Кіріспе
Шектеулі өлшемді алгебра, оның орталық элементтері сол өріс болып табылады. Сақиналар теориясы және математиканың ұқсас салаларында, өріс K үстіндегі орталық қарапайым алгебра (ОҚА) – бұл қарапайым және орталығы дәл K болатын шектеулі өлшемді ассоциативтік K-алгебрасы A. (Ескеріңіз, әрбір қарапайым алгебра оның орталығы үстінде орталық қарапайым алгебра болып табылмайды: мысалы, егер K 0 сипаттамалы өріс болса, онда Вейл алгебрасы ортасы K болатын қарапайым алгебра, бірақ K-модуль ретінде шексіз өлшемді болғандықтан, K үстінде орталық қарапайым алгебра емес.) Мысалы, кешенді сандар C өздері үстінде ОҚА құрайды, бірақ нақты сандар R үстінде емес (C орталығы – R ғана емес, барлық C). Квартерниондар H, R үстінде 4 өлшемді ОҚА құрайды және шын мәнінде нақты сандардың Брауер тобының жалғыз тривиальды емес элементін көрсетеді (төменде қараңыз). Егер бір өрістегі F бойынша екі орталық қарапайым алгебра A ~ M(n,S) және B ~ M(m,T) берілген болса, олардың бөліну сақиналары S және T изоморфты болса, A және B ұқсас (немесе Брауер эквиваленті) деп аталады. Берілген F өрісі бойынша орталық қарапайым алгебралардың барлық эквиваленттілік сыныптары жиынтығы осы эквиваленттілік қатынас бойынша алгебралардың тензорлық көбейтіндісімен берілген топтық операциямен жабдықталуы мүмкін. Нәтижесінде пайда болған топ F өрісінің Брауер тобы Br(F) деп аталады. Ол әрқашан бұралу тобы болып табылады.
In ring theory and related areas of mathematics a central simple algebra (CSA) over a field K is a finite dimensional associative K algebra A which is simple, and for which the center is exactly K. (Note that not every simple algebra is a central simple algebra over its center: for instance, if K is a field of characteristic 0, then the Weyl algebra is a simple algebra with center K, but is not a central simple algebra over K as it has infinite dimension as a K module.) For example, the complex numbers C form a CSA over themselves, but not over the real numbers R (the center of C is all of C, not just R). The quaternions H form a 4 dimensional CSA over R, and in fact represent the only non trivial element of the Brauer group of the reals (see below). Given two central simple algebras A ~ M(n,S) and B ~ M(m,T) over the same field F, A and B are called similar (or Brauer equivalent) if their division rings S and T are isomorphic. The set of all equivalence classes of central simple algebras over a given field F, under this equivalence relation, can be equipped with a group operation given by the tensor product of algebras. The resulting group is called the Brauer group Br(F) of the field F. It is always a torsion group.
Бөліну өрісі
E өрісін A үстіне K-ның бөліну өрісі деп атаймыз, егер A⊗E, E үстіндегі матрица сақинасына изоморф болса. Кез келген шекті өлшемді CSA-ның бөліну өрісі бар: шындығында, егер A бөліну алгебрасы болса, онда A-ның максимал кіші өрісі бөліну өрісі болып табылады. Жалпы, Веддерберн мен Кёте теоремалары бойынша, K-ның A индексіне тең дәрежедегі ажыратылатын кеңейтімі болатын бөліну өрісі бар, және бұл бөліну өрісі A-ның кіші өрісіне изоморфты. Мысал ретінде, C өрісі R үстіндегі кватернион алгебрасы H-ты бөледі. CSA A үшін қысқартылған норманы және қысқартылған ізді анықтау үшін бөліну өрісінің бар екенін пайдалануға болады. A-ны бөліну өрісі үстіндегі матрица сақинасына бейнелейміз және қысқартылған норманы және ізді осы бейнелеудің детерминант және ізбен құрамы ретінде анықтаймыз. Мысалы, H кватернион алгебрасында, жоғарыдағы бөліну t + x i + y j + z k элементінің қысқартылған нормасы t² + x² + y² + z² және қысқартылған із 2t екенін көрсетеді. Қысқартылған норма көбейтінділі, ал қысқартылған із қосымша. A элементі a кері болатындығы туралы егер және тек қана оның қысқартылған нормасы нөлге тең болмаса: сондықтан CSA бөліну алгебрасы болып табылады, егер және тек қана нөлдік емес элементтердегі қысқартылған норма нөлдік болмаса.
We can use the existence of the splitting field to define reduced norm and reduced trace for a CSA A. Map A to a matrix ring over a splitting field and define the reduced norm and trace to be the composite of this map with determinant and trace respectively. For example, in the quaternion algebra H, the splitting above shows that the element t + x i + y j + z k has reduced norm t2 + x2 + y2 + z2 and reduced trace 2t. The reduced norm is multiplicative and the reduced trace is additive. An element a of A is invertible if and only if its reduced norm in non zero: hence a CSA is a division algebra if and only if the reduced norm is non zero on the non zero elements.
Жалпылау
K өрісіндегі CSA-лар, K өрісіндегі кеңейту өрістерінің коммутативті емес аналогы болып табылады – екі жағдайда да, олардың тривиалды емес екі жақты идеалдары жоқ және орталықтарында ерекше өріс бар. Алайда, CSA коммутативті емес болуы мүмкін және кері элементтері болуы міндетті емес (бөлу алгебрасы болуы қажет емес). Бұл, әсіресе, коммутативті емес сандар теориясында сандар өрістерінің (рационалдар Q-ның кеңейтулері) жалпылануы ретінде маңызды; қараңыз, коммутативті емес сандар өрісі.