Введение

Французский математик (1869–1951)

Эли Жозеф Картан (kaʁtɑ̃; 9 апреля 1869 – 6 мая 1951) был влиятельным французским математиком, внесшим фундаментальный вклад в теорию групп Ли, дифференциальные системы (координатно-независимая геометрическая формулировка уравнений в частных производных) и дифференциальную геометрию. Он также внес значительный вклад в общую теорию относительности и косвенно в квантовую механику. Его широко считают одним из величайших математиков двадцатого века. Обычно на следующий день после [встречи с Картаном] я получал от него письмо. Он говорил: «После того, как вы ушли, я еще подумал над вашими вопросами», – у него были результаты, и еще вопросы, и так далее. Он знал все эти работы о простых группах Ли, алгебрах Ли, все наизусть. Когда вы встречали его на улице, и возникал какой-то вопрос, он доставал старый конверт, что-то записывал и давал вам ответ. И иногда мне требовались часы или даже дни, чтобы получить тот же ответ – мне приходилось очень много работать. В 1921 году он стал иностранным членом Польской академии знаний, а в 1937 году – иностранным членом Королевской нидерландской академии искусств и наук. В 1938 году он участвовал в Международном комитете, созданном для организации Международных конгрессов по единству науки. Он умер в 1951 году в Париже после продолжительной болезни. В 1976 году кратер на Луне был назван в его честь. Ранее он назывался Аполлоний D.

Группы лжи

Картан был практически один в области групп Ли в течение тридцати лет после защиты диссертации. Ли рассматривал эти группы главным образом как системы аналитических преобразований аналитического многообразия, аналитически зависящие от конечного числа параметров. Очень плодотворный подход к изучению этих групп открылся в 1888 году, когда Вильгельм Киллинг начал систематически изучать сами группы, независимо от их возможных действий на других многообразиях. В то время (и до 1920 года) рассматривались только локальные свойства, поэтому основным объектом исследования для Киллинга была алгебра Ли группы, которая точно отражает локальные свойства в чисто алгебраических терминах. Великим достижением Киллинга было определение всех простых комплексных алгебр Ли; однако его доказательства часто были недостаточно строги, и диссертация Картана была посвящена в основном тому, чтобы дать строгое обоснование локальной теории и доказать существование исключительных алгебр Ли, принадлежащих каждому из типов простых комплексных алгебр Ли, существование которых Киллинг показал возможным. Позже Картан завершил локальную теорию, явно решив две фундаментальные задачи, для решения которых ему пришлось разработать совершенно новые методы: классификацию простых вещественных алгебр Ли и определение всех неприводимых линейных представлений простых алгебр Ли, используя понятие веса представления, которое он ввел для этой цели. Именно в процессе определения линейных представлений ортогональных групп Картан открыл в 1913 году спиноры, которые впоследствии сыграли столь важную роль в квантовой механике. После 1925 года Картан проявлял все больший интерес к топологическим вопросам. Вдохновленный блестящими результатами Вейля по компактным группам, он разработал новые методы для изучения глобальных свойств групп Ли; в частности, он показал, что топологически связная группа Ли является произведением евклидова пространства и компактной группы, а для компактных групп Ли он обнаружил, что возможные фундаментальные группы лежащего в основе многообразия можно определить по структуре алгебры Ли группы. Наконец, он предложил метод определения чисел Бетти компактных групп Ли, вновь сводя проблему к алгебраическому вопросу об их алгебрах Ли, который с тех пор был полностью решен.

Псевдогруппы лжи

После решения проблемы структуры групп Ли, которую Картан (следуя Лаю) назвал «конечными непрерывными группами» (или «конечными группами преобразований»), Картан поставил аналогичную проблему для «бесконечных непрерывных групп», которые теперь называются псевдогруппами Ли – бесконечномерным аналогом групп Ли (существуют и другие бесконечные обобщения групп Ли). Псевдогруппа Ли, рассматриваемая Картаном, представляет собой множество преобразований между подмножествами пространства, содержащее тождественное преобразование и обладающее свойством, что результат композиции двух преобразований из этого множества (когда это возможно) принадлежит тому же множеству. Поскольку композиция двух преобразований не всегда возможна, это множество преобразований не является группой (а группоидом в современной терминологии), отсюда и название «псевдогруппа». Картан рассматривал только те преобразования многообразий, для которых нет разбиения многообразий на классы, переставляемые рассматриваемыми преобразованиями. Такие псевдогруппы преобразований называются примитивными. Картан показал, что каждая бесконечномерная примитивная псевдогруппа комплексных аналитических преобразований принадлежит к одному из шести классов: 1) псевдогруппа всех аналитических преобразований n комплексных переменных; 2) псевдогруппа всех аналитических преобразований n комплексных переменных с постоянным якобианом (то есть преобразований, умножающих все объемы на одно и то же комплексное число); 3) псевдогруппа всех аналитических преобразований n комплексных переменных, якобиан которых равен единице (то есть преобразований, сохраняющих объемы); 4) псевдогруппа всех аналитических преобразований 2n > 4 комплексных переменных, сохраняющих определенный двойной интеграл (симплектическая псевдогруппа); 5) псевдогруппа всех аналитических преобразований 2n > 4 комплексных переменных, умножающих вышеупомянутый двойной интеграл на комплексную функцию; 6) псевдогруппа всех аналитических преобразований 2n + 1 комплексных переменных, умножающих определенную форму на комплексную функцию (контактная псевдогруппа). Существуют аналогичные классы псевдогрупп для примитивных псевдогрупп вещественных преобразований, определенных аналитическими функциями вещественных переменных.

Дифференциальные системы

Методы Картана в теории дифференциальных систем, пожалуй, его самое значительное достижение. Отходя от традиций, он с самого начала стремился формулировать и решать задачи полностью инваринтным способом, независимо от какого-либо конкретного выбора переменных и неизвестных функций. Таким образом, он впервые смог дать точное определение "общего" решения произвольной дифференциальной системы. Его следующим шагом было попытаться определить все "сингулярные" решения, используя метод "продления", который заключается в добавлении новых неизвестных и новых уравнений к исходной системе таким образом, чтобы любое сингулярное решение исходной системы становилось общим решением новой системы. Хотя Картан показал, что в каждом рассмотренном им примере его метод приводил к полному определению всех сингулярных решений, ему не удалось доказать, что это всегда будет так для произвольной системы; такое доказательство было получено в 1955 году Масатаке Кураниси. Главным инструментом Картана был исчисление внешних дифференциальных форм, создание и развитие которого он активно поддерживал в течение десяти лет после защиты диссертации, а затем применил к широкому кругу задач в дифференциальной геометрии, группах Ли, аналитической динамике и общей теории относительности. Он рассмотрел большое количество примеров, излагая их в чрезвычайно лаконичном стиле, который стал возможен благодаря его необычайной алгебраической и геометрической интуиции.

Дифференциальная геометрия

Вклад Картана в дифференциальную геометрию не менее впечатляющ, и можно сказать, что он вдохнул новую жизнь во всю эту область, поскольку первоначальные работы Римана и Дарбукса терялись в утомительных вычислениях и незначительных результатах, подобно тому, как это произошло с элементарной геометрией и теорией инвариантов поколением ранее. Его основополагающим принципом стало значительное расширение метода "подвижных триангол" Дарбукса и Рибакура, которому он придал огромную гибкость и силу, намного превосходящую все, что было достигнуто в классической дифференциальной геометрии. В современных терминах, метод заключается в сопоставлении волокнистому расслоению E главного волокнистого расслоения, имеющего ту же базу и в каждой точке которой волокно равно группе, действующей на волокно E в той же точке. Если E – это касательное расслоение над базой (которое, со времен Ли, по сути, понималось как многообразие "элементов касания"), то соответствующая группа является общей линейной группой (или ортогональной группой в классической евклидовой или римановой геометрии). Способность Картана оперировать с множеством других типов волокон и групп позволяет считать его первым, кто сформулировал общую идею волокнистого расслоения, хотя он и не дал ему явного определения. Эта концепция стала одной из важнейших во всех областях современной математики, особенно в глобальной дифференциальной геометрии, алгебраической и дифференциальной топологии. Картан использовал ее для формулировки своего определения связности, которое сейчас используется повсеместно и вытеснило предыдущие попытки, предпринятые после 1917 года несколькими геометрами, найти тип "геометрии", более общий, чем риманова модель, и, возможно, лучше подходящий для описания Вселенной в духе общей теории относительности. Картан показал, как использовать свою концепцию связности для получения гораздо более элегантного и простого изложения римановой геометрии. Однако его главным вкладом в эту область стало открытие и исследование симметричных римановых пространств – один из немногих случаев, когда инициатор математической теории сам же и довел ее до завершения. Симметричные римановы пространства можно определить различными способами, самый простой из которых постулирует существование в окрестности каждой точки пространства "симметрии", которая является инволюцией, фиксирует эту точку и сохраняет расстояния. Неожиданным открытием Картана стало то, что можно дать полное описание этих пространств, используя классификацию простых групп Ли; поэтому не должно удивлять, что в различных областях математики, таких как автоморфные функции и аналитическая теория чисел (кажущиеся далекими от дифференциальной геометрии), эти пространства играют все более важную роль.

Альтернативная теория общей теории относительности

Картан создал конкурирующую теорию гравитации, известную также как теория Эйнштейна — Картана.