Түйін теориясы: Ең қарапайым, бірақ тривиальды емес түйін – үш өткелді түйін. Математикалық түйін теориясының негізі, хиральды қасиеттері туралы ақпарат.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Үш қиылысы бар ең қарапайым тривиалды емес жабық түйін – топологиялық ұғым.
Simplest non trivial closed knot with three crossings
the topological concept
Математиканың түйін теориясы саласында үшжапырақ түйіні – тривиалды емес түйіннің ең қарапайым мысалы болып табылады. Оны әдеттегі тоқыл түйінінің екі бос ұшын біріктіру арқылы жасауға болады, нәтижесінде түйілген шеңбер пайда болады. Ең қарапайым түйін ретінде үшжапырақ түйіні математикалық түйін теориясын зерттеуде маңызды рөл атқарады. Бұл түйін үш жапырақты қондырша (немесе үшжапырақ) өсімдігінің атымен аталған.
In knot theory, a branch of mathematics, the trefoil knot is the simplest example of a nontrivial knot. The trefoil can be obtained by joining the two loose ends of a common overhand knot, resulting in a knotted loop. As the simplest knot, the trefoil is fundamental to the study of mathematical knot theory. The trefoil knot is named after the three leaf clover (or trefoil) plant.
Симметрия
Үшбұрыш түйіні хиралды, яғни үшбұрыш түйінін өзінің айнадағы бейнесінен ажыратуға болады. Соның нәтижесінде екі нұсқа пайда болады, олар сол және оң жақты үшбұрыш түйіні деп аталады. Сол жақты үшбұрыш түйінін үздіріссіз түрлендіру арқылы оң жақты үшбұрыш түйініне немесе керісінше өзгерту мүмкін емес. (Демек, екі түйін айналадағы изотопты емес.) Хиральды болғанымен, үшбұрыш түйіні инверттелуге қабілетті, яғни сағат тіліне қарсы және сағат тілімен бағытталған үшбұрыш түйіні арасында ешқандай айырмашылық жоқ. Яғни, үшбұрыш түйінінің хиральдығы қисықтың бағытына емес, тек жоғарғы және төменгі қиылыстарға ғана байланысты.
The trefoil knot is chiral, in the sense that a trefoil knot can be distinguished from its own mirror image. The two resulting variants are known as the left handed trefoil and the right handed trefoil. It is not possible to deform a left handed trefoil continuously into a right handed trefoil, or vice versa. (That is, the two trefoils are not ambient isotopic.) Though chiral, the trefoil knot is also invertible, meaning that there is no distinction between a counterclockwise oriented and a clockwise oriented trefoil. That is, the chirality of a trefoil depends only on the over and under crossings, not the orientation of the curve.
Елеусіздігі
Үш жапырақ түйіні тривиальді емес, яғни оны үш өлшемді кеңістікте кесіп тастамай "шешуге" болмайды. Математикалық тұрғыдан алғанда, бұл үш жапырақ түйіні түйінге изотопты емес екенін білдіреді. Атап айтқанда, үш жапырақ түйінін шешуге Ридмейстер қимылдарының тізбегі жоқ. Мұны дәлелдеу үшін үш жапырақ түйінін түйіннен ажырататын түйін инвариантын құру қажет. Ең қарапайым инвариант – үш түстілік: үш жапырақ түйіні үш түспен боялуы мүмкін, ал түйін – жоқ. Сонымен қатар, дерлік барлық маңызды түйін полиномдары үш жапырақ түйінін түйінден ажыратады, сондай-ақ көптеген басқа да күшті түйін инварианттары да ажыратады.
The trefoil knot is nontrivial, meaning that it is not possible to "untie" a trefoil knot in three dimensions without cutting it. Mathematically, this means that a trefoil knot is not isotopic to the unknot. In particular, there is no sequence of Reidemeister moves that will untie a trefoil. Proving this requires the construction of a knot invariant that distinguishes the trefoil from the unknot. The simplest such invariant is tricolorability: the trefoil is tricolorable, but the unknot is not. In addition, virtually every major knot polynomial distinguishes the trefoil from an unknot, as do most other strong knot invariants.
Жіктеу
Торап теориясында үшбұрыш – ең алғашқы маңызды торап және қиылыс саны үшке тең болатын жалғыз торап. Ол – жай түйін, және Александр-Бриггс нотациясында 31 ретінде тіркелген. Доукер нотациясы бойынша үшбұрыш 4 6 2, ал Конвей нотациясы [3]. Үшбұрышты (2,3) торус түйіні деп сипаттауға болады. Бұл σ13 өрімнің жабылуынан алынған түйін. Үшбұрыш – кезектесетін түйін. Дегенмен, ол кесінді түйін емес, яғни ол 4-өлшемді шар ішіндегі тегіс 2-өлшемді дискіні шегермейді; мұны дәлелдеудің бір жолы – оның қолтаңбасы нөлге тең емес екенін ескеру. Тағы бір дәлел – оның Александр полиномы Фокс-Милнор шартын қанағаттандырмайды. Үшбұрыш – талшықты түйін, яғни оның толықтыруы шеңбер бойынша талшықтық буындама болып табылады. Үшбұрыш K түйінін келесідей қарастыруға болады: z және w кешенді сандарының жұптары, мұндағы z³ - w² = 1. Осы жағдайда бұл талшықтық буындамада Милнор картасы түйін толықтыруын шеңберге проекциялау ретінде қарастырылады. Талшық – бір тесігі бар торус. Түйін толықтыруы шекарасы бар Сейферт талшықты болғандықтан, оның көлденең қысылмайтын беті бар – бұл да Милнор картасының талшығы. (Бұл түйін қатты торус Nε(K) түріне дейін қалыңдатылған және осы қатты торус ішкі бөлігі түйіннің тығыз толықтыруын жасау үшін алынып тасталған деп есептеледі.)
In knot theory, the trefoil is the first nontrivial knot, and is the only knot with crossing number three. It is a prime knot, and is listed as 31 in the Alexander Briggs notation. The Dowker notation for the trefoil is 4 6 2, and the Conway notation is [3]. The trefoil can be described as the (2,3) torus knot. It is also the knot obtained by closing the braid σ13. The trefoil is an alternating knot. However, it is not a slice knot, meaning it does not bound a smooth 2 dimensional disk in the 4 dimensional ball; one way to prove this is to note that its signature is not zero. Another proof is that its Alexander polynomial does not satisfy the Fox Milnor condition. The trefoil is a fibered knot, meaning that its complement in is a fiber bundle over the circle The trefoil K may be viewed as the set of pairs of complex numbers such that and Then this fiber bundle has the Milnor map as the fibre bundle projection of the knot complement to the circle The fibre is a once punctured torus. Since the knot complement is also a Seifert fibred with boundary, it has a horizontal incompressible surface—this is also the fiber of the Milnor map. (This assumes the knot has been thickened to become a solid torus Nε(K), and that the interior of this solid torus has been removed to create a compact knot complement .)
Дін мен мәдениетте
Ең қарапайым бұдыр түйін ретінде үшжапырақ – иконография мен бейнелеу өнерінде жиі кездесетін мотив. Мысалы, трикетра символының кең таралған түрі үшжапырақтан тұрады, сондай-ақ германиялық Валькнуттың кейбір нұсқалары да осыған ұқсайды. Қазіргі заманғы өнерде М.С. Эшердің "Түйіндер" атты ағаш кескіні үш үшжапырақ түйінді бейнелейді, олардың қатты нысандары әртүрліше бұрылған.
As the simplest nontrivial knot, the trefoil is a common motif in iconography and the visual arts. For example, the common form of the triquetra symbol is a trefoil, as are some versions of the Germanic Valknut. In modern art, the woodcut Knots by M. C. Escher depicts three trefoil knots whose solid forms are twisted in different ways.