Кіріспе
Компактты бағытталмайтын екі өлшемді манифольд – проективті жазықтықтың негізгі көпбұрышы. Бір шеті бар Мёбиус жолағының қарама-қарсы ашық шеттерін біріктіру арқылы проективті жазықтық құруға болады. Салыстырмалы түрде, Клейн бөтелкесі – цилиндрге жабылатын Мёбиус жолағы. Математикада нақты проективті жазықтық – компактты, бағытталмайтын екі өлшемді манифольдтың мысалы; яғни, бір жақты бет. Ол өзін қиып, стандартты үш өлшемді кеңістікке енбеуі мүмкін. Оның геометрияда маңызды қолданыстары бар, себебі нақты проективті жазықтықтың әдеттегі құрастырылуы – R3 түпнұсқасы арқылы өтетін түзулердің кеңістігі болып табылады. Нақты проективті жазықтық – (қалыпты) жазықтықтың кеңейтілген түрі болып табылады, әрбір (v1, v2) нүктесіне (v1, v2, 1) аралығындағы түзу сәйкес келеді (яғни, нақты проективті жазықтық – қалыпты жазықтықтың проективті толықтырылуы, төмендегі гомогенді координаттарды да қараңыз), сонымен қатар шексіздікте де нүктелер бар. Нақты проективті жазықтықты көбінесе топологиялық тұрғыдан, Мёбиус жолағына негізделген құрастыру арқылы сипаттауға болады: егер Мёбиус жолағының (бірден-бір) жиегін дұрыс бағытта өзіне жабыстырса, проективті жазықтық алынады. (Бұл үш өлшемді кеңістікте беттің өзі қиылыспай жасалуы мүмкін емес.) Балама ретінде, Мёбиус жолағының шекарасы бойымен дискіні жабыстыру проективті жазықтық береді. Топологиялық тұрғыдан алғанда, оның Эйлер сипаттамасы 1, демек, демиген (бағытталмайтын туыс, Эйлер туысы) 1-ге тең. Мёбиус жолағын, өз кезегінде, екі жағын жартылай бұрауымен бірге жабыстыру арқылы шаршыдан құрастыруға болады, сондықтан нақты проективті жазықтықты бірлік шаршы ретінде бейнелеуге болады (яғни [0, 1] [[Декарт көбейтіндісі) оның жақтары келесі эквиваленттілік қатынастармен анықталады: (0, y) ~ (1, 1 − y) 0 ≤ y ≤ 1 және (x, 0) ~ (1 − x, 1) 0 ≤ x ≤ 1, осы жерде көрсетілген сол жақтанғы диаграммадағыдай.
The fundamental polygon of the projective plane. The Möbius strip with a single edge, can be closed into a projective plane by gluing opposite open edges together. In comparison, the Klein bottle is a Möbius strip closed into a cylinder. In mathematics, the real projective plane is an example of a compact non orientable two dimensional manifold; in other words, a one sided surface. It cannot be embedded in standard three dimensional space without intersecting itself. It has basic applications to geometry, since the common construction of the real projective plane is as the space of lines in R3 passing through the origin. The real projective plane is then an extension of the (ordinary) plane — to every point (v1,v2) of the ordinary plane, the line spanned by (v1,v2,1) is associated (i. e., the real projective plane is the projective completion of the ordinary plane, cf. also the homogeneous coordinates below) while there are also some “points in the infinity”. The real projective plane is also often described topologically, in terms of a construction based on the Möbius strip: if one could glue the (single) edge of the Möbius strip to itself in the correct direction, one would obtain the projective plane. (This cannot be done in three dimensional space without the surface intersecting itself.) Equivalently, gluing a disk along the boundary of the Möbius strip gives the projective plane. Topologically, it has Euler characteristic 1, hence a demigenus (non orientable genus, Euler genus) of 1. Since the Möbius strip, in turn, can be constructed from a square by gluing two of its sides together with a half twist, the real projective plane can thus be represented as a unit square (that is, [0, 1] [[Cartesian product) with its sides identified by the following equivalence relations:
(0, y) ~ (1, 1 − y) for 0 ≤ y ≤ 1
and
(x, 0) ~ (1 − x, 1) for 0 ≤ x ≤ 1,
as in the leftmost diagram shown here.
Мысалдар
Проективтік геометрия міндетті түрде қисықтықпен байланысты емес, ал нақты проективтік жазықтықты бұрап, Евклид жазықтығына немесе үш өлшемді кеңістікке көптеген әртүрлі тәсілдермен орналастыруға болады. Ең маңызды мысалдардың кейбірі төменде сипатталған. Проективтік жазықтықты үш өлшемді Евклид кеңістігіне ендіру мүмкін емес (яғни, қиылыссыз). Проективтік жазықтықтың үш өлшемді Евклид кеңістігіне енбейтінінің дәлелі былай: егер ол енгізілсе, онда ол үш өлшемді Евклид кеңістігіндегі компактты аймақты жалпыланған Жордан қисық теоремасы бойынша шектеуі керек. Сыртқа қарай бағытталған бірлік нормальдық векторлық өріс шекаралық манифольдқа бағиттама береді, бірақ шекаралық манифольд проективтік жазықтық болады, ал ол бағитталмайды. Бұл қайшылыққа әкеледі, сондықтан оның енгізілуі туралы біздің болжамымыз дұрыс емес.
Жобалау жарты шар
Шар нақты проекциялық жазықтықты екі рет жабатынымен, жазықтықтың өзі қарсы нүктелері біріктірілген жабық жарты шар ретінде бейнеленеді.
Жігіттің беткі бетінде суға бату
Жобалау жазықтығын 3 кеңістікке ендіруге болады (түп кеңістіктің жергілікті аймақтары өзара қиылыспайды). Бойдің беті – ендірудің мысалы. Полиэдральды мысалдарда кемінде тоғыз жақ болуы керек.
Римдік бет
Штайнердің римдік беті – проективті жазықтықтың 3 кеңістікке бейнеленген, дегенеративті картасы, және ол қиылысқан қақпаққа ие. Полиэдрлік көрсетуі – тетрагемигексаэдр, ол Штайнердің римдік бетімен бірдей жалпы пішінге ие, осы жерде көрсетілген.
Гемикалық көпбұрыштар
Кері бағытқа қарасақ, кейбір абстрактілі реттелі политоптар – гемикуб, гемидодекаэдр және гемиикосаэдр – проективті жазықтықта реттелі фигуралар ретінде салынуы мүмкін; проективті полиэдрлерді де қараңыз.
Жазық проекциялар
Әр түрлі жазықты (жаҫы) проекциялар немесе проективті жазықтықтың бейнелеулері сипатталған. 1874 жылы Клейн мына бейнелеуді сипаттады:
Проективті жарты шардың жазықтыққа орталық проекциясы әдеттегі шексіз проективті жазықтықты тудырады, ол төменде сипатталған.
Креспен шағылған дискі
Жабық бетті дискіні арқаншаға (крест-кап) желімдеу арқылы аламыз. Бұл бетті келесі теңдеулер арқылы параметрлік түрде көрсетуге болады:
мұнда u және v 0-ден 2π-ге дейін өзгереді. Бұл теңдеулер тордың теңдеулеріне ұқсас. 1-суретте жабық, крест-капты дискі көрсетілген. 1-сурет. Крест-капты дискінің екі көрінісі. Крест-капты дискте оның екі рет нүктесінен өтетін симметрия жазықтығы болады. 1-суретте крест-капты диск z = 0 симметрия жазықтығының үстінен көрінеді, бірақ төменнен қараса да сол сияқты көрінеді. Крест-капты дискіді симметрия жазықтығы бойымен кесіп, оның екі рет нүктелерінің ешқайсысын кесіп алмауға назар жете отырып, ашуға болады. Нәтижесі 2-суретте көрсетілген. 2-сурет. Ашылып кесілген крест-капты дискінің екі көрінісі. Бұл ерекшелік жасалғаннан кейін, кесілген крест-капты диск 3-суретте көрсетілгендей, өзін-өзі қиылыстыратын дискке гомеоморфты екені көрінеді. 3-сурет. Өзін-өзі қиылыстыратын дискінің екі көрінісі. Өзін-өзі қиылыстыратын диск қарапайым дискке гомеоморфты. Өзін-өзі қиылыстыратын дискінің параметрлік теңдеулері:
мұнда u 0-ден 2π-ге дейін, ал v 0-ден 1-ге дейін өзгереді. Өзін-өзі қиылыстыратын дискіді тек екі рет нүктелер арқылы өтетін симметрия жазықтығына (бұрынғы параметрлеуде z = 0) проекциялау нәтижесінде өзін-өзі қайталайтын (екі еселенген) қарапайым диск пайда болады. z = 0 жазықтығы өзін-өзі қиылыстыратын дискіді бір-біріне айналысқан бейнелері болатын екі дискіге бөліп алады. Дискілердің ортасы координаталардың басы болады. Енді дисктердің жиектерін қарастырайық (v = 1). Өзін-өзі қиылыстыратын дискінің жиегіндегі нүктелер z = 0 жазықтығына қатысты бір-бірінің шағылысы болып табылатын жұптар түрінде келеді. Бұл нүктелерді бір-біріне теңестіріп, оларды сәйкестендіру арқылы крест-капты диск құрылады. Бұл (u, 1) параметрлері және координаттары бар нүктені (u + π, 1) параметрлері және координаттары бар нүктемен сәйкестендіруді білдіреді. Бірақ бұл (эквивалентті) қарапайым дискінің жиегіндегі қарама-қарсы нүктелердің жұптары бір-бірімен сәйкестендіріледі дегенді білдіреді; осылай дискінен нақты проекциялық жазықтық құрылады. Сондықтан 1-суретте көрсетілген бет (дискімен крест-кап) топологиялық тұрғыдан RP2 нақты проекциялық жазықтығына тең.
Біртекті координаттар
Жазықтағы нүктелерді гомогенді координаттармен көрсетуге болады. Нүктенің гомогенді координаттары [x: y: z] түрінде болады, мұнда [x: y: z] және [tx: ty: tz] координаттары t-нің барлық нөлден өзге мәндері үшін бірдей нүкте деп есептеледі. [x: y: 1] координаттары бар нүктелер – проективті жазықтықтың шекті бөлігі деп аталатын әдеттегі нақты жазықтық, ал [x: y: 0] координаттары бар нүктелер – шексіз нүктелер немесе идеалдық нүктелер – шексіз түзу деп аталатын түзуді құрайды. (Гомогенді координаттар [0: 0: 0] ешқандай нүктеге сәйкес келмейді.) Жазықтағы түзулерді де гомогенді координаттармен бейнелеуге болады. R3 жазықтығына сәйкес келетін проективті түзудің гомогенді координаттары (a: b: c) болады. Осылайша, бұл координаттар (a: b: c) = (da: db: dc) эквиваленттілік қатынасына ие, d-нің барлық нөлден өзге мәндері үшін. Сондықтан, бірдей түзудің басқа теңдеуі dax + dby + dcz = 0, сол гомогенді координаттарды береді. [x: y: z] нүктесі (a: b: c) түзуында жатыр, егер ax + by + cz = 0 болса. Сондықтан, координаттары (a: b: c) бар түзулер, мұнда a және b екеуі де 0-ге тең емес, әдеттегі нақты жазықтықтағы түзулерге сәйкес келеді, себебі олар шексіз емес нүктелерді қамтиды. Координаттары (0: 0: 1) бар түзу – шексіз түзу, өйткені оның тек қана нүктелері z = 0 болатын нүктелер.
Нүктелер, сызықтар және жазықтықтар
P2 сызығын ax + by + cz = 0 теңдеуімен көрсетуге болады. Егер a, b және c-ні l бағаналық векторы ретінде, ал x, y және z-ті x бағаналық векторы ретінде қарастырсақ, онда жоғарыдағы теңдеуді матрицалық түрде былайша жазуға болады: xTl = 0 немесе lTx = 0. Векторлық жазуды пайдаланып, x ⋅ l = 0 немесе l ⋅ x = 0 деп жаза аламыз. k(xTl) = 0 теңдеуі (мұнда k нөл емес скаляр) R3 кеңістігінде нөлден өтетін жазықтықты анықтайды, ал k(x) нөлден өтетін түзуді анықтайды. Жазық және түзу – R3 кеңістігіндегі сызықтық кіші кеңістіктер, және олар әрқашан нөлден өтеді.
xTℓ = 0 or ℓTx = 0. Using vector notation we may instead write x ⋅ ℓ = 0 or ℓ ⋅ x = 0. The equation k(xTℓ) = 0 (which k is a non zero scalar) sweeps out a plane that goes through zero in R3 and k(x) sweeps out a line, again going through zero. The plane and line are linear subspaces in R3, which always go through zero.
Идеалдық нүктелер
P2-де түзудің теңдеуі мынадай және бұл теңдеуді k-ға көбейту арқылы x, y жазықтығына параллель кез келген жазықтықтағы түзуді көрсетуге болады. Егер бізде нормаланған біртекті координаталар болса, z = 1 болатын барлық нүктелер жазықтықты құрайды. Біз осы жазықтықты қарап тұрмыз деп есейік (z осі бойымен алыстап, бастапқы нүктеге қарай) және жазықтықта екі параллель түзу бар. Біз тұрған жерден (көру қабілеттерімізді ескере отырып) жазықтықтың тек бір бөлігін ғана көре аламыз, ол диаграммада қызыл түспен белгіленген аймақ ретінде көрсетілген. Егер біз жазықтықтан z осі бойымен алыстасақ (әлі де бастапқы нүктеге қарай қарап), жазықтықтың көбірек бөлігін көре аламыз. Көру аймағымызда бастапқы нүктелердің орны өзгерді. Бұл қозғалысты біртекті координатаны тұрақтыға бөлу арқылы көрсетуге болады. Қоса берілген суретте біз 2-ге бөлдік, сондықтан z мәні енді 0,5-ке тең. Егер біз жеткілікті қашықтыққа жүрсек, қарап тұрған нәрсе алыстағы нүктеге айналады. Алыстаған сайын біз параллель түзулердің көбірек бөлігін көреміз. Түзулер шексіздіктегі түзуде қиылысады (бұл түзу жазықтықта 0 нүктесінен өтеді). Жазықтықтағы түзулер – идеалды нүктелер. z = 0 жазықтығы – шексіздіктегі түзу. Біртекті нүкте (0, 0, 0) – жазықтықты шексіз қашықтықтан қарағанда барлық нақты нүктелер баратын жер, ал жазықтықтағы түзу параллель түзулердің қиылысу нүктесін көрсетеді.
If we have a normalized homogeneous coordinate. All points that have z = 1 create a plane. Let's pretend we are looking at that plane (from a position further out along the z axis and looking back towards the origin) and there are two parallel lines drawn on the plane. From where we are standing (given our visual capabilities) we can see only so much of the plane, which we represent as the area outlined in red in the diagram. If we walk away from the plane along the z axis, (still looking backwards towards the origin), we can see more of the plane. In our field of view original points have moved. We can reflect this movement by dividing the homogeneous coordinate by a constant. In the adjacent image we have divided by 2 so the z value now becomes 0.5. If we walk far enough away what we are looking at becomes a point in the distance. As we walk away we see more and more of the parallel lines. The lines will meet at a line at infinity (a line that goes through zero on the plane at ). Lines on the plane when are ideal points. The plane at is the line at infinity. The homogeneous point (0, 0, 0) is where all the real points go when you're looking at the plane from an infinite distance, a line on the plane is where parallel lines intersect.
Дуальділік
Теңдеуде екі бағандық вектор бар. Сіз біреуін тұрақты ұстап, екіншісін өзгерте аласыз. Егер x нүктесін тұрақты ұстап, l коэффициенттерін өзгертсек, сол нүкте арқылы өтетін жаңа түзулер пайда болады. Ал егер коэффициенттерді тұрақты ұстап, теңдеуді қанағаттандыратын нүктелерді өзгертсек, түзу пайда болады. Біз x-ті нүкте ретінде қарастырамыз, себебі біз қолданатын координат осьтері x, y және z. Егер керісінше, a, b, c координат осьтерінде коэффициенттерді сызсақ, нүктелер түзуге, ал түзулер нүктеге айналады. Егер сіз x, y және z координат осьтерінде сызылған деректермен бірдеңені дәлелдей алсаңыз, дәл сол аргументті a, b және c координат осьтерінде сызылған деректер үшін де қолдануға болады. Осыны дуалдық деп атайды.
Нүктелерді жалғайтын сызықтар мен сызықтардың қиылысуы (дуалдықты пайдалана отырып)
Теңдеу екі баған векторларының ішкі көбейтіндісін есептейді. Егер векторлар ортогональ болса, екі вектордың ішкі көбейтіндісі нөлге тең болады. P2 жазықтығында x1 және x2 нүктелері арсындағы түзуді x1 және x2 теңдеулерін қанағаттандыратын l бағандық вектор ретінде, яғни x1 және x2 векторларына перпендикуляр l бағандық вектор ретінде бейнелеуге болады. Векторлық көбейтінді (кросс-көбейтінді) мұндай векторды табады: екі нүктені қосатын түзудің біртекті координаттары x1 × x2 векторлық көбейтіндісі арқылы беріледі. Екі түзудің қиылысу нүктесін де осылай, дуалдықты қолданып табуға болады – түзулерді көрсететін векторлардың векторлық көбейтіндісі арқылы, яғни l1 × l2.
Бағытталмайтын жоғары беттер
Проективті жазықтықтарды біріктіріп, тізбектей жапсыру арқылы жоғары демигенусты бағытталмайтын беттерді аламыз. Жігу процесі әр беттен кішкентай дискті кесіп алып, олардың шекаралық шеңберлерін сәйкестендіруден (жапсырудан) тұрады. Екі проективті жазықтықты жапсыру Клейн бөтелкесін құрайды. Негізгі көпбұрыш туралы мақалада жоғары бағытталмайтын беттер сипатталған.