Кіріспе
3-тілдің компактты Риман беті, Клейн квартикасы
the Klein quadric
Гиперболалық геометрияда Феликс Клейннің есімімен аталған Клейн квартикасы – бұл 3-тілдің компактты Риман беті, бұл тұқым үшін ең жоғары реттік автоморфизм тобына ие, атап айтқанда 168 реттік бағдарды сақтайтын автоморфизмдер және бағдар кері айналса, басқаша автоморфизмдер. Осылайша, Клейн квартикасы – ең төменгі мүмкін тұқымдағы Хурвиц беті; Хурвицтің автоморфизмдер теоремасын қараңыз. Оның (бағдарды сақтайтын) автоморфизм тобы PSL(2,7)-ге изоморфты, ол ауыспалы A5 тобынан кейін екінші ең кішкентай абельдік емес қарапайым топ. Квартика алғаш рет Клейннің еңбектерінде сипатталған. Клейн квартикасы математиканың көптеген салаларында кездеседі, оның ішінде репрезентация теориясы, гомология теориясы, Ферманың соңғы теоремасы және бірінші сыныптық саны бар қиялданған квадраттық өрістер туралы Старк-Хегнер теоремасы; қасиеттері туралы шолу үшін қараңыз. Бастапқыда "Клейн квартикасы" алгебралық теңдеумен анықталған күрделі проективті жазықтықтың P²(ℂ) жиынтығын білдірді. Ол ерекше Риман метрикасына ие (осылайша P²(ℂ)-дағы минималды бет болады), онда оның Гаусс қисықтығы тұрақты емес. Бірақ көбінесе (осы мақаладағыдай) ол осы алгебралық қисыққа конформды тең келетін кез келген Риман беті ретінде қарастырылады, әсіресе гиперболалық жазықтық H²-нің белгілі бір кокомпактты G тобымен әрекет етуінен алынған, бұл G тобы H²-де изометриялар арқылы еркін әрекет етеді. Бұл Клейн квартикасына H²-ден мұрагерлік еткен -1 тұрақты қисықтығы бар Риман метрикасын береді. Конформды тең келетін Риман беттерінің жиынтығы 3-тілдің барлық компактты Риман беттерімен сәйкес келеді, олардың конформды автоморфизм тобы 168 реттік бірегей қарапайым топқа изоморфты. Бұл топ сондай-ақ PSL(2, 7) және PSL(3, 2) изоморфты тобы ретінде де белгілі. Жабын кеңістік теориясы бойынша, жоғарыда аталған G тобы 3-тілдің компактты бетінің негізгі тобына изоморфты.
Klein's quartic occurs in many branches of mathematics, in contexts including representation theory, homology theory, Fermat's Last Theorem, and the Stark–Heegner theorem on imaginary quadratic number fields of class number one; see for a survey of properties. Originally, the "Klein quartic" referred specifically to the subset of the complex projective plane 'P'^(2)('C') defined by an algebraic equation. This has a specific Riemannian metric (that makes it a minimal surface in 'P'^(2)('C')), under which its Gaussian curvature is not constant. But more commonly (as in this article) it is now thought of as any Riemann surface that is conformally equivalent to this algebraic curve, and especially the one that is a quotient of the hyperbolic plane 'H'^(2) by a certain cocompact group G that acts freely on 'H'^(2) by isometries. This gives the Klein quartic a Riemannian metric of constant curvature −1 that it inherits from 'H'^(2). This set of conformally equivalent Riemannian surfaces is precisely the same as all compact Riemannian surfaces of genus 3 whose conformal automorphism group is isomorphic to the unique simple group of order 168. This group is also known as PSL(2, 7), and also as the isomorphic group PSL(3, 2). By covering space theory, the group G mentioned above is isomorphic to the fundamental group of the compact surface of genus 3.
Жабық және ашық нысандар
Төртіншіліктің екі түрлі түрін ажырату маңызды. Жабық квартик – геометриядағы жалпы түсінік, топологиялық тұрғыдан ол 3-жынысты және тығыз кеңістік. Ашық немесе "тесікті" квартик сандар теориясында қызығушылық тудырады; топологиялық тұрғыдан ол 24 тесігі бар 3-жынысты бет, ал геометриялық тұрғыдан бұл тесіктер – бұрыштар. Ашық квартикті жабық квартиктен (топологиялық тұрғыдан) тұрақты жетібұрыштармен қаптаудың 24 ортасында тесіктер жасау арқылы алуға болады, бұл туралы төменде талқыланады. Ашық және жабық квартиктердің метрикалары әртүрлі, бірақ олардың екеуі де гиперболалық және толық – геометриялық тұрғыдан алғанда, бұрыштар "шексіздіктегі нүктелер", тесіктер емес, сондықтан ашық квартик те толық.
Кватернион алгебрасының құрылысы
Компактты Клейн квартикасы гиперболалық жазықтықтың бөлігі ретінде тиісті Фуксиан тобы Γ(I) әрекеті арқылы құрастырылуы мүмкін, ол алгебралық бүтін сандар сақинасы 'Z'(η) алгебралық өріс 'Q'(η)-дағы идеалмен байланысты негізгі конгруэнциялық кіші тобы болып табылады. 2 – η санын алгебралық бүтін сандар сақинасында 7-нің жай көбейткіші ретінде көрсететін мына теңдікті ескеріңіз. Γ(I) тобы (2,3,7) гиперболалық үшбұрыш тобының кіші тобы болып табылады. Атап айтқанда, Γ(I) тобы i, j генераторлары және қатынастар арқылы анықталатын ассоциативтік алгебра ретінде құрылған кватернион алгебрасындағы бірлік нормасы бар элементтер тобының кіші тобы болып табылады. Кватернион алгебрасында тиісті Хурвиц кватерниондық ретті таңдағанда, Γ(I) тобы – бұл кватерниондық реттегі нормасы 1-ге тең элементтердің тобы. Γ(I) тобындағы гиперболалық элементтің ізінің ең кіші абсолюттік мәні – бұл Клейн квартикасының систоласына сәйкес келетін 3.936 мәні, бұл осы туыстағы ең жоғары мәндердің бірі.
exhibiting 2 – η as a prime factor of 7 in the ring of algebraic integers. The group Γ(I) is a subgroup of the (2,3,7) hyperbolic triangle group. Namely, Γ(I) is a subgroup of the group of elements of unit norm in the quaternion algebra generated as an associative algebra by the generators i,j and relations
One chooses a suitable Hurwitz quaternion order in the quaternion algebra, Γ(I) is then the group of norm 1 elements in The least absolute value of a trace of a hyperbolic element in Γ(I) is , corresponding the value 3.936 for the systole of the Klein quartic, one of the highest in this genus.
Тақталау
Клейн квартикасы симметрия тобымен байланысты плиткаларды қабылдайды ("реттелі карта"). Клейн квартикасының өзіндік мәндері әртүрлі дәлдікпен есептелген. Алғашқы 15 түрлі оң өзіндік мәндері мен олардың көптіктері келесі кестеде көрсетілген. + Клейн квартикасының алғашқы 15 оң өзіндік мәндерінің сандық есептеулері. Өзіндік мән Сандық мән Көптілік 0 1 2.67793 8 6.62251 7 10.8691 6 12.1844 8 17.2486 7 21.9705 7 24.0811 8 25.9276 6 30.8039 6 36.4555 8 37.4246 8 41.5131 6 44.8884 8 49.0429 6 50.6283 6
Үш өлшемді модельдер
Клейн квартикасы 3 өлшемді фигура ретінде іске асырыла алмайды, себебі PSL(2,7) тең (бұрылу) симметриясы жоқ, өйткені PSL(2,7) SO(3) (немесе O(3)) субтобы ретінде енгізілмейді, себебі оның нақты сандар бойынша (тривиалды емес) 3 өлшемді сызықтық бейнелеуі жоқ. Дегенмен, Клейн квартикасының көптеген 3 өлшемді үлгілері ұсынылған, Клейннің бастапқы мақаласынан бастап, квартиканың ерекшеліктерін көрсетуге және симметрияларды топологиялық тұрғыдан сақтауға тырысады, бірақ олардың барлығы геометриялық тұрғыдан емес. Соның салдарынан алынған үлгілер көбінесе тетраэдрлік (12 реттік) немесе октаэдрлік (24 реттік) симметрияға ие; қалған 7 реттік симметрияны елестету оңай емес, және шындығында бұл Клейннің мақаласының тақырыбы болып табылады. Көбінесе квартика тетраэдрлік симметриясы бар 3 туысқан тегіс бет ретінде модельденеді (тұрақты тетраэдрдің қабырғаларын құбырлармен/тұтқалармен алмастыру мұндай пішін береді), оларды «тетрустар» деп атайды, және бұл үлгілер үшбұрышты үлгілерге қарағанда күрделі, себебі күрделілік (икемсіз) гептагондық беттердің пішіндерінде көрінеді, (икемді) төбелерде емес. Снаб кубі, кішкентай кубик-октаэдрлік суға батыру үшбұрыштардың кейбірін біріктіру арқылы алынады (2 үшбұрыш квадратты, 6 сегізбұрышты құрайды), оларды үшбұрыштардың түсімен көрсетуге болады (сәйкес плитка топологиялық тұрғыдан, бірақ геометриялық тұрғыдан 3 4 | 4 плиткасы емес). Бұл суға батыруды, сондай-ақ, PSL(2,7) құрамына квадраттар мен сегізбұрыштардың ортасынан өтетін түзулердің қарама-қарсы нүктелерін ауыстыратын өзгерістерді қосу арқылы M24 Матьё тобын геометриялық тұрғыдан құрастыру үшін де пайдалануға болады. Яғни, бөлу картасы 0, 1728 және ∞ нүктелерінде тармақталады; 1728-ге бөлу Белый функциясын (0, 1 және ∞ нүктелерінде тармақталған) береді, онда 56 төбе (суреттегі қара нүктелер) 0-ге, 84 қабырғаның ортасы (суреттегі ақ нүктелер) 1-ге, ал 24 гептагонның орталықтары шексіздікке сәйкес келеді. Алынған сурет «платоникалық» сурет болып табылады, яғни қабырғалық транзитивті және «таза» (әр ақ нүктеде 2 валенттілік бар).
Байланысты Риманн беттері
Клейн квартикасы әртүрлі басқа Риманн беттерімен байланысты. Геометриялық тұрғыдан алғанда, бұл ең кішкентай Хурвиц беті (ең төменгі туысы); келесісі – Макбит беті (туысы 7), ал одан кейінгісі – Бірінші Хурвиц үштігі (3 бет, туысы 14). Жалпы алғанда, бұл берілген туысқа ие ең симметриялық бет (Хурвиц беті болатындықтан); осы сыныпта Болза беті ең симметриялық 2 туысты бет, ал Бринг беті – жоғары симметриялық 4 туысты бет – Риманн беттерінің изометриясы туралы толық ақпарат алу үшін қараңыз. Алгебралық тұрғыдан алғанда, (аффиндік) Клейн квартикасы – модульдік қисық X(7), ал проективті Клейн квартикасы – оның жиынтығы, дәл сол сияқты додекаэдр (әр бетінің ортасында бір төбесі бар) модульдік қисық X(5) болып табылады; бұл сандар теориясымен байланыстылығын түсіндіреді. Одан да айқын айтқанда, (проективті) Клейн квартикасы – Шимура қисығы (7 және 14 туысты Хурвиц беттері сияқты) және осылайша 6 өлшемді негізгі поляризацияланған абельдік сорттарды параметризациялайды. Көбірек ерекшеліктері бар, Клейн квартикасы Владимир Арнольдтың мағынасындағы «үштік» құрамына кіреді, оны Маккей сәйкестігі деп те атауға болады. Бұл жиынтықта проективті арнайы сызықтық топтар PSL(2,5), PSL(2,7) және PSL(2,11) (реттері 60, 168, 660) ұқсас. 4 × 5 × 6/2 = 60, 6 × 7 × 8/2 = 168 және 10 × 11 × 12/2 = 660 екенін ескеріңіз. Бұл икосаэдрлік симметрияға (туысы 0), Клейн квартикасының симметриясына (туысы 3) және бакибол бетіне (туысы 70) сәйкес келеді. Бұл одан әрі көптеген ерекше құбылыстармен байланысты, олар «үштіктер» бөлімінде егжей-тегжейлі сипатталған.