Введение
Компактное неориентируемое двумерное многообразие. Основной многоугольник проективной плоскости. Полоса Мёбиуса с одним краем может быть замкнута в проективную плоскость путем склеивания противоположных открытых краев. Для сравнения, бутылка Кляйна представляет собой полосу Мёбиуса, замкнутую в цилиндр. В математике реальная проективная плоскость является примером компактного неориентируемого двумерного многообразия; другими словами, односторонней поверхности. Она не может быть вложена в стандартное трехмерное пространство без самопересечений. Она имеет фундаментальные применения в геометрии, поскольку стандартная конструкция реальной проективной плоскости заключается в определении пространства прямых в R3, проходящих через начало координат. Реальная проективная плоскость является расширением (обычной) плоскости — каждой точке (v1, v2) обычной плоскости сопоставляется прямая, определяемая точками (v1, v2, 1) (то есть, реальная проективная плоскость является проективным завершением обычной плоскости, см. также однородные координаты ниже), при этом существуют также некоторые «точки на бесконечности». Реальная проективная плоскость также часто описывается топологически, с точки зрения конструкции, основанной на полосе Мёбиуса: если бы можно было склеить (единственный) край полосы Мёбиуса с самим собой в правильном направлении, можно было бы получить проективную плоскость. (Это невозможно сделать в трехмерном пространстве без самопересечения поверхности.) Эквивалентно, склеивание диска вдоль границы полосы Мёбиуса дает проективную плоскость. Топологически она имеет характеристику Эйлера, равную 1, следовательно, демигенус (неориентируемый род, эйлеров род) равен 1. Поскольку полоса Мёбиуса, в свою очередь, может быть построена из квадрата путем склеивания двух его сторон с полуоборотом, реальная проективная плоскость может быть представлена в виде единичного квадрата (то есть [0, 1] × [0, 1]) с отождествлением его сторон по следующим соотношениям эквивалентности: (0, y) ~ (1, 1 − y) для 0 ≤ y ≤ 1 и (x, 0) ~ (1 − x, 1) для 0 ≤ x ≤ 1, как показано на левой диаграмме.
The fundamental polygon of the projective plane. The Möbius strip with a single edge, can be closed into a projective plane by gluing opposite open edges together. In comparison, the Klein bottle is a Möbius strip closed into a cylinder. In mathematics, the real projective plane is an example of a compact non orientable two dimensional manifold; in other words, a one sided surface. It cannot be embedded in standard three dimensional space without intersecting itself. It has basic applications to geometry, since the common construction of the real projective plane is as the space of lines in R3 passing through the origin. The real projective plane is then an extension of the (ordinary) plane — to every point (v1,v2) of the ordinary plane, the line spanned by (v1,v2,1) is associated (i. e., the real projective plane is the projective completion of the ordinary plane, cf. also the homogeneous coordinates below) while there are also some “points in the infinity”. The real projective plane is also often described topologically, in terms of a construction based on the Möbius strip: if one could glue the (single) edge of the Möbius strip to itself in the correct direction, one would obtain the projective plane. (This cannot be done in three dimensional space without the surface intersecting itself.) Equivalently, gluing a disk along the boundary of the Möbius strip gives the projective plane. Topologically, it has Euler characteristic 1, hence a demigenus (non orientable genus, Euler genus) of 1. Since the Möbius strip, in turn, can be constructed from a square by gluing two of its sides together with a half twist, the real projective plane can thus be represented as a unit square (that is, [0, 1] [[Cartesian product) with its sides identified by the following equivalence relations:
(0, y) ~ (1, 1 − y) for 0 ≤ y ≤ 1
and
(x, 0) ~ (1 − x, 1) for 0 ≤ x ≤ 1,
as in the leftmost diagram shown here.
Примеры
Проективная геометрия не обязательно связана с кривизной, и реальная проективная плоскость может быть скручена и помещена в евклидову плоскость или трехмерное пространство различными способами. Некоторые из наиболее важных примеров описаны ниже. Проективная плоскость не может быть вложена (то есть без самопересечений) в трехмерное евклидово пространство. Доказательство того, что проективная плоскость не вкладывается в трехмерное евклидово пространство, выглядит следующим образом: предположим, что она вкладывается. Тогда, согласно обобщенной теореме Жордана о кривых, она ограничит компактную область в трехмерном евклидовом пространстве. Векторное поле единичных нормалей, направленных наружу, тогда задаст ориентацию граничного многообразия, но само граничное многообразие будет проективной плоскостью, которая не ориентируема. Это противоречие, следовательно, наше предположение о возможности вложения должно быть неверным.
Проективная полушария
Поскольку сфера покрывает вещественную проективную плоскость дважды, эту плоскость можно представить как замкнутое полушарие, на границе которого отождествлены противоположные точки.
Поверхность мальчика погружение
Проективная плоскость может быть погружена (локальные окрестности исходного пространства не имеют самопересечений) в трехмерное пространство. Поверхность Боя — пример погружения. Полиэдрические примеры должны иметь не менее девяти граней.
Римская поверхность
Римская поверхность Штайнера — более вырожденное отображение проективной плоскости в трехмерное пространство, содержащее перекрестную крышку. Полиэдрическим представлением является тетрагемигексаэдр, имеющий ту же общую форму, что и римская поверхность Штайнера, изображенная здесь.
Геми-полиэдры
В противоположном направлении некоторые абстрактные регулярные политопы — гемикуб, гемидодекаэдр и гемиикозаэдр — могут быть построены как правильные фигуры в проективной плоскости; см. также проективные многогранники.
Плоскости
Были описаны различные плоские проекции или отображения проективной плоскости. В 1874 году Клейн описал следующее отображение: центральная проекция проективного полушария на плоскость дает обычную бесконечную проективную плоскость, которая описана ниже.
Central projection of the projective hemisphere onto a plane yields the usual infinite projective plane, described below.
Диск с перекрестным верхом
Закрытая поверхность получается путем приклеивания диска к перекрестной крышке. Эту поверхность можно параметрически представить следующими уравнениями:
где u и v изменяются от 0 до 2π. Эти уравнения аналогичны уравнениям тора. На рисунке 1 изображен замкнутый диск с перекрестной крышкой. Рисунок 1. Два вида диска с перекрестной крышкой. Диск с перекрестной крышкой имеет плоскость симметрии, проходящую через его отрезок двойных точек. На рисунке 1 диск с перекрестной крышкой показан сверху относительно его плоскости симметрии z = 0, но он выглядел бы так же, если бы его рассматривали снизу. Диск с перекрестной крышкой можно разрезать вдоль его плоскости симметрии, следя за тем, чтобы не разрезать ни одну из его двойных точек. Результат показан на рисунке 2. Рисунок 2. Два вида разрезанного диска с перекрестной крышкой. После этого станет видно, что разрезанный диск с перекрестной крышкой гомеоморфен самопересекающемуся диску, как показано на рисунке 3. Рисунок 3. Два альтернативных вида самопересекающегося диска. Самопересекающийся диск гомеоморфен обычному диску. Параметрические уравнения самопересекающегося диска:
где u изменяется от 0 до 2π, а v – от 0 до 1. Проецируя самопересекающийся диск на плоскость симметрии (z = 0 в приведенной выше параметризации), проходящую только через двойные точки, получим обычный диск, который повторяется (удваивается). Плоскость z = 0 разрезает самопересекающийся диск на пару дисков, являющихся зеркальным отражением друг друга относительно начала координат. Теперь рассмотрим окружности дисков (при v = 1). Точки на окружности самопересекающегося диска приходят парами, являющимися отражениями друг друга относительно плоскости z = 0. Диск с перекрестной крышкой формируется путем отождествления этих пар точек, делая их эквивалентными. Это означает, что точка с параметрами (u, 1) и координатами отождествляется с точкой (u + π, 1), координаты которой Таким образом, пары противоположных точек на окружности (эквивалентного) обычного диска отождествляются друг с другом; именно так из диска формируется вещественная проективная плоскость. Следовательно, поверхность, показанная на рисунке 1 (перекрестная крышка с диском), топологически эквивалентна вещественной проективной плоскости RP2.
Однородные координаты
Точки в плоскости могут быть представлены однородными координатами. Точка имеет однородные координаты [x: y: z], где координаты [x: y: z] и [tx: ty: tz] считаются представляющими одну и ту же точку для всех ненулевых значений t. Точки с координатами [x: y: 1] являются обычной реальной плоскостью, называемой конечной частью проективной плоскости, а точки с координатами [x: y: 0], называемые точками на бесконечности или идеальными точками, образуют линию, называемую линией на бесконечности. (Однородные координаты [0: 0: 0] не представляют никакой точки.) Линии в плоскости также могут быть представлены однородными координатами. Проективная линия, соответствующая плоскости в R3, имеет однородные координаты (a: b: c). Таким образом, эти координаты обладают отношением эквивалентности (a: b: c) = (da: db: dc) для всех ненулевых значений d. Следовательно, другое уравнение той же прямой dax + dby + dcz = 0 дает те же однородные координаты. Точка [x: y: z] лежит на прямой (a: b: c), если ax + by + cz = 0. Следовательно, линии с координатами (a: b: c), где a и b не равны одновременно нулю, соответствуют линиям в обычной реальной плоскости, поскольку они содержат точки, не находящиеся на бесконечности. Линия с координатами (0: 0: 1) является линией на бесконечности, поскольку единственными точками на ней являются точки с z = 0.
Точки, линии и плоскости
Прямую в P2 можно представить уравнением ax + by + cz = 0. Если рассматривать a, b и c как вектор-столбец ℓ, а x, y, z как вектор-столбец x, то вышеуказанное уравнение можно записать в матричной форме как: xᵀℓ = 0 или ℓᵀx = 0. Используя векторное обозначение, можно также записать x ⋅ ℓ = 0 или ℓ ⋅ x = 0. Уравнение k(xᵀℓ) = 0 (где k – ненулевой скаляр) определяет плоскость, проходящую через начало координат в R³, а k(x) определяет прямую, также проходящую через начало координат. Плоскость и прямая являются линейными подпространствами в R³, которые всегда проходят через начало координат.
xTℓ = 0 or ℓTx = 0. Using vector notation we may instead write x ⋅ ℓ = 0 or ℓ ⋅ x = 0. The equation k(xTℓ) = 0 (which k is a non zero scalar) sweeps out a plane that goes through zero in R3 and k(x) sweeps out a line, again going through zero. The plane and line are linear subspaces in R3, which always go through zero.
Идеальные точки
В P2 уравнение прямой имеет вид , и это уравнение может представлять прямую на любой плоскости, параллельной плоскости x, y, умножая уравнение на k.
Если у нас есть нормализованная однородная координата, то все точки с z = 1 образуют плоскость. Представим, что мы смотрим на эту плоскость (с позиции, удаленной вдоль оси z, и смотрим в направлении начала координат), и на плоскости нарисованы две параллельные прямые. С нашей точки зрения (учитывая наши зрительные возможности) мы видим лишь часть плоскости, которую можно представить как область, выделенную красным на диаграмме. Если мы отойдем от плоскости вдоль оси z (продолжая смотреть в направлении начала координат), мы сможем увидеть большую часть плоскости. В нашем поле зрения исходные точки изменят свое положение. Мы можем отразить это изменение, разделив однородную координату на константу. На соседнем изображении мы разделили на 2, так что значение z теперь равно 0.5. Если мы отойдем достаточно далеко, то то, на что смотрим, превратится в точку на бесконечности. По мере удаления мы будем видеть все больше и больше параллельных прямых. Эти прямые сойдутся в прямой на бесконечности (прямой, проходящей через начало координат на плоскости). Прямые на плоскости при являются идеальными точками. Плоскость при является прямой на бесконечности. Однородная точка (0, 0, 0) – это точка, в которую стремятся все реальные точки при наблюдении плоскости с бесконечного расстояния, а прямая на плоскости – это точка пересечения параллельных прямых.
Двойственность
В уравнении присутствуют два столбцовых вектора. Можно зафиксировать один и изменять другой. Если мы зафиксируем точку x и будем изменять коэффициенты ℓ, то получим новые прямые, проходящие через эту точку. Если же мы зафиксируем коэффициенты и будем изменять точки, удовлетворяющие уравнению, то получим прямую. Мы рассматриваем x как точку, поскольку используемые нами оси – это x, y и z. Если бы вместо этого мы отобразили коэффициенты на осях, обозначенных a, b, c, то точки превратились бы в прямые, а прямые – в точки. Если вы доказываете что-либо, используя данные, представленные на осях x, y и z, тот же аргумент можно применить к данным, представленным на осях a, b и c. Это и есть двойственность.
Линии, соединяющие точки и пересечение линий (с использованием дуальности)
Уравнение вычисляет скалярное произведение двух векторов-столбцов. Скалярное произведение двух векторов равно нулю, если они ортогональны. В P2 прямая между точками x1 и x2 может быть представлена в виде вектора-столбца ℓ, удовлетворяющего уравнениям и , то есть вектора-столбца ℓ, ортогонального к x1 и x2. Векторное произведение позволяет найти такой вектор: прямая, соединяющая две точки, имеет однородные координаты, задаваемые уравнением x1 × x2. Пересечение двух прямых можно найти аналогичным образом, используя дуальность, как векторное произведение векторов, представляющих эти прямые, ℓ1 × ℓ2.
Высшие неориентируемые поверхности
Приклеивая проективные плоскости друг к другу последовательно, мы получаем неориентируемые поверхности более высокого демигенуса. Процесс склеивания состоит в вырезании небольшого диска из каждой поверхности и отождествлении (склеивании) их граничных окружностей. Склеивание двух проективных плоскостей создает бутылку Клейна. В статье о фундаментальном многоугольнике описываются неориентируемые поверхности более высокого порядка.