Введение
Абелева группа, связанная с алгебрами деления. В математике группа Брауэра поля K — это абелева группа, элементы которой являются классами эквивалентности Мориты центральных простых алгебр над K, а операция сложения задается тензорным произведением алгебр. Она была определена алгебраистом Ричардом Брауэром. Группа Брауэра возникла в результате попыток классифицировать алгебры деления над полем. Её также можно определить в терминах когомологии Галуа. В более общем случае группа Брауэра схемы определяется в терминах азумаевских алгебр или, эквивалентно, с использованием проективных расслоений.
In mathematics, the Brauer group of a field K is an abelian group whose elements are Morita equivalence classes of central simple algebras over K, with addition given by the tensor product of algebras. It was defined by the algebraist Richard Brauer. The Brauer group arose out of attempts to classify division algebras over a field. It can also be defined in terms of Galois cohomology. More generally, the Brauer group of a scheme is defined in terms of Azumaya algebras, or equivalently using projective bundles.
Строительство
Центральная простая алгебра (CSA) над полем K — это конечномерная ассоциативная K-алгебра A, такая что A является простым кольцом, а центр A равен K. Следует отметить, что CSA в общем случае не являются алгебрами деления, хотя CSA можно использовать для классификации алгебр деления. Например, комплексные числа C образуют CSA над собой, но не над R (центр — это сам C, следовательно, слишком велик, чтобы быть CSA над R). Конечномерные алгебры деления с центром R (то есть размерность над R конечна) — это действительные числа и кватернионы по теореме Фробениуса, в то время как любое матричное кольцо над действительными числами или кватернионами — M(n, R) или M(n, H) — является CSA над действительными числами, но не алгеброй деления (если n > 1). Мы получаем отношение эквивалентности на CSA над K по теореме Артина — Уэддерберна (фактически, часть Уэддерберна), чтобы представить любую CSA в виде M(n, D) для некоторой алгебры деления D. Если рассматривать только D, то есть наложить отношение эквивалентности, отождествляющее M(m, D) с M(n, D) для всех положительных целых чисел m и n, мы получим отношение эквивалентности Брауэра на CSA над K. Элементы группы Брауэра — это классы эквивалентности Брауэра CSA над K.
Для заданных центральных простых алгебр A и B можно рассматривать их тензорное произведение A ⊗ B как K-алгебру (см. тензорное произведение алгебр над R). Оказывается, что это всегда центральная простая алгебра. Удобный способ увидеть это — использовать характеристизацию: центральная простая алгебра A над K — это K-алгебра, которая становится матричным кольцом при расширении поля скаляров до алгебраического замыкания K. Этот результат также показывает, что размерность центральной простой алгебры A как K-векторного пространства всегда является квадратом. Степень A определяется как квадратный корень из её размерности. Следовательно, классы изоморфизма CSA над K образуют моноид относительно тензорного произведения, совместимый с эквивалентностью Брауэра, и классы Брауэра все обратимы: обратная к алгебре A задается её противоположной алгеброй Aop (противоположное кольцо с тем же действием K, поскольку образ K → A содержится в центре A). Явно, для CSA A имеем 1 = A ⊗ Aop = M(n², K), где n — степень A над K.
Группа Брауэра любого поля является группой кручения. Более подробно, определим период центральной простой алгебры A над K как её порядок как элемента группы Брауэра. Определим индекс A как степень алгебры деления, Брауэровски эквивалентной A. Тогда период A делит индекс A (и, следовательно, конечен).
Севери-Брауер
Другая важная интерпретация группы Брауэра поля K заключается в том, что она классифицирует проективные многообразия над K, которые становятся изоморфными проективному пространству над алгебраическим замыканием K. Такое многообразие называется многообразием Зевери–Брауэра, и существует взаимно однозначное соответствие между классами изоморфизма многообразий Зевери–Брауэра размерности n − 1 над K и центральными простыми алгебрами степени n над K.
Например, многообразия Зевери–Брауэра размерности 1 – это ровно гладкие коники в проективной плоскости над K. Для поля K характеристики, отличной от 2, каждая коника над K изоморфна одной из форм ax² + by² = z² для некоторых ненулевых элементов a и b из K. Соответствующая центральная простая алгебра – кватернионная алгебра.
Коника изоморфна проективной прямой P¹ над K тогда и только тогда, когда соответствующая кватернионная алгебра изоморфна матричной алгебре M(2, K).
Циклическая алгебра
Для положительного целого числа n, пусть K – поле, в котором n обратимо, и K содержит примитивный n-й корень единицы ζ. Для ненулевых элементов a и b из K, соответствующая циклическая алгебра – это центральная простая алгебра степени n над K, определяемая следующим образом. Циклические алгебры – наиболее хорошо изученные центральные простые алгебры. (Когда n не обратимо в K или K не содержит примитивного n-го корня единицы, аналогичная конструкция дает циклическую алгебру (χ, a), связанную с циклическим расширением χ поля K и ненулевым элементом a из K.)
Cyclic algebras are the best understood central simple algebras. (When n is not invertible in K or K does not have a primitive nth root of unity, a similar construction gives the cyclic algebra (χ, a) associated to a cyclic Z/n extension χ of K and a nonzero element a of K.)
The Merkurjev–Suslin theorem in algebraic K theory has a strong consequence about the Brauer group. Namely, for a positive integer n, let K be a field in which n is invertible such that K contains a primitive nth root of unity. Then the subgroup of the Brauer group of K killed by n is generated by cyclic algebras of degree n. Equivalently, any division algebra of period dividing n is Brauer equivalent to a tensor product of cyclic algebras of degree n. Even for a prime number p, there are examples showing that a division algebra of period p need not be actually isomorphic to a tensor product of cyclic algebras of degree p.
It is a major open problem (raised by Albert) whether every division algebra of prime degree over a field is cyclic. This is true if the degree is 2 or 3, but the problem is wide open for primes at least 5. The known results are only for special classes of fields. For example, if K is a global field or local field, then a division algebra of any degree over K is cyclic, by Albert–Brauer–Hasse–Noether. A "higher dimensional" result in the same direction was proved by Saltman: if K is a field of transcendence degree 1 over the local field Qp, then every division algebra of prime degree l ≠ p over K is cyclic.
Теорема Меркурева — Суслина в алгебраической K-теории имеет важное следствие для группы Брауэра. А именно, для положительного целого числа n, пусть K – поле, в котором n обратимо, и K содержит примитивный n-й корень единицы. Тогда подгруппа группы Брауэра поля K, аннулируемая n, порождается циклическими алгебрами степени n. Эквивалентно, любая алгебра делений периода, делящего n, Брауэр-эквивалентна тензорному произведению циклических алгебрам степени n. Даже для простого числа p существуют примеры, показывающие, что алгебра делений периода p не обязательно изоморфна тензорному произведению циклических алгебрам степени p.
Cyclic algebras are the best understood central simple algebras. (When n is not invertible in K or K does not have a primitive nth root of unity, a similar construction gives the cyclic algebra (χ, a) associated to a cyclic Z/n extension χ of K and a nonzero element a of K.)
The Merkurjev–Suslin theorem in algebraic K theory has a strong consequence about the Brauer group. Namely, for a positive integer n, let K be a field in which n is invertible such that K contains a primitive nth root of unity. Then the subgroup of the Brauer group of K killed by n is generated by cyclic algebras of degree n. Equivalently, any division algebra of period dividing n is Brauer equivalent to a tensor product of cyclic algebras of degree n. Even for a prime number p, there are examples showing that a division algebra of period p need not be actually isomorphic to a tensor product of cyclic algebras of degree p.
It is a major open problem (raised by Albert) whether every division algebra of prime degree over a field is cyclic. This is true if the degree is 2 or 3, but the problem is wide open for primes at least 5. The known results are only for special classes of fields. For example, if K is a global field or local field, then a division algebra of any degree over K is cyclic, by Albert–Brauer–Hasse–Noether. A "higher dimensional" result in the same direction was proved by Saltman: if K is a field of transcendence degree 1 over the local field Qp, then every division algebra of prime degree l ≠ p over K is cyclic.
Важной нерешенной проблемой (поставленной Альбертом) является вопрос о том, является ли каждая алгебра делений простой степени над полем циклической. Это верно, если степень равна 2 или 3, но проблема остается открытой для простых чисел, больших или равных 5. Известные результаты относятся только к специальным классам полей. Например, если K – глобальное поле или локальное поле, то алгебра делений любой степени над K является циклической (Альберт — Брауэр — Хассе — Нотер). Солтман доказал результат в том же направлении, но для более общего случая: если K – поле трансцендентности степени 1 над локальным полем Qp, то каждая алгебра делений простой степени l ≠ p над K является циклической.
Cyclic algebras are the best understood central simple algebras. (When n is not invertible in K or K does not have a primitive nth root of unity, a similar construction gives the cyclic algebra (χ, a) associated to a cyclic Z/n extension χ of K and a nonzero element a of K.)
The Merkurjev–Suslin theorem in algebraic K theory has a strong consequence about the Brauer group. Namely, for a positive integer n, let K be a field in which n is invertible such that K contains a primitive nth root of unity. Then the subgroup of the Brauer group of K killed by n is generated by cyclic algebras of degree n. Equivalently, any division algebra of period dividing n is Brauer equivalent to a tensor product of cyclic algebras of degree n. Even for a prime number p, there are examples showing that a division algebra of period p need not be actually isomorphic to a tensor product of cyclic algebras of degree p.
It is a major open problem (raised by Albert) whether every division algebra of prime degree over a field is cyclic. This is true if the degree is 2 or 3, but the problem is wide open for primes at least 5. The known results are only for special classes of fields. For example, if K is a global field or local field, then a division algebra of any degree over K is cyclic, by Albert–Brauer–Hasse–Noether. A "higher dimensional" result in the same direction was proved by Saltman: if K is a field of transcendence degree 1 over the local field Qp, then every division algebra of prime degree l ≠ p over K is cyclic.
Проблема индекса периода
Для любой центральной простой алгебры A над полем K период A делит индекс A, и оба числа имеют одни и те же простые множители. Задача об индексе периода состоит в том, чтобы оценить индекс через период для интересующих полей K. Например, если A — центральная простая алгебра над локальным полем или глобальным полем, то Альберт — Брауэр — Хассе — Нотер показали, что индекс A равен периоду A. Для центральной простой алгебры A над полем K трансцендентной степени n над алгебраически замкнутым полем предполагается, что ind(A) делит per(A)^(n-1). Это верно для n ≤ 2, случай n = 2 является важным достижением де Йонга, уточненным в положительной характеристике де Йонгом — Старром и Либлихом.
Теория поля классов
Группа Брауэра играет важную роль в современной формулировке теории классовых полей. Если Kv является неархимедовым локальным полем, то локальная теория классовых полей дает канонический изоморфизм invv : Br(Kv) → Q/Z, инвариант Хассе. Случай глобального поля K (например, поля чисел) рассматривается глобальной теорией классовых полей. Если D — центральная простая алгебра над K и v — место в K, то D ⊗ Kv — центральная простая алгебра над Kv, завершение K в v. Это определяет гомоморфизм из группы Брауэра K в группу Брауэра Kv. Для данной центральной простой алгебры D расщепление происходит во всех, кроме конечного числа мест v, так что образ D при почти всех таких гомоморфизмах равен 0. Группа Брауэра Br(K) вписывается в точную последовательность, построенную Хассе:
где S — множество всех мест K, а правая стрелка — сумма локальных инвариантов; группа Брауэра поля вещественных чисел отождествляется с (1/2)Z/Z. Инъективность левой стрелки является содержанием теоремы Альберта — Брауэра — Хассе — Ноэтера. Тот факт, что сумма всех локальных инвариантов центральной простой алгебры над K равна нулю, является типичным законом взаимности. Например, применение этого к кватернионной алгебре (a, b) над Q дает закон квадратичной взаимности.
Группа Брауера схемы
Группа Брауэра была обобщена Ауслендером и Голдманом с полей на коммутативные кольца. Гротендик пошел дальше, определив группу Брауэра для любой схемы. Существует два способа определения группы Брауэра схемы X, используя либо алгебры Азумайи над X, либо проективные расслоения над X. Второе определение использует проективные расслоения, локально тривиальные в этальной топологии, не обязательно в топологии Зариски. В частности, проективное расслоение считается нулевым в группе Брауэра тогда и только тогда, когда оно является проективизацией некоторого векторного расслоения. Кохомологическая группа Брауэра квазикомпактной схемы X определяется как торсионная подгруппа группы этальной когомологии H²(X, Gm). (Вся группа H²(X, Gm) не обязана быть торсионной, хотя она торсионной для регулярных схем X.) Группа Брауэра всегда является подгруппой кохомологической группы Брауэра. Габбер показал, что группа Брауэра равна кохомологической группе Брауэра для любой схемы с изобильным линейным расслоением (например, для любой квазипроективной схемы над коммутативным кольцом). Всю группу H²(X, Gm) можно рассматривать как классификатор гербов над X со структурной группой Gm. Для гладких проективных многообразий над полем группа Брауэра является бирациональным инвариантом. Это оказалось плодотворным. Например, когда X также рационально связна над комплексными числами, группа Брауэра X изоморфна торсионной подгруппе группы сингулярной когомологии H³(X, Z), которая, следовательно, также является бирациональным инвариантом. Артин и Мамфорд использовали это описание группы Брауэра, чтобы привести первый пример унирационального многообразия X над C, которое не является стабильно рациональным (то есть, никакое произведение X с проективным пространством не является рациональным).
Связь с гипотезой Тэйт
Артен предположил, что каждая собственная схема над целыми числами имеет конечную группу Брауэра. Это до сих пор не доказано даже в частном случае гладкого проективного многообразия X над конечным полем. Действительно, конечность группы Брауэра для поверхностей в этом случае эквивалентна гипотезе Тейта для дивизоров на X, одной из центральных проблем в теории алгебраических циклов. Для регулярной интегральной схемы размерности 2, которая плоская и собственная над кольцом целых чисел числового поля и имеет сечение, конечность группы Брауэра эквивалентна конечности группы Тате — Шафаревича Ш для якобиана общего волокна (кривой над числовым полем). Конечность Ш является центральной проблемой в арифметике эллиптических кривых и, в более общем случае, абелевых многообразий.
Ограничение BrauerManin
Пусть X — гладкое проективное многообразие над числовым полем K. Принцип Хассе предсказывает, что если у X есть рациональная точка над всеми завершениями Kv поля K, то у X есть K-рациональная точка. Принцип Хассе выполняется для некоторых специальных классов многообразий, но не в общем случае. Манин использовал группу Брауэра многообразия X для определения препятствия Брауэра — Манина, которое во многих случаях позволяет показать, что у X нет K-точек, даже если у X есть точки над всеми завершениями K.