Введение

В математике симметрия вторых производных (также называемая равенством смешанных частных производных) относится к возможности перестановки порядка взятия частных производных функции от нескольких переменных без изменения результата при определенных условиях (см. ниже). Эта симметрия заключается в утверждении, что частные производные второго порядка удовлетворяют тождеству, вследствие чего они образуют симметричную матрицу, известную как гессиан функции. Достаточные условия для выполнения указанной симметрии устанавливаются результатом, известным как теорема Шварца, теорема Клеро или теорема Юнга. В контексте частных дифференциальных уравнений это называется условием интегрируемости Шварца.

История

Результат об равенстве смешанных частных производных при определенных условиях имеет долгую историю. Список неудачных предложенных доказательств начался с работы Эйлера, опубликованной в 1740 году, хотя уже в 1721 году Бернулли неявно использовал этот результат, не приводя формального обоснования. Клер также опубликовал предложенное доказательство в 1740 году, и до конца XVIII века других попыток не предпринималось. Начиная с этого времени, в течение 70 лет было предложено множество неполных доказательств. Доказательство Лагранжа (1797) было усовершенствовано Коши (1823), но требовало существования и непрерывности частных производных. Другие попытки были предприняты П. Бланше (1841), Дуамелем (1856), Штурмом (1857), Шлёмильхом (1862) и Бертраном (1864). Наконец, в 1867 году Линделёф систематически проанализировал все предыдущие ошибочные доказательства и смог продемонстрировать конкретный контрпример, показывающий, что смешанные производные могут не быть равными. Шесть лет спустя Шварцу удалось дать первое строгое доказательство. Дини позже внес вклад, найдя более общие условия, чем у Шварца. В конечном итоге, в 1883 году Жордан нашел более чистое и общее доказательство, которое до сих пор встречается в большинстве учебников. Незначительные варианты более ранних доказательств были опубликованы Лораном (1885), Пеано (1889 и 1893), Дж. Эдвардсом (1892), П. Хаагом (1893), Дж. К. Уиттемором (1898), Виванти (1899) и Пирпонтом (1905). Дальнейший прогресс был достигнут в 1907–1909 годах, когда Э. В. Хобсон и У. Х. Янг нашли доказательства с более слабыми условиями, чем у Шварца и Дини. В 1918 году Каратеодори предложил другое доказательство, основанное на интеграле Лебега.

Достаточность двойной дифференцируемости

Слабее, чем непрерывность вторых частных производных (которая подразумевается последней), условие, достаточное для обеспечения симметрии, состоит в том, что все частные производные сами дифференцируемы. Дальнейшее усиление теоремы, в котором утверждается существование переставленной смешанной частной производной, было предложено Пиано в короткой заметке 1890 года в журнале Mathesis: Если определена на открытом множестве ; и существуют всюду на ; непрерывна в точке , и если существует в окрестности точки , то существует в точке и .

Формулирование теории распределения

Теория распределений (обобщённых функций) устраняет аналитические проблемы, связанные с симметрией. Производную интегрируемой функции всегда можно определить как распределение, и симметрия смешанных частных производных всегда выполняется как равенство распределений. Использование формального интегрирования по частям для определения дифференцирования распределений возвращает вопрос симметрии к тестовым функциям, которые гладкие и, безусловно, удовлетворяют этому свойству. Более подробно (где f – распределение, представленное как оператор, действующий на тестовые функции, а φ – тестовая функция),

Другой подход, определяющий преобразование Фурье функции, заключается в том, что при таких преобразованиях частные производные становятся операторами умножения, которые коммутируют гораздо более очевидно.

Применение к дифференциальным формам

Теорема Клейро — Шварца является ключевым фактом, необходимым для доказательства того, что для каждой (или, по крайней мере, дважды дифференцируемой) дифференциальной формы , вторая внешняя производная обращается в ноль: Это означает, что каждая дифференцируемая точная форма (т.е. форма, такая, что для некоторой формы) является замкнутой (т.е. ), поскольку
В середине XVIII века теория дифференциальных форм впервые была изучена в простейшем случае 1-форм на плоскости, то есть , где и являются функциями плоскости. Изучение 1-форм и дифференциалов функций началось с работ Клерё в 1739 и 1740 годах. На этом этапе его исследования интерпретировались как способы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Формально Клерё показал, что 1-форма на открытом прямоугольнике замкнута, т.е. , тогда и только тогда, когда она имеет вид для некоторой функции в диске. Решение для можно записать с помощью интегральной формулы Коши, а если , то свойство замкнутости является тождеством (современным языком это одна из версий леммы Пуанкаре).