Кіріспе
Абель тобы бөліну алгебраларымен байланысты. Математикада, K өрісінің Брауэр тобы – элементтері K өрісі үстіндегі орталық қарапайым алгебралардың Морита эквиваленттік сыныптарынан тұратын абель тобы, ал қосу амалы алгебралардың тензорлық көбейтіндісі арқылы беріледі. Оны алгебраик Ричард Брауэр анықтаған. Брауэр тобы өрістегі бөліну алгебраларын жіктеу әрекеттерінен пайда болды. Оны Галуа когомологиясы тұрғысынан да анықтауға болады. Көбірек жалпылай келгенде, схеманың Брауэр тобы Азумая алгебралары арқылы немесе эквивалентті түрде проективтік шоғырлар қолданылуымен анықталады.
In mathematics, the Brauer group of a field K is an abelian group whose elements are Morita equivalence classes of central simple algebras over K, with addition given by the tensor product of algebras. It was defined by the algebraist Richard Brauer. The Brauer group arose out of attempts to classify division algebras over a field. It can also be defined in terms of Galois cohomology. More generally, the Brauer group of a scheme is defined in terms of Azumaya algebras, or equivalently using projective bundles.
Құрылыс
K өрісі бойынша орталық қарапайым алгебра (ОҚА) – бұл шекті өлшемді ассоциативтік K алгебрасы A, мұнда A қарапайым сақина және A орталығы K-ға тең. ОҚА-лар, әдетте, бөліну алгебрасы емес екенін ескеріңіз, бірақ ОҚА-ларды бөліну алгебраларын жіктеу үшін қолдануға болады. Мысалы, C кешенді сандары өздері үстінен ОҚА құрайды, бірақ R үстінен емес (орталық – C өзі, сондықтан R үстінен ОҚА болуы үшін тым үлкен). Ортасы R-мен шекті өлшемді бөліну алгебралары (яғни R-ге бөлінген өлшем шекті) – нақты сандар және Фробен теоремасы бойынша кватерниондар, ал кез келген матрицалық сақиналар – M(n, R) немесе M(n, H) – нақты сандар бойынша ОҚА, бірақ бөліну алгебрасы емес (егер n > 1). Артин–Уеддерберн теоремасы (әрине, Уеддерберннің бөлігі) бойынша, кез келген ОҚА-ны қандай да бір бөліну алгебрасы D үшін M(n, D) түрінде көрсетуге болады, арқылы ОҚА-лар арасында эквиваленттік қатынас аламыз. Егер біз тек D-ге қарасақ, яғни барлық оң бүтін сандар m және n үшін M(m, D) мен M(n, D) анықтайтын эквиваленттік қатынасты енгізсек, K өрісіндегі ОҚА-лар бойынша Брауэр эквиваленттік қатынасын аламыз. Брауэр тобының элементтері – K өрісіндегі ОҚА-лардың Брауэр эквиваленттік сыныптары.
Given central simple algebras A and B, one can look at their tensor product A ⊗ B as a K algebra (see tensor product of R algebras). It turns out that this is always central simple. A slick way to see this is to use a characterization: a central simple algebra A over K is a K algebra that becomes a matrix ring when we extend the field of scalars to an algebraic closure of K. This result also shows that the dimension of a central simple algebra A as a K vector space is always a square. The degree of A is defined to be the square root of its dimension. As a result, the isomorphism classes of CSAs over K form a monoid under tensor product, compatible with Brauer equivalence, and the Brauer classes are all invertible: the inverse of an algebra A is given by its opposite algebra Aop (the opposite ring with the same action by K since the image of K → A is in the center of A). Explicitly, for a CSA A we have 1=A ⊗ Aop = M(n2, K), where n is the degree of A over K.
The Brauer group of any field is a torsion group. In more detail, define the period of a central simple algebra A over K to be its order as an element of the Brauer group. Define the index of A to be the degree of the division algebra that is Brauer equivalent to A. Then the period of A divides the index of A (and hence is finite).
Орталық қарапайым алгебралар A және B берілген жағдайда, олардың тензорлық көбейтіндісі A ⊗ B-ді K алгебрасы ретінде қарастыруға болады (R алгебрасының тензорлық көбейтіндісін қараңыз). Бұл әрқашан орталық қарапайым болып шығады. Мұны түсінудің ең жақсы жолы – сипаттама: орталық қарапайым алгебра A, K үстінен, скалярлар өрісін K алгебралық жабылуына дейін кеңейткенде матрицалық сақинаға айналатын K алгебрасы. Бұл нәтиже сонымен қатар орталық қарапайым алгебраның өлшемі K векторлық кеңістігінде әрқашан квадрат екенін көрсетеді. A дәрежесі оның өлшемінің квадрат түбірі деп анықталады. Нәтижесінде, K үстіндегі ОҚА-лардың изоморфизм кластары тензорлық көбейтінді бойынша моноид құрайды, Брауэр эквиваленттігімен үйлесімді, ал Брауэр кластары барлығы кері айналады: A алгебрасының керісі оның қарама-қарсы алгебрасы Aop (K → A кескіні A орталығында болғандықтан, K-дің бірдей әрекеті бар қарама-қарсы сақина) арқылы беріледі. Ашық түрде, ОҚА A үшін бізде 1 = A ⊗ Aop = M(n², K) бар, мұндағы n – A-ның K үстінен дәрежесі. Кез келген өрістің Брауэр тобы – бұралу тобы. Толығырақ, орталық қарапайым алгебра A-ның K үстінен периоды оның Брауэр тобының элементі ретіндегі реті деп анықтаңыз. A индексін Брауэрдің A-ға эквивалентті бөліну алгебрасының дәрежесі деп анықтаңыз. Содан кейін A-ның периоды A-ның индексін бөледі (осыдан соң шекті).
Given central simple algebras A and B, one can look at their tensor product A ⊗ B as a K algebra (see tensor product of R algebras). It turns out that this is always central simple. A slick way to see this is to use a characterization: a central simple algebra A over K is a K algebra that becomes a matrix ring when we extend the field of scalars to an algebraic closure of K. This result also shows that the dimension of a central simple algebra A as a K vector space is always a square. The degree of A is defined to be the square root of its dimension. As a result, the isomorphism classes of CSAs over K form a monoid under tensor product, compatible with Brauer equivalence, and the Brauer classes are all invertible: the inverse of an algebra A is given by its opposite algebra Aop (the opposite ring with the same action by K since the image of K → A is in the center of A). Explicitly, for a CSA A we have 1=A ⊗ Aop = M(n2, K), where n is the degree of A over K.
The Brauer group of any field is a torsion group. In more detail, define the period of a central simple algebra A over K to be its order as an element of the Brauer group. Define the index of A to be the degree of the division algebra that is Brauer equivalent to A. Then the period of A divides the index of A (and hence is finite).
SeveriBrauer сорттары
K өрісінің Брауер тобының тағы бір маңызды түсіндірмесі – ол K үстіндегі проективтік әр түрліліктерді жіктеуге мүмкіндік береді, олар K-нің алгебралық жабылуы үстіндегі проективтік кеңістікке изоморфты болады. Мұндай әр түрлілік Севери-Брауер әр түрлілігі деп аталады, ал K үстіндегі n-1 өлшемді Севери-Брауер әр түрліліктерінің изоморфизм кластары мен K үстіндегі n дәрежелі орталық қарапайым алгебралар арасында бір-бірге сәйкестік бар.
Мысалы, 1 өлшемді Севери-Брауер әр түрліліктері – K үстіндегі проективтік жазықтықтағы тегіс коникалардың өзі. Егер K өрісінің сипаттамасы 2-ге тең болмаса, онда K үстіндегі әр коника aх² + by² = z² түріндегі, K-нің нөлдік емес элементтері a және b үшін изоморфты болады. Сәйкес орталық қарапайым алгебра – кватернион алгебрасы.
Коника, егер сәйкес кватернион алгебрасы M(2, K) матрицалық алгебрасына изоморфты болса ғана, K үстіндегі P1 проективтік түзуіне изоморфты болады.
Циклдік алгебралар
Оң бүтін сан n үшін, K – n-нің инвертибелдігі бар өріс болсын, онда K-де n-ші бірліктің бастапқы түбірі ζ бар. K-нің нөлдік емес элементтері a және b үшін байланысты циклдік алгебра – K-нің үстінен n дәрежелі орталық қарапайым алгебра, ол циклдік алгебралар арқылы анықталады. (Егер n K-де инвертибелді болмаса немесе K-де бірліктің бастапқы n-ші түбірі болмаса, ұқсас құрылым K-нің циклдік Z/n кеңейтуі χ және K-нің нөлдік емес элементі a-мен байланысты циклдік алгебраны (χ, a) береді.) Атап айтқанда, оң бүтін сан n үшін, K – n-нің инвертибелдігі бар өріс болсын, яғни K-де бірліктің бастапқы n-ші түбірі бар. Онда n-мен «өлтірілген» K-нің Брауэр тобының кіші тобы n дәрежелі циклдік алгебралар арқылы туындайды. Басқаша айтқанда, n-ді бөлетін кез келген кезеңге ие кез келген бөлу алгебрасы n дәрежелі циклдік алгебралардың тензорлық көбейтіндісіне Брауэр эквивалентті. Тіпті p жай сан үшін де, p дәрежелі кезеңге ие бөлу алгебрасының p дәрежелі циклдік алгебралардың тензорлық көбейтіндісіне изоморфты болуы міндетті емес екенін көрсететін мысалдар бар. Альберт қойған маңызды ашық мәселе – кез келген жай дәрежелі бөлу алгебрасы өріс үстінде циклдік бола ма? Бұл дәреже 2 немесе 3 болғанда дұрыс, бірақ мәселе кем дегенде 5-тен үлкен жай сандар үшін ашық. Белгілі нәтижелер тек өрістердің арнайы кластары үшін ғана қолданылады. Мысалы, егер K – жаһандық немесе жергілікті өріс болса, онда K үстінен кез келген дәрежедегі бөлу алгебрасы Альберт-Брауэр-Хассе-Нотер бойынша циклдік болады. Сол бағыттағы «жоғары өлшемді» нәтижені Солтман дәлелдеді: егер K – жергілікті Qp өрісіне қатысты 1 трансценденттік дәрежеге ие өріс болса, онда K үстінен l ≠ p жай дәрежелі кез келген бөлу алгебрасы циклдік болады.
Cyclic algebras are the best understood central simple algebras. (When n is not invertible in K or K does not have a primitive nth root of unity, a similar construction gives the cyclic algebra (χ, a) associated to a cyclic Z/n extension χ of K and a nonzero element a of K.)
The Merkurjev–Suslin theorem in algebraic K theory has a strong consequence about the Brauer group. Namely, for a positive integer n, let K be a field in which n is invertible such that K contains a primitive nth root of unity. Then the subgroup of the Brauer group of K killed by n is generated by cyclic algebras of degree n. Equivalently, any division algebra of period dividing n is Brauer equivalent to a tensor product of cyclic algebras of degree n. Even for a prime number p, there are examples showing that a division algebra of period p need not be actually isomorphic to a tensor product of cyclic algebras of degree p.
It is a major open problem (raised by Albert) whether every division algebra of prime degree over a field is cyclic. This is true if the degree is 2 or 3, but the problem is wide open for primes at least 5. The known results are only for special classes of fields. For example, if K is a global field or local field, then a division algebra of any degree over K is cyclic, by Albert–Brauer–Hasse–Noether. A "higher dimensional" result in the same direction was proved by Saltman: if K is a field of transcendence degree 1 over the local field Qp, then every division algebra of prime degree l ≠ p over K is cyclic.
Периодтық индекс проблемасы
Кез келген орталық қарапайым алгебра A үшін, K өрісі бойынша, A периоды A индексін бөледі, және екі санның жай факторлары бірдей. Кезеңдік индекс мәселесі – қызығушылық тудыратын K өрісі үшін индексті период арқылы шектеуге қатысты. Мысалы, егер A жергілікті немесе жаһандық өріс үстіндегі орталық қарапайым алгебра болса, Альберт-Брауэр-Хассе-Ноэтер A индексінің A периодына тең екенін көрсетті. Алгебралық жабық өріс бойынша n трансценденттік дәрежесі бар K өрісіндегі орталық қарапайым алгебра A үшін, ind(A) саны per(A)n−1 санына бөлінеді деп болжанады. Бұл n ≤ 2 үшін рас, ал n = 1 және n = 2 жағдайлары де Йонгтың маңызды жетістігі болып табылады, де Йонг-Старр және Либлих бұл нәтижені оң сипаттағы өрістер үшін одан әрі жетілдірді.
Сыныптық өріс теориясы
Брауер тобы кластық өріс теориясының қазіргі заманғы тұжырымдамасында маңызды рөл атқарады. Егер Kv Архимед емес жергілікті өріс болса, жергілікті сынып өріс теориясы канондық изоморфизмді береді: invv: Br(Kv) → Q/Z, бұл Хассе инварианты. K (мысалы, сандық өріс) жаһандық өрісінің жағдайы жаһандық сынып өріс теориясымен қарастырылады. Егер D – K үстіндегі орталық қарапайым алгебра болса және v – K-ның орны болса, онда D ⊗ Kv – Kv үстіндегі орталық қарапайым алгебра, Kv-ға K-ның толықтырылуы. Бұл K-ның Брауер тобынан Kv-ның Брауер тобына гомоморфизмді анықтайды. Берілген орталық қарапайым алгебра D, шекті көп v-ден басқа барлық v үшін бөлінеді, сондықтан D-нің суреті дерлік барлық осындай гомоморфизмдер бойынша 0-ге тең болады. Брауер тобы Br(K) Хассе құрастырған дәл тізбекке кіреді:
мұнда S – K-ның барлық орындарының жиыны және оң жақ жебе – жергілікті инварианттардың қосындысы; нақты сандардың Брауер тобы (1/2)Z/Z-бен сәйкес келеді. Сол жақ жебенің инъективтілігі Альберт–Брауэр–Хассе–Нойтер теоремасының мазмұны болып табылады. Орталық қарапайым алгебраның K үстіндегі барлық жергілікті инварианттарының қосындысы нөлге тең екендігі – бұл классикалық өзара байланыс заңы. Мысалы, бұл амалды Q үстіндегі кватернион алгебрасына (a, b) қолданғанда квадраттық өзара байланыс заңы шығады.
Схеманың Brauer тобы
Брауер тобын Аусландер мен Голдман өрістерден коммутативті сақиналарға жалпылады. Гротендик одан әрі барып, кез келген схеманың Брауер тобын анықтады. X схемасының Брауер тобын анықтаудың екі жолы бар: X-тегі Азумая алгебраларын немесе X-тегі проекциялық бундельдерді пайдалану. Екінші анықтама эталь топологиясында жергілікті тривиалды болатын проекциялық бундельдерді қамтиды, міндетті түрде Зариски топологиясында емес. Атап айтқанда, проекциялық бундель Брауер тобында нөл деп есептеледі, егер ол кейбір векторлық бундельдің проективтенуі болса. Квази-компакт схеманың кохомологиялық Брауер тобы H2(X, Gm) этальдік кохомология тобының торсиялық кіші тобы ретінде анықталады. (Толық топ H2(X, Gm) міндетті түрде торсиялық болуы керек емес, бірақ ол жүйелі схемалар X үшін торсиялық болып табылады.) Брауер тобы әрқашан кохомологиялық Брауер тобының кіші тобы болып табылады. Габбер кең сызық буы бар кез келген схема үшін Брауер тобы кохомологиялық Брауер тобына тең екенін көрсетті (мысалы, коммутативті сақинадағы кез келген квази-проекциялық схема). Толық топ H2(X, Gm) Gm құрылымдық тобымен X-тегі гербтерді жіктеу ретінде қарастырылуы мүмкін. Даладағы тегіс проективті сорттар үшін Брауер тобы бирационалдық инвариант болып табылады. Бұл жемісті болды. Мысалы, X күрделі сандар бойынша рационалды түрде байланысқан болса, X-тің Брауер тобы H3(X, Z) сингулярлы кохомология тобының торсиялық кіші тобына изоморфты болады, демек ол бирационалдық инвариант болып табылады. Артин мен Мамфорд Брауер тобының осы сипаттамасын тұрақты рационалды емес C-дегі X унирационалды сортының алғашқы мысалын беру үшін пайдаланды (яғни, X-тің проективті кеңістікпен ешқандай көбейтіндісі рационалды емес).
Тейт болжамына қатысты
Артин бүтін сандар бойынша әрбір дұрыс схеманың шекті Брауер тобы бар екенін болжады. Бұл тіпті шекті өрістегі X тегіс проективті сортының ерекше жағдайында да әлі белгілі емес. Шындығында, осы жағдайда беттер үшін Брауер тобының шектілігі X-тегі бөлгіштер үшін Тейт болжамымен эквивалентті, бұл алгебралық циклдер теориясындағы маңызды мәселелердің бірі. Сандық өрістің бүтін сандар сақинасы бойынша жазық және меншікті 2-өлшемді тұрақты интегралдық схема үшін, егер ол қимаға ие болса, Брауер тобының шектілігі жалпы талшықтың Якоб сортының (сандық өрістегі қисық) Тате-Шафаревич тобы Ш-тің шектілігімен эквивалентті. Ш-тің шектілігі эллиптік қисықтардың және жалпы алғанда абелдік сорттардың арифметикасындағы орталық мәселе болып табылады.
Брауер-Маннин кедергісі
X сандық өріс K-ге қарай тегіс проективті сорт болсын. Хассе принципі X-тің K-нің барлық Kv толықтыруларында рационалды нүктесі болса, онда X-тің K-рационалды нүктесі болады деп болжайды. Хассе принципі кейбір сорттардың арнайы сыныптары үшін орындалады, бірақ жалпы жағдайда емес. Манин X-тің Брауэр тобын қолданып, Брауэр-Манин кедергісін анықтады, оны көптеген жағдайларда X-тің K-нің барлық толықтыруларында нүктелері болған кезде де, X-тің K нүктелері жоқ екенін көрсету үшін қолдануға болады.