Введение

Компактная поверхность Римана рода 3, квартика Клейна.

В гиперболической геометрии квартика Клейна, названная в честь Феликса Клейна, представляет собой компактную поверхность Римана рода 3 с группой автоморфизмов максимально возможного порядка для данного рода, а именно порядка 168, сохраняющих ориентацию, и автоморфизмы, если ориентация может быть изменена. Таким образом, квартика Клейна является поверхностью Hurwitz наименьшего возможного рода; см. теорему об автоморфизмах Hurwitz. Её (сохраняющая ориентацию) группа автоморфизмов изоморфна PSL(2,7), второй по величине неабелевой простой группе после группы A5. Квартика была впервые описана в… Квартика Клейна встречается во многих областях математики, в контекстах, включающих теорию представлений, теорию гомологий, последнюю теорему Ферма и теорему Старка — Хегнера об имнимых квадратичных числовых полях класса единицы; см. обзор свойств. Изначально под «квартикой Клейна» понималось конкретное подмножество комплексной проективной плоскости P²(C), заданное алгебраическим уравнением. Она обладает специфической римановой метрикой (делающей её минимальной поверхностью в P²(C)), при которой её гауссова кривизна не является постоянной. Однако чаще (как и в этой статье) под квартикой Клейна понимают любую поверхность Римана, конформно эквивалентную этой алгебраической кривой, и в особенности ту, которая является фактор-пространством гиперболической плоскости H² по некоторой кокомпактной группе G, действующей на H² свободным образом изометриями. Это наделяет квартику Клейна римановой метрикой постоянной кривизны −1, унаследованной от H². Этот набор конформно эквивалентных римановых поверхностей совпадает с множеством всех компактных римановых поверхностей рода 3, чья конформная группа автоморфизмов изоморфна единственной простой группе порядка 168. Эта группа также известна как PSL(2, 7) и как изоморфная группа PSL(3, 2). В силу теории накрывающих пространств, группа G, упомянутая выше, изоморфна фундаментальной группе компактной поверхности рода 3.

Закрытые и открытые формы

Важно различать две различные формы квартики. Закрытая квартика – это то, что обычно подразумевается в геометрии; топологически она имеет род 3 и является компактным пространством. Открытая или "проколотая" квартика представляет интерес для теории чисел; топологически это поверхность рода 3 с 24 проколами, и геометрически эти проколы являются куспидами. Открытая квартика может быть получена (топологически) из закрытой квартики путем прокола в 24 центрах мощения правильными гептагонами, как обсуждается ниже. Открытые и закрытые квартики имеют различные метрики, хотя обе они гиперболические и полные – геометрически, куспиды являются "точками на бесконечности", а не отверстиями, следовательно, открытая квартика все еще полна.

Строительство кватернионной алгебры

Компактный квартик Кляйна может быть построен как фактор-пространство гиперболической плоскости по действию подходящей группы Фукса Γ(I), которая является главной конгруэнтной подгруппой, связанной с идеалом в кольце алгебраических целых чисел Z(η) поля Q(η), где отмечается тождество, демонстрирующее 2 – η как простой делитель 7 в кольце алгебраических целых чисел. Группа Γ(I) является подгруппой гиперболической треугольной группы (2,3,7). А именно, Γ(I) является подгруппой группы элементов единичной нормы в кватернионной алгебре, порожденной как ассоциативная алгебра генераторами i, j и соотношениями. Выбирается подходящий порядок кватернионов Хурвица в кватернионной алгебре, тогда Γ(I) является группой элементов нормы 1 в этом порядке. Наименьшее абсолютное значение следа гиперболического элемента в Γ(I) равно , что соответствует значению 3.936 для систолы квартика Кляйна, одному из самых высоких в данном роде.

Плитка

Квартика Кляйна допускает покрытия, связанные с группой симметрии (так называемые "регулярные графы"). Собственные значения квартики Кляйна были вычислены с различной степенью точности. Первые 15 различных положительных собственных значений приведены в следующей таблице вместе с их кратностью. + Численные вычисления первых 15 положительных собственных значений квартики Кляйна. Собственное значение | Числовое значение | Кратность ---|---|--- 0 | 1 | 2.67793 | 8 | 6.62251 | 7 | 10.8691 | 6 | 12.1844 | 8 | 17.2486 | 7 | 21.9705 | 7 | 24.0811 | 8 | 25.9276 | 6 | 30.8039 | 6 | 36.4555 | 8 | 37.4246 | 8 | 41.5131 | 6 | 44.8884 | 8 | 49.0429 | 6 | 50.6283 | 6

Трехмерные модели

Квартика Кляйна не может быть реализована в виде трехмерной фигуры в том смысле, что ни одна трехмерная фигура не обладает (ротационными) симметриями, равными PSL(2,7), поскольку PSL(2,7) не вкладывается как подгруппа в SO(3) (или O(3)) – у неё нет (нетривиального) трехмерного линейного представления над действительными числами. Однако, начиная с оригинальной работы Кляйна, было предложено множество трехмерных моделей квартики Кляйна, которые стремятся продемонстрировать особенности квартики и сохранить симметрии топологически, хотя и не все геометрически. Получающиеся модели чаще всего имеют либо тетраэдрическую (порядка 12), либо октаэдрическую (порядка 24) симметрию; оставшаяся симметрия порядка 7 визуализируется с большей сложностью и, собственно, является темой работы Кляйна. Чаще всего квартика моделируется либо гладкой поверхностью рода 3 с тетраэдрической симметрией (замена ребер правильного тетраэдра трубками/ручками приводит к такой форме), которые получили название "тетрусы", и эти модели сложнее треугольных, поскольку сложность отражается в форме (негибких) семиугольных граней, а не в (гибких) вершинах. Куб с усеченными углами, малое кубикоктаэдрическое погружение получается путем соединения некоторых треугольников (2 треугольника образуют квадрат, 6 – восьмиугольник), что можно визуализировать, раскрашивая треугольники (соответствующая мозаика топологически, но не геометрически, является мозаикой 3 4 | 4). Это погружение также может быть использовано для геометрического построения группы Матье M24 путем добавления к PSL(2,7) перестановки, которая меняет местами противоположные точки биссектрис квадратов и восьмиугольников. То есть, факторное отображение имеет ветвления в точках 0, 1728 и ∞; деление на 1728 дает функцию Бели (с ветвлениями в точках 0, 1 и ∞), где 56 вершин (черные точки на диаграмме) лежат над 0, середины 84 ребер (белые точки на диаграмме) лежат над 1, а центры 24 семиугольников лежат над бесконечностью. Получающаяся диаграмма является "платонической" диаграммой, то есть, она транзитивна по ребрам и "чиста" (каждая белая точка имеет валентность 2).

Связанные поверхности Римана

Квартика Клейна связана с различными другими поверхностями Римана. Геометрически, это наименьшая поверхность Hurwitz (с наименьшим родом); следующая — поверхность Макбита (род 7), а за ней — первое тройное множество поверхностей Hurwitz (3 поверхности рода 14). В более общем смысле, это наиболее симметричная поверхность заданного рода (являясь поверхностью Hurwitz); в этом классе поверхность Болзы является наиболее симметричной поверхностью рода 2, а поверхность Бринга — высокосимметричной поверхностью рода 4 — см. раздел «Изометрии поверхностей Римана» для дальнейшего обсуждения. Алгебраически, (аффинная) квартика Клейна — это модульная кривая X(7), а (проективная) квартика Клейна — её компактификация, подобно тому, как додекаэдр (с острой вершиной в центре каждой грани) является модульной кривой X(5); это объясняет её значимость для теории чисел. Более тонко, (проективная) квартика Клейна является кривой Шимуры (как и поверхности Hurwitz рода 7 и 14) и, как таковая, параметризует принципиально поляризованные абелевы многообразия размерности 6. Ещё более исключительным образом квартика Клейна входит в состав «триады» в смысле Владимира Арнольда, которую также можно описать как соответствие Маккея. В этой совокупности проективные специальные линейные группы PSL(2,5), PSL(2,7) и PSL(2,11) (порядков 60, 168, 660) аналогичны. Обратите внимание, что 4 × 5 × 6/2 = 60, 6 × 7 × 8/2 = 168 и 10 × 11 × 12/2 = 660. Они соответствуют икосаэдрической симметрии (род 0), симметрии квартики Клейна (род 3) и поверхности фуллерена (род 70). Они также связаны со многими другими исключительными явлениями, которые подробно описаны в статье «Триады».