Кіріспе
Математикалық теорема
In mathematics, the symmetry of second derivatives (also called the equality of mixed partials) refers to the possibility of interchanging the order of taking partial derivatives of a function
of variables without changing the result under certain conditions (see below). The symmetry is the assertion that the second order partial derivatives satisfy the identity
so that they form an symmetric matrix, known as the function's Hessian matrix. Sufficient conditions for the above symmetry to hold are established by a result known as Schwarz's theorem, Clairaut's theorem, or Young's theorem. In the context of partial differential equations it is called the Schwarz integrability condition.
Математикада екінші туындылардың симметриясы (немесе аралас бөлшек туындылардың теңдігі) – функцияның бөлшек туындыларын алу ретін белгілі бір шарттарда (төменде қараңыз) нәтижені өзгертпей алмастыру мүмкіндігін көрсетеді. Симметрия дегеніміз – екінші реттік ішінара туындылар белгілі бір теңдікті орындайды, осылайша олар функцияның Гессиан матрицасы деп аталатын симметриялық матрицаны құрайды. Жоғарыда аталған симметрияның орындалуы үшін жеткілікті шарттар Шварц теоремасы, Клейро теоремасы немесе Янг теоремасы арқылы анықталады. Қисма дифференциалдық теңдеулер контекстінде бұл Шварц интегралдық шарты деп аталады.
In mathematics, the symmetry of second derivatives (also called the equality of mixed partials) refers to the possibility of interchanging the order of taking partial derivatives of a function
of variables without changing the result under certain conditions (see below). The symmetry is the assertion that the second order partial derivatives satisfy the identity
so that they form an symmetric matrix, known as the function's Hessian matrix. Sufficient conditions for the above symmetry to hold are established by a result known as Schwarz's theorem, Clairaut's theorem, or Young's theorem. In the context of partial differential equations it is called the Schwarz integrability condition.
Тарих
Белгілі бір жағдайларда аралас бөлшекті туындылардың теңдігі туралы нәтиже ұзақ тарихқа ие. Ұсынылған сәтсіз дәлелдемелер тізімі 1740 жылы жарияланған Эйлердің еңбектерінен басталды, бірақ 1721 жылы Бернулли бұл нәтижені ешқандай ресми негіздемесіз жасырын түрде қабылдаған болатын. Клер 1740 жылы да дәлел ұсынды, ал 18 ғасырдың соңына дейін басқа әрекеттер жасалмады. Одан кейін 70 жыл бойы бірқатар толық емес дәлелдер ұсынылды. Лагранждің (1797) дәлелін Коши (1823) жетілдірді, бірақ бұл дәлелдер ішінара туындылардың болуы мен үздіксіздігін талап етті. Сондай-ақ, П. Бланше (1841), Духамель (1856), Штурм (1857), Шломильх (1862) және Бертран (1864) да осы мәселе бойынша әрекеттер жасады. Ақыры, 1867 жылы Линделоф бұрынғы барлық қате дәлелдемелерді жүйелі түрде талдап, аралас туындылардың тең болмайтын нақты мысалын келтіре алды. Алты жылдан кейін Шварц алғашқы қатаң дәлелді ұсынды. Дини кейін Шварцтің шарттарынан жалпырақ жағдайларды тауып, үлес қосты. Соңында, 1883 жылы Джордан таза және жалпылама нұсқасын тапты, ол бүгінгі таңға дейін көптеген оқулықтарда қолданылады. Лоран (1885), Пиано (1889 және 1893), Дж. Эдвардс (1892), П. Хаг (1893), Дж. К. Уиттемор (1898), Виванти (1899) және Пирпонт (1905) бұрынғы дәлелдемелердің шағын өзгертілген нұсқаларын жариялады. 1907-1909 жылдары Е. В. Хобсон мен В. Х. Янг Шварц пен Диниден әлсіз шарттармен дәлелдемелерді тапты, осылайша одан дамып, жаңа жетістіктерге қол жеткізілді. 1918 жылы Каратеодори Лебег интегралына негізделген басқа дәлел келтірді.
Екі рет ажыратылатындықтың жеткіліктілігі
Екінші жартылай туындылардың үздіктігінен (мұны соңғысы қамтамасыз етеді) әлсіз жағдай, симметрияны қамтамасыз ету үшін жеткілікті, – барлық жартылай туындылар өзі дифференциалданады. Теореманы күшейтудің тағы бір нұсқасы, онда аралас туындының орналасуы туралы айтылады, Пеано 1890 жылы «Mathesis» журналындағы қысқаша хабарламасында келтірген: Егер ашық жиынтықта анықталған болса; және барлық жерде болса; нүктесінде үздіксіз болса, және егер нүктесінің маңында болса, онда нүктесінде де, нүктесінде де бар.
If is defined on an open set ; and exist everywhere on ; is continuous at , and if exists in a neighborhood of , then exists at and .
Таралу теориясын қалыптастыру
Таралымдар теориясы (жалпыланған функциялар) симметрияға қатысты аналитикалық қиындықтарды жояды. Интегралданатын функцияның туындысы әрқашан таралым ретінде анықталуы мүмкін, ал аралас деріктелдердің симметриясы таралымдар теңдігі ретінде міндетті түрде орындалады. Таралымдардың деріктелмесін анықтау үшін формалды интегралдаудың бөліктері бойынша қолданылуы симметрия мәселесін сынақ функцияларына қайтарады, олар тегіс және осы симметрияны қанағаттандырады. Егжей-тегжейлірек (мұнда f – сынақ функцияларында оператор ретінде жазылған таралым, ал φ – сынақ функциясы), тағы бір тәсіл, функцияның Фурье түрлендірмесін анықтау, осындай түрлендірулерде деріктелдер көбейту операторларына айналады, олар айқын түрде тегіс алмасады.
Another approach, which defines the Fourier transform of a function, is to note that on such transforms partial derivatives become multiplication operators that commute much more obviously.
Дифференциалдық нысандарға қолдану
Клейро-Шварц теоремасы – әрбір (немесе кем дегенде екі рет дифференциалданатын) дифференциалдық нысан үшін екінші сыртқы туынды нөлге тең болады: . Бұл, әрбір дифференциалданатын нақты нысанның (яғни, қандай да бір нысан үшін ) жабық (яғни, ) екенін көрсетеді, себебі . 18 ғасырдың ортасында дифференциалдық нысандар теориясы алғаш рет жазықтықтағы 1-нысанның ең қарапайым жағдайында зерттелді, яғни , мұнда және жазықтықтағы функциялар. 1-формаларды және функциялардың дифференциалдарын зерттеу 1739 және 1740 жылдары Клердің еңбектерімен басталды. Оның сол кездегі зерттеулері қарапайым дифференциалдық теңдеулерді шешудің жолдары ретінде қарастырылды. Формальды түрде Клер ашық тіктөртбұрыштағы 1-формасы жабық, яғни , тек қана дисктегі қандай да бір функция үшін формасы болған жағдайда ғана. -ның шешімін Кошидің интегралды формуласы арқылы жазуға болады, ал егер , жабық қасиет – сәйкестік (қазіргі тілмен айтқанда, бұл Пуанкаре леммасының бір түрі).
In the middle of the 18th century, the theory of differential forms was first studied in the simplest case of 1 forms in the plane, i. e. , where and are functions in the plane. The study of 1 forms and the differentials of functions began with Clairaut's papers in 1739 and 1740. At that stage his investigations were interpreted as ways of solving ordinary differential equations. Formally Clairaut showed that a 1 form on an open rectangle is closed, i. e. , if and only has the form for some function in the disk. The solution for can be written by Cauchy's integral formula
while if , the closed property is the identity (In modern language this is one version of the Poincaré lemma.)