Введение
Конечномерная алгебра над полем, центральными элементами которой является само это поле. В теории колец и смежных областях математики центральная простая алгебра (CSA) над полем K — это конечномерная ассоциативная K-алгебра A, которая является простой, и для которой центр совпадает с K. (Следует отметить, что не каждая простая алгебра является центральной простой алгеброй над своим центром: например, если K — поле характеристики 0, то алгебра Вейля является простой алгеброй с центром K, но не является центральной простой алгеброй над K, так как она имеет бесконечную размерность как K-модуль.) Например, комплексные числа C образуют CSA над собой, но не над действительными числами R (центр C — это все C, а не только R). Кватернионы H образуют 4-мерную CSA над R и фактически представляют единственный нетривиальный элемент группы Брауэра над полем действительных чисел (см. ниже). Две центральные простые алгебры A ~ M(n, S) и B ~ M(m, T) над одним и тем же полем F называются подобными (или Брауэр-эквивалентными), если их кольца делений S и T изоморфны. Множество всех классов эквивалентности центральных простых алгебр над заданным полем F относительно этого отношения эквивалентности можно снабдить групповой операцией, заданной тензорным произведением алгебр. Полученная группа называется группой Брауэра Br(F) поля F. Она всегда является группой кручения.
In ring theory and related areas of mathematics a central simple algebra (CSA) over a field K is a finite dimensional associative K algebra A which is simple, and for which the center is exactly K. (Note that not every simple algebra is a central simple algebra over its center: for instance, if K is a field of characteristic 0, then the Weyl algebra is a simple algebra with center K, but is not a central simple algebra over K as it has infinite dimension as a K module.) For example, the complex numbers C form a CSA over themselves, but not over the real numbers R (the center of C is all of C, not just R). The quaternions H form a 4 dimensional CSA over R, and in fact represent the only non trivial element of the Brauer group of the reals (see below). Given two central simple algebras A ~ M(n,S) and B ~ M(m,T) over the same field F, A and B are called similar (or Brauer equivalent) if their division rings S and T are isomorphic. The set of all equivalence classes of central simple algebras over a given field F, under this equivalence relation, can be equipped with a group operation given by the tensor product of algebras. The resulting group is called the Brauer group Br(F) of the field F. It is always a torsion group.
Раздельное поле
Мы называем поле E полем расщепления для A над K, если A ⊗ E изоморфно кольцу матриц над E. Каждая конечномерная CSA имеет поле расщепления: действительно, в случае, когда A является алгеброй с делением, то максимальное подполе A является полем расщепления. В общем случае, по теоремам Уэддерберна и Кёте, существует поле расщепления, которое является сепарабельным расширением K степени, равной индексу A, и это поле расщепления изоморфно подполю A. В качестве примера, поле C расщепляет кватернионную алгебру H над R с…
Мы можем использовать существование поля расщепления для определения приведённой нормы и приведённого следа для CSA A. Отобразим A в кольцо матриц над полем расщепления и определим приведённую норму и приведённый след как композицию этого отображения с определителем и следом соответственно. Например, в кватернионной алгебре H, расщепление, описанное выше, показывает, что элемент t + x i + y j + z k имеет приведённую норму t² + x² + y² + z² и приведённый след 2t. Приведённая норма мультипликативна, а приведённый след аддитивен. Элемент a из A обратим тогда и только тогда, когда его приведённая норма не равна нулю: следовательно, CSA является алгеброй с делением тогда и только тогда, когда приведённая норма не равна нулю на ненулевых элементах.
Обобщение
CSA над полем K являются некоммутативным аналогом расширений полей над K. В обоих случаях они не имеют нетривиальных двусторонних идеалов и содержат выделенное поле в своем центре, хотя CSA может быть некоммутативным и необязательно иметь обратные элементы (не обязательно являться алгеброй с делением). Это представляет особый интерес в некомутативной теории чисел как обобщение числовых полей (расширений поля рациональных чисел Q); см. некомутативное числовое поле.