі аналитикалық түрлендірулердің әрбір шексіз өлшемді примитивті псевдотобы алты кластың біріне жатады: 1) n күрделі айнымалылардың барлық аналитикалық түрлендірулерінің псевдотобы; 2) тұрақты Якобиандыққа ие n күрделі айнымалылардың барлық аналитикалық түрлендірулерінің псевдотобы (яғни, барлық көлемдерді бірдей күрделі санға көбейтетін түрлендірулер); 3) Якобиандықтары бірге тең n күрделі айнымалылардың барлық аналитикалық түрлендірулерінің псевдотобы (яғни, көлемдерді сақтайтын түрлендірулер); 4) 2n > 4 күрделі айнымалылардың барлық аналитикалық түрлендірулерінің псевдотобы, белгілі бір екі еселік интегралды сақтайды (симплектік псевдотобы); 5) жоғарыда аталған екі еселік интегралды күрделі функцияға көбейтетін 2n > 4 күрделі айнымалылардың барлық аналитикалық түрлендірулерінің псевдотобы; 6) 2n + 1 күрделі айнымалылардың барлық аналитикалық түрлендірулерінің псевдотобы, белгілі бір форманы күрделі функцияға көбейтеді (контактілік псевдотобы). Шынайы айнымалылардың аналитикалық функцияларымен анықталған примитивті псевдотоптар үшін де нақты түрлендірулердің ұқсас кластары бар.
After solving the problem of the structure of Lie groups which Cartan (following Lie) called "finite continuous groups" (or "finite transformation groups"), Cartan posed the similar problem for "infinite continuous groups", which are now called Lie pseudogroups, an infinite dimensional analogue of Lie groups (there are other infinite generalizations of Lie groups). The Lie pseudogroup considered by Cartan is a set of transformations between subsets of a space that contains the identical transformation and possesses the property that the result of composition of two transformations in this set (whenever this is possible) belongs to the same set. Since the composition of two transformations is not always possible, the set of transformations is not a group (but a groupoid in modern terminology), thus the name pseudogroup. Cartan considered only those transformations of manifolds for which there is no subdivision of manifolds into the classes transposed by the transformations under consideration. Such pseudogroups of transformations are called primitive. Cartan showed that every infinite dimensional primitive pseudogroup of complex analytic transformations belongs to one of the six classes: 1) the pseudogroup of all analytic transformations of n complex variables; 2) the pseudogroup of all analytic transformations of n complex variables with a constant Jacobian (i. e., transformations that multiply all volumes by the same complex number); 3) the pseudogroup of all analytic transformations of n complex variables whose Jacobian is equal to one (i. e., transformations that preserve volumes); 4) the pseudogroup of all analytic transformations of 2n > 4 complex variables that preserve a certain double integral (the symplectic pseudogroup); 5) the pseudogroup of all analytic transformations of 2n > 4 complex variables that multiply the above mentioned double integral by a complex function; 6) the pseudogroup of all analytic transformations of 2n + 1 complex variables that multiply a certain form by a complex function (the contact pseudogroup). There are similar classes of pseudogroups for primitive pseudogroups of real transformations defined by analytic functions of real variables.
Дифференциалдық жүйелер
Картанның дифференциалдық жүйелер теориясындағы әдістері, шынымен де, оның ең терең жетістігі болуы мүмкін. Дәстүрден жаңылған ол, бастапқыда проблемаларды кез келген айнымалылар мен белгісіз функциялардың таңдауына тәуелсіз, толығымен өзгермейтін түрде тұжырымдап, шешуге ұмтылды. Осылайша ол алғаш рет кез келген дифференциалдық жүйенің "жалпы" шешімінің нақты анықтамасын берді. Оның келесі қадамы – берілген жүйеге жаңа белгісіздер мен жаңа теңдеулерді қосып, "ұзарту" әдісі арқылы барлық "ерекше" шешімдерді анықтауға талпыну болды, осылайша бастапқы жүйенің әрбір ерекше шешімі жаңа жүйенің жалпы шешіміне айналады. Картан өз әдісімен қарастырған әрбір мысалда барлық ерекше шешімдерді толық анықтауға қол жеткізгенімен, кез келген жүйе үшін мұның әрқашан орындалатынын жалпы түрде дәлелдеуге ол үлкермеді; мұндай дәлелді 1955 жылы Масатакэ Кураниши тапты. Картанның негізгі құралы – сыртқы дифференциалдық формалардың есебі болды, оның диссертациясын қорғағаннан кейінгі он жылда оны жасауға және дамытуға көмектесті, содан кейін оны дифференциалдық геометрия, Ли тобы, аналитикалық динамика және жалпы салыстырмалылық теориясы сияқты әртүрлі мәселелерге қолданды. Ол көптеген мысалдарды қарастырып, оларды өте ерекше стильде талқылады, мұндай стиль оның керемет алгебралық және геометриялық түсінігінің арқасында ғана мүмкін болды.
Cartan's methods in the theory of differential systems are perhaps his most profound achievement. Breaking with tradition, he sought from the start to formulate and solve the problems in a completely invariant fashion, independent of any particular choice of variables and unknown functions. He thus was able for the first time to give a precise definition of what is a "general" solution of an arbitrary differential system. His next step was to try to determine all "singular" solutions as well, by a method of "prolongation" that consists in adjoining new unknowns and new equations to the given system in such a way that any singular solution of the original system becomes a general solution of the new system. Although Cartan showed that in every example which he treated his method led to the complete determination of all singular solutions, he did not succeed in proving in general that this would always be the case for an arbitrary system; such a proof was obtained in 1955 by Masatake Kuranishi. Cartan's chief tool was the calculus of exterior differential forms, which he helped to create and develop in the ten years following his thesis and then proceeded to apply to a variety of problems in differential geometry, Lie groups, analytical dynamics, and general relativity. He discussed a large number of examples, treating them in an extremely elliptic style that was made possible only by his uncanny algebraic and geometric insight.
Дифференциалдық геометрия
Картанның дифференциалдық геометрияға қосқан үлесі де кем емес, тіпті ол бүкіл ғылымды қайта жандандырды деуге болады, себебі Риман мен Дарбукстың бастапқы еңбектері, бұрынғыдай, элементар геометрия мен инварианттар теориясында болғандай, маңызсыз есептеулер мен ұсақ нәтижелердің арасында жоғалып бара жатқан еді. Оның басшылық қағидасы – Дарбукс пен Рибаукурдың «қозғалмалы кадрлар» әдісін едәуір кеңейту болды, ол классикалық дифференциалдық геометрияда жасалған барлық нәрседен гөрі әлдеқайда икемді және күшті болды. Қазіргі терминдермен айтқанда, бұл әдіс бірдей базаға ие болған және базаның әрбір нүктесінде E талшығындағы элементке әсер ететін топқа тең талшыққа негізгі талшық түйінін қосудан тұрады. Егер E негіздегі жанама түйін болса (Лидің «контактілік элементтер» көпқырлылығы ретінде танылғаннан бері), сәйкес келетін топ – жалпы сызықтық топ (немесе классикалық Евклидтік немесе Риман геометриясындағы ортогональды топ). Картанның көптеген басқа талшықтар мен топтарды қолдану қабілеті оған талшық түйіні туралы алғашқы жалпы идеяны беруге мүмкіндік берді, бірақ ол оны ешқашан нақты анықтамады. Бұл ұғым қазіргі математиканың барлық салаларында, әсіресе жаһандық дифференциалдық геометрияда, алгебралық және дифференциалдық топологияда маңызды рөл атқарады. Картан оны байланыс туралы өзінің анықтамасын жасау үшін пайдаланды, ол қазір кеңінен қолданылады және 1917 жылдан кейін бірнеше геометрлердің Риман моделінен гөрі жалпылама «геометрия» түрін табуға және жалпы салыстырмалылық теориясының негізінде ғаламды сипаттауға жасаған бұрынғы тыңайлауларын толықтай алмастырды. Картан өзінің байланыс тұжырымдамасын қолданып, Риман геометриясын әлдеқайда әдемі және қарапайым түрде ұсынуға болатынын көрсетті. Дегенмен, оның соңғысына басты үлесі – симметриялық Риман кеңістіктерін ашу және зерттеу болды, бұл математикалық теорияны бастаған адамның оны аяқтағаны сирек кездесетін жағдайлардың бірі. Симметриялық Риман кеңістіктерін әртүрлі жолдармен анықтауға болады, ең қарапайымы кеңістіктің әрбір нүктесінде инволютивті «симметрияның» бар екенін, нүктені өзгеріссіз қалдырып, қашықтықты сақтайтынын постулаттайды. Картанның күтпеген жаңалығы – осы кеңістіктерді қарапайым Ли топтарының жіктелуі арқылы толық сипаттауға болатыны болды; сондықтан математиканың әртүрлі салаларында, мысалы, автоморфтық функциялар мен аналитикалық сандар теориясында (дифференциалдық геометриядан алыс көрінетін) осы кеңістіктердің маңызды рөл атқара бастауы таңқаларлық емес.
Cartan's contributions to differential geometry are no less impressive, and it may be said that he revitalized the whole subject, for the initial work of Riemann and Darboux was being lost in dreary computations and minor results, much as had happened to elementary geometry and invariant theory a generation earlier. His guiding principle was a considerable extension of the method of "moving frames" of Darboux and Ribaucour, to which he gave a tremendous flexibility and power, far beyond anything that had been done in classical differential geometry. In modern terms, the method consists in associating to a fiber bundle E the principal fiber bundle having the same base and having at each point of the base a fiber equal to the group that acts on the fiber of E at the same point. If E is the tangent bundle over the base (which since Lie was essentially known as the manifold of "contact elements"), the corresponding group is the general linear group (or the orthogonal group in classical Euclidean or Riemannian geometry). Cartan's ability to handle many other types of fibers and groups allows one to credit him with the first general idea of a fiber bundle, although he never defined it explicitly. This concept has become one of the most important in all fields of modern mathematics, chiefly in global differential geometry and in algebraic and differential topology. Cartan used it to formulate his definition of a connection, which is now used universally and has superseded previous attempts by several geometers, made after 1917, to find a type of "geometry" more general than the Riemannian model and perhaps better adapted to a description of the universe along the lines of general relativity. Cartan showed how to use his concept of connection to obtain a much more elegant and simple presentation of Riemannian geometry. His chief contribution to the latter, however, was the discovery and study of the symmetric Riemann spaces, one of the few instances in which the initiator of a mathematical theory was also the one who brought it to its completion. Symmetric Riemann spaces may be defined in various ways, the simplest of which postulates the existence around each point of the space of a "symmetry" that is involutive, leaves the point fixed, and preserves distances. The unexpected fact discovered by Cartan is that it is possible to give a complete description of these spaces by means of the classification of the simple Lie groups; it should therefore not be surprising that in various areas of mathematics, such as automorphic functions and analytic number theory (apparently far removed from differential geometry), these spaces are playing a part that is becoming increasingly important.
Жалпы салыстырмалылық теориясына балама теория
Картан гравитацияның тағы бір бәсекелес теориясын, Эйнштейн-Картан теориясын жасады.
Cartan created a competitor theory of gravity also Einstein–Cartan theory.