Кіріспе
Метрикалық геометрияның түрі. Такси геометриясы немесе Манхэттен геометриясы – бұл екі нүкте арасындағы қашықтықтың дәстүрлі Евклидтік қашықтықтан өзгеше анықталуы, онда қашықтық екі нүктенің тікбұрышты координаталарының абсолютті айырмаларының қосындысы ретінде есептеледі. Бұл қашықтық функциясы (немесе метрика) такси қашықтығы, Манхэттен қашықтығы немесе қалалық блок қашықтығы деп аталады. Бұл атау Манхэттен аралына немесе көшелердің тікбұрышты торы бар, таксидің тек тор бағыттарымен ғана жүре алатын кез келген жоспарланған қалаға сілтеме жасайды. Такси геометриясында кез келген екі нүкте арасындағы қашықтық олардың ең қысқа тор жолының ұзындығымен тең. Осы қашықтықтың басқаша анықталуы қисық сызықтың ұзындығының да өзгеше есептелуіне әкеледі, мұнда екі нүкте арасындағы түзу сызық сегментінің ұзындығы сол нүктелер арасындағы тор жолының ұзындығымен бірдей болады, дәстүрлі Евклидтік ұзындығымен емес. Такси қашықтығы кейде тура сызықты қашықтық немесе L¹ қашықтығы деп те аталады (Lp кеңістігін қараңыз). Бұл геометрия 18-ші ғасырдан бері регрессиялық талдауда қолданылып келеді және көбінесе LASSO деп аталады. Оның геометриялық түсіндірмесі 19-шы ғасырдың Евклидтік емес геометриясына қатысты және Герман Минковскийге тиесілі. Екі өлшемді нақты координаталық кеңістікте екі нүкте арасындағы такси қашықтығы – бұл олардың координаталарының айырмасының абсолюттік мәндерінің қосындысы. Яғни, ол екі координатаның айырмасының абсолюттік мәндерінің қосындысына тең.
Taxicab geometry or Manhattan geometry is geometry where the familiar Euclidean distance is ignored, and the distance between two points is instead defined to be the sum of the absolute differences of their respective Cartesian coordinates, a distance function (or metric) called the taxicab distance, Manhattan distance, or city block distance. The name refers to the island of Manhattan, or generically any planned city with a rectangular grid of streets, in which a taxicab can only travel along grid directions. In taxicab geometry, the distance between any two points equals the length of their shortest grid path. This different definition of distance also leads to a different definition of the length of a curve, for which a line segment between any two points has the same length as a grid path between those points rather than its Euclidean length. The taxicab distance is also sometimes known as rectilinear distance or L^(1) distance (see Lp space). This geometry has been used in regression analysis since the 18th century, and is often referred to as LASSO. Its geometric interpretation dates to non Euclidean geometry of the 19th century and is due to Hermann Minkowski. In the two dimensional real coordinate space the taxicab distance between two points and is That is, it is the sum of the absolute values of the differences in both coordinates.
Ресми анықтама
Таксилік қашықтық, екі нүкте арасындағы n өлшемді нақты координата кеңістігінде, бекітілген декарттық координата жүйесінде, нүктелер арасындағы сызық сегментінің координата осьтеріне түсірілген проекцияларының ұзындықтарының қосындысымен анықталады. Формальды түрде, мысалы, егер , онда және нүктелері арасындағы таксилік қашықтық:
Тарих
L1 метрикасы 1757 жылы Роджер Джозеф Босковичпен регрессиялық талдауда, сәйкестік өлшемі ретінде қолданылған. Оны геометриялық кеңістіктегі нүктелер арасындағы қашықтық ретінде түсіндіру 19 ғасырдың соңына және Евклид емес геометриялардың дамуына қатысты. 1910 жылы ол Фригиес Риес және Герман Минковскийдің еңбектерінде пайда болды. Lp кеңістіктерін ресмилендіру, оның ішінде такси геометриясын ерекше жағдай ретінде қамтитын, Риеске жатқызылады. Сандар геометриясын дамыту барысында Герман Минковский өзінің Минковский теңсіздігін орнатып, осы кеңістіктер нормаланған векторлық кеңістіктерді анықтайтынын көрсетті. «Такси геометриясы» атауын Карл Менгер 1952 жылы «Сізге геометрия ұнайды» атты кітабында енгізді. Бұл кітап Чикагодағы Ғылым және өнеркәсіп мұражайында жалған жұртшылыққа арналған геометрия көрмесімен бірге жарияланды.
Қасиеттері
Евклид кеңістігіне қосымша құрылым ретінде қарастырылатын такси қашықтығы координаталар жүйесінің бағытына тәуелді және кеңістіктің Евклид айналымымен өзгереді, бірақ орын ауыстыру немесе оське параллель көріністерге әсер етпейді. Такси геометриясы Гильберттің барлық аксиомаларын қанағаттандырады (Евклид геометриясының формалдануы), бірақ бұрыштардың сәйкестігі Евклид тұжырымымен нақты сәйкес анықталмайды, ал сәйкес такси геометриялық бұрыштардың мүмкін анықтамалары бойынша, екі сәйкес такси қабырғасы және олардың арасындағы сәйкес бұрышы бар үшбұрыштар әдетте сәйкес үшбұрыштар болмайды, сондықтан қабырға-бұрыш-қабырға аксиомасы орындалмайды.
Шарлар
Кез келген метрикалық кеңістікте сфера – белгілі бір орталық нүктеден нақты қашықтықтағы нүктелер жиынтығы, яғни радиус. Егер Евклид сферасы дөңгелек және айналу симметриялы болса, такси қашықтығы бойынша сфераның пішіні – бұл көлденең политоп, дұрыс октаэдрдің n өлшемді жалпыламасы, оның нүктелері келесі теңдеуді қанағаттандырады: мұндағы – орталық, ал r – радиус. Радиусы 1-ге тең және координата басынан орналасқан бірлік сферадағы нүктелер келесі теңдеуді қанағаттандырады.
where is the center and r is the radius. Points on the unit sphere, a sphere of radius 1 centered at the origin, satisfy the equation
In two dimensional taxicab geometry, the sphere (called a circle) is a square oriented diagonally to the coordinate axes. The image to the right shows in red the set of all points on a square grid with a fixed distance from the blue center. As the grid is made finer, the red points become more numerous, and in the limit tend to a continuous tilted square. Each side has taxicab length 2r, so the circumference is 8r. Thus, in taxicab geometry, the value of the analog of the circle constant π, the ratio of circumference to diameter, is equal to 4. A closed ball (or closed disk in the 2 dimensional case) is a filled in sphere, the set of points at distance less than or equal to the radius from a specific center. For cellular automata on a square grid, a taxicab disk is the von Neumann neighborhood of range r of its center. A circle of radius r for the Chebyshev distance (L∞ metric) on a plane is also a square with side length 2r parallel to the coordinate axes, so planar Chebyshev distance can be viewed as equivalent by rotation and scaling to planar taxicab distance. However, this equivalence between L1 and L∞ metrics does not generalize to higher dimensions. Whenever each pair in a collection of these circles has a nonempty intersection, there exists an intersection point for the whole collection; therefore, the Manhattan distance forms an injective metric space.
Екі өлшемді такси геометриясында сфера (шеңбер деп аталады) координаталық осьтерге диагональ бойынша бағытталған квадрат болып табылады. Оң жақтағы суретте көк орталықтан белгілі бір қашықтықтағы тіктөртбұрышты тордағы барлық нүктелер жиынтығы қызыл түспен көрсетілген. Торды ұсақтандырғанда, қызыл нүктелер көбейеді және шектемеде үздіксіз еңкейген квадратқа жақындайды. Әр қабырғасының такси ұзындығы 2r-ға тең, сондықтан шеңбері 8r-ға тең. Осылайша, такси геометриясында шеңбер тұрақтысы π-нің аналогы, яғни шеңбердің диаметріне қатынасы 4-ке тең. Жабық шар (немесе 2 өлшемді жағдайда жабық диск) – сфераның ішінде толтырылған, белгілі бір орталықтан радиусқа тең немесе одан кем қашықтықтағы нүктелер жиынтығы. Тіктөртбұрышты тордағы ұялы автоматтары үшін такси дискісі – оның орталығының r радиусымен фон Нейман аймағы болып табылады. Жазықтықтағы Чебышев қашықтығы (L∞ метрикасы) бойынша r радиусы бар шеңбер де координаталық осьтерге параллель 2r қабырғасы бар квадрат болып табылады, сондықтан жазықтықтағы Чебышев қашықтығын айналу және масштабтау арқылы жазықтықтағы такси қашықтығымен тең деп қарауға болады. Дегенмен, L1 және L∞ метрикалары арасындағы осы тепе-теңдік жоғары өлшемдерге жалпыланбайды. Егер осы шеңберлер жиынтығындағы әрбір жұптың қиылысы бос емес болса, онда бүкіл жиынтық үшін қиылыс нүктесі бар; сондықтан Манхэттен қашықтығы инъективті метрикалық кеңістік құрайды.
where is the center and r is the radius. Points on the unit sphere, a sphere of radius 1 centered at the origin, satisfy the equation
In two dimensional taxicab geometry, the sphere (called a circle) is a square oriented diagonally to the coordinate axes. The image to the right shows in red the set of all points on a square grid with a fixed distance from the blue center. As the grid is made finer, the red points become more numerous, and in the limit tend to a continuous tilted square. Each side has taxicab length 2r, so the circumference is 8r. Thus, in taxicab geometry, the value of the analog of the circle constant π, the ratio of circumference to diameter, is equal to 4. A closed ball (or closed disk in the 2 dimensional case) is a filled in sphere, the set of points at distance less than or equal to the radius from a specific center. For cellular automata on a square grid, a taxicab disk is the von Neumann neighborhood of range r of its center. A circle of radius r for the Chebyshev distance (L∞ metric) on a plane is also a square with side length 2r parallel to the coordinate axes, so planar Chebyshev distance can be viewed as equivalent by rotation and scaling to planar taxicab distance. However, this equivalence between L1 and L∞ metrics does not generalize to higher dimensions. Whenever each pair in a collection of these circles has a nonempty intersection, there exists an intersection point for the whole collection; therefore, the Manhattan distance forms an injective metric space.
Қиғаштың ұзындығы
Болсын – үздіксіз дифференциалданатын функция. –ның графигінің белгілі бір аралықтағы такси доғасының ұзындығы болсын. Аралықты тең, шексіз кішкентай под-интервалдарға бөлейік, ал –ның –інші под-доғасының такси ұзындығы болсын.
Орташа мән теоремасы бойынша, – мен –нің арасында –ндай бір нүкте бар, онда . Осыдан кейін бұрынғы теңдеуді былай жазуға болады:
Содан кейін –ның аралықтағы барлық бөлістерінің қосындысы ретінде беріледі, олар шексіз кішкентай болатын кезде. Бұл тексеру үшін, координаталарының бастапқы нүктесінде орналасқан – радиустың такси шеңберін қарастырайық. Оның бірінші квадранттағы қисығы былай беріледі: , оның ұзындығы:
Бұл мәнді қалған квадранттарды ескере отырып көбейту, такси шеңберінің ұзындығына сәйкес келеді. Енді координаталарының бастапқы нүктесінде орналасқан – радиустың Евклид шеңбері қарастырайық, ол былай беріледі: Оның бірінші квадранттағы доғасының ұзындығы:
Қалған квадранттарды ескере отырып, қайтадан алынады. Демек, такси метрикасындағы такси шеңберінің және Евклид шеңберінің ұзындығы тең. Шындығында, егер – функциясы монотонды және аралықтағы үздіксіз туындысы бар болса, онда – аралығындағы –ның доғасының ұзындығы тең болады.
Үшбұрыштың үйлесімділігі
Екі үшбұрыш, үш сәйкес қабырғаларының арақашықтығы тең және үш сәйкес бұрыштарының өлшемдері тең болған жағдайда ғана конгруэнтті болады. Евклид геометриясында үшбұрыштардың конгруэнттілігін қамтамасыз ететін бірнеше теорема бар, атап айтқанда, Бұрыш-Бұрыш-Қабырға (AAS), Бұрыш-Қабырға-Бұрыш (ASA), Қабырға-Бұрыш-Қабырға (SAS) және Қабырға-Қабырға-Қабырға (SSS). Дегенмен, такси геометриясында тек SASAS ғана үшбұрыштардың конгруэнттілігін кепілдік береді. Мысалы, бұрыштары 45-90-45 градусқа тең екі тікбұрышты теңқабырлы такси үшбұрышын қарастырайық. Екі үшбұрыштың да екі катетінің такси ұзындығы 2-ге тең, бірақ гипотенузалары конгруэнтті емес. Бұл кері мысал AAS, ASA және SAS теоремаларын жоққа шығарады. Сонымен қатар, AASS, AAAS және тіпті ASASA теоремаларын да жоққа шығарады. Үш конгруэнтті бұрышы және екі конгруэнтті қабырғасы бар үшбұрыш, такси геометриясында конгруэнтті болуы міндетті емес. Сондықтан, такси геометриясындағы үшбұрыштардың конгруэнттілік теоремасы – SASAS, яғни барлық үш сәйкес қабырға конгруэнтті болуы керек және кемінде екі сәйкес бұрыш конгруэнтті болуы керек. Бұл нәтиже негізінен такси геометриясындағы түзу сызық сегментінің ұзындығы оның бағытына тәуелді болғандықтан туындайды.
Сығымдалған сенсор
Сызықтық теңдеулердің анықталмаған жүйесін шешуде, параметрлік векторға арналған реттеу мүшесі вектордың нормасы (таксикаб геометриясы) арқылы өрнектеледі. Бұл тәсіл сығымдалған сезіну деп аталатын сигналды қалпына келтіру аясында қолданылады.
Жиілік үлестірілімдерінің айырмашылығы
Такси геометриясы дискретті жиілік үлестірілімдерінің айырмашылықтарын бағалау үшін қолданылуы мүмкін. Мысалы, РНК тілімін кезінде, әр гексамердің тілім орнының жанындағы әрбір нуклеотидте пайда болу ықтималдығын көрсететін гексамерлердің позициялық үлестірілімдерін L1 қашықтығымен салыстыруға болады. Әрбір позициялық үлестірілімді вектор ретінде бейнелеуге болады, онда әрбір элемент гексамердің белгілі бір нуклеотидтен басталу ықтималдығын көрсетеді. Екі вектор арасындағы үлкен L1 қашықтығы үлестірілімдердің мәні бойынша маңызды айырмашылықты көрсетеді, ал кішкентай қашықтық ұқсас пішіндес үлестірілімдерді көрсетеді. Бұл екі үлестіру қисығы арасындағы ауданды өлшеумен бірдей, себебі әрбір сегменттің ауданы екі қисықтың сол нүктедегі ықтималдықтарының абсолютті айырмасы болып табылады. Барлық сегменттерді қоссақ, ол L1 қашықтығымен бірдей өлшемді береді.