Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Простейший нетривиальный замкнутый узел с тремя пересечениями – топологическое понятие.
Simplest non trivial closed knot with three crossings
the topological concept
В теории узлов, являющейся ветвью математики, треfoil (трехлистный узел) является простейшим примером нетривиального узла. Треfoil можно получить, соединив два свободных конца обычного простого узла, в результате чего образуется завязанная петля. Как самый простой узел, треfoil имеет фундаментальное значение для изучения математической теории узлов. Трехлистный узел назван в честь трехлистного клевера (треfoil).
In knot theory, a branch of mathematics, the trefoil knot is the simplest example of a nontrivial knot. The trefoil can be obtained by joining the two loose ends of a common overhand knot, resulting in a knotted loop. As the simplest knot, the trefoil is fundamental to the study of mathematical knot theory. The trefoil knot is named after the three leaf clover (or trefoil) plant.
Симметрия
Узел трилистника является хиральным, в том смысле, что его можно отличить от своего зеркального отражения. Два полученных варианта известны как левый трилистник и правый трилистник. Невозможно непрерывно деформировать левый трилистник в правый трилистник или наоборот. (То есть, эти два трилистника не являются амбиентно изотопными.) Несмотря на хиральность, узел трилистника также является обратимым, что означает, что нет различий между трилистником, ориентированным против часовой стрелки, и трилистником, ориентированным по часовой стрелке. То есть, хиральность трилистника зависит только от того, как нити перекрещиваются – сверху или снизу, а не от ориентации кривой.
The trefoil knot is chiral, in the sense that a trefoil knot can be distinguished from its own mirror image. The two resulting variants are known as the left handed trefoil and the right handed trefoil. It is not possible to deform a left handed trefoil continuously into a right handed trefoil, or vice versa. (That is, the two trefoils are not ambient isotopic.) Though chiral, the trefoil knot is also invertible, meaning that there is no distinction between a counterclockwise oriented and a clockwise oriented trefoil. That is, the chirality of a trefoil depends only on the over and under crossings, not the orientation of the curve.
Нетривиальность
Трефольный узел не является тривиальным, то есть его нельзя "развязать" в трех измерениях, не разрезая его. Математически это означает, что трефольный узел не изотопен обычному узлу (безузлу). В частности, не существует последовательности движений Ридмейстера, которая позволила бы развязать трефольный узел. Доказательство этого требует построения инварианта узла, который отличает трефольный узел от обычного узла. Самый простой такой инвариант – трехцветность: трефольный узел трехцветен, а обычный узел – нет. Кроме того, практически любой значимый полином узла отличает трефольный узел от обычного узла, как и большинство других сильных инвариантов узла.
The trefoil knot is nontrivial, meaning that it is not possible to "untie" a trefoil knot in three dimensions without cutting it. Mathematically, this means that a trefoil knot is not isotopic to the unknot. In particular, there is no sequence of Reidemeister moves that will untie a trefoil. Proving this requires the construction of a knot invariant that distinguishes the trefoil from the unknot. The simplest such invariant is tricolorability: the trefoil is tricolorable, but the unknot is not. In addition, virtually every major knot polynomial distinguishes the trefoil from an unknot, as do most other strong knot invariants.
Классификация
В теории узлов трефойл — первый нетривиальный узел и единственный узел с числом пересечений, равным трем. Это простой узел, обозначенный как 31 в нотации Александра-Бриггса. Нотация Доукера для трефойла — 4 6 2, а нотация Конвея — [3]. Трефойл можно описать как торусный узел (2,3). Он также является узлом, полученным замыканием косы σ13. Трефойл — это чередующийся узел. Однако он не является разрезаемым узлом, то есть не ограничивает гладкий двумерный диск в четырехмерном шаре; один из способов это доказать — заметить, что его сигнатура не равна нулю. Другое доказательство состоит в том, что его полином Александра не удовлетворяет условию Фокса — Милнора. Трефойл — это волокнистый узел, то есть его дополнение в является расслоением над окружностью. Трефойл K можно рассматривать как множество пар комплексных чисел, таких что и . Тогда это расслоение имеет отображение Милнора в качестве проекции расслоения дополнения узла на окружность. Волокно представляет собой один раз проколотый тор. Поскольку дополнение узла также является расслоением Зайферта с границей, оно имеет горизонтальную несжимаемую поверхность — это также волокно отображения Милнора. (Это предполагает, что узел был утолщен до твердого тора Nε(K), и что внутренность этого твердого тора была удалена для создания компактного дополнения узла.)
In knot theory, the trefoil is the first nontrivial knot, and is the only knot with crossing number three. It is a prime knot, and is listed as 31 in the Alexander Briggs notation. The Dowker notation for the trefoil is 4 6 2, and the Conway notation is [3]. The trefoil can be described as the (2,3) torus knot. It is also the knot obtained by closing the braid σ13. The trefoil is an alternating knot. However, it is not a slice knot, meaning it does not bound a smooth 2 dimensional disk in the 4 dimensional ball; one way to prove this is to note that its signature is not zero. Another proof is that its Alexander polynomial does not satisfy the Fox Milnor condition. The trefoil is a fibered knot, meaning that its complement in is a fiber bundle over the circle The trefoil K may be viewed as the set of pairs of complex numbers such that and Then this fiber bundle has the Milnor map as the fibre bundle projection of the knot complement to the circle The fibre is a once punctured torus. Since the knot complement is also a Seifert fibred with boundary, it has a horizontal incompressible surface—this is also the fiber of the Milnor map. (This assumes the knot has been thickened to become a solid torus Nε(K), and that the interior of this solid torus has been removed to create a compact knot complement .)
В религии и культуре
Как самый простой нетривиальный узел, трефоль – распространенный мотив в иконографии и изобразительном искусстве. Например, общепринятая форма символа трикетра представляет собой трефоль, как и некоторые варианты германского валькнута. В современном искусстве гравюра на дереве М. К. Эшера «Узлы» изображает три трефольных узла, чьи объемные формы переплетены различными способами.
As the simplest nontrivial knot, the trefoil is a common motif in iconography and the visual arts. For example, the common form of the triquetra symbol is a trefoil, as are some versions of the Germanic Valknut. In modern art, the woodcut Knots by M. C. Escher depicts three trefoil knots whose solid forms are twisted in different ways.