Кіріспе
(Математикалық) екінші туындылардың матрицасы
Математикада Гессиан матрицасы, Гессиан немесе (сирек қолданылатын) Гессе матрицасы – скалярлық мәнді функцияның немесе скалярлық өрістің екінші реттік жеке туындыларынан құралған квадрат матрица. Ол көп айнымалы функцияның жергілікті қисықтығын сипаттайды. Гесс матрицасын 19 ғасырда неміс математигі Людвиг Отто Гессе жасаған, кейін оның құрметіне осылай аталған. Гессе бастапқыда "функционалдық детерминанттар" терминін қолданған. Гессиан кейде H немесе, белгісіздік тудыратындай, ∇2 арқылы белгіленеді.
Бұрылу нүктелері
Егер үш айнымалыдағы гомогенді полином болса, теңдеу жазықтық проекциялық қисықтың жасырын теңдеуі болып табылады. Қисықтың иілгіш нүктелері – дәл Гессен детерминанты нөлге тең болатын ерекше емес нүктелер. Безоу теоремасы бойынша, кубтық жазықтық қисығында ең көп иілгіш нүкте болуы мүмкін, себебі Гессендік детерминант – дәрежелі полином.
Екінші туынды сынағы
Конвексті функцияның Гессиан матрицасы оң жартылай анықталған. Бұл қасиетті жетілдіру бізге сындық нүкте жергілікті максимум, жергілікті минимум немесе сәуле нүктесі екенін анықтауға мүмкіндік береді: Егер Гессиан оң анықталған болса, онда функция сол нүктеде оқшауланған жергілікті минимумға жетеді. Егер Гессиан теріс анықталған болса, онда функция сол нүктеде оқшауланған жергілікті максимумға жетеді. Егер Гессианда оң және теріс өзіндік мәндер болса, онда бұл нүкте функция үшін сәуле нүктесі болып табылады. Әйтпесе, тест нәтижесіз болады. Бұл жергілікті минимумда Гессиан оң жартылай анықталған, ал жергілікті максимумда Гессиан теріс жартылай анықталған екенін білдіреді. Оң жартылай анықталған және теріс жартылай анықталған Гессиандар үшін тест нәтижесіз болады (Гессиан жартылай анықталған, бірақ толық анықталмаған нүкте жергілікті экстремум немесе сәуле нүктесі болуы мүмкін). Дегенмен, Морсе теориясы тұрғысынан қарағанда, одан да көп айтуға болады. Бір және екі айнымалы функциялар үшін екінші туынды сынағы жалпы жағдайдан қарапайым. Бір айнымалыда Гессианда дәл бір екінші туынды болады; егер ол оң болса, онда функцияның жергілікті минимумы, ал егер ол теріс болса, онда жергілікті максимумы бар; егер ол нөлге тең болса, онда тест нәтижесіз болады. Екі айнымалыда детерминантты қолдануға болады, өйткені детерминант – өзіндік мәндердің көбейтіндісі. Егер ол оң болса, онда екі өзіндік мән де оң немесе екі өзіндік мән де теріс болады. Егер ол теріс болса, онда екі өзіндік мәннің таңбалары әртүрлі болады. Егер ол нөлге тең болса, онда екінші туынды сынағы нәтижесіз болады. Балама ретінде, жергілікті минимум немесе максимум үшін жеткілікті екінші реттік шарттарды Гессианның бас (жоғарғы сол жақ) кіші матрицаларының (қосалқы матрицалардың детерминанттары) тізбегі арқылы көрсетуге болады; бұл шарттар шектелген оптимизация үшін шекараланған Гессиандарға арналған келесі бөлімде берілгендердің ерекше жағдайы болып табылады – шектеулер саны нөлге тең болатын жағдай. Нақтырақ айтқанда, минимум үшін жеткілікті шарт – барлық бас кіші матрицалардың оң болуы, ал максимум үшін жеткілікті шарт – кіші матрицалардың таңбаларының кезектесуі, соңғы кіші матрицаның таңбасы теріс болуы.
If the Hessian is positive definite at then attains an isolated local minimum at If the Hessian is negative definite at then attains an isolated local maximum at If the Hessian has both positive and negative eigenvalues, then is a saddle point for Otherwise the test is inconclusive. This implies that at a local minimum the Hessian is positive semidefinite, and at a local maximum the Hessian is negative semidefinite. For positive semidefinite and negative semidefinite Hessians the test is inconclusive (a critical point where the Hessian is semidefinite but not definite may be a local extremum or a saddle point). However, more can be said from the point of view of Morse theory. The second derivative test for functions of one and two variables is simpler than the general case. In one variable, the Hessian contains exactly one second derivative; if it is positive, then is a local minimum, and if it is negative, then is a local maximum; if it is zero, then the test is inconclusive. In two variables, the determinant can be used, because the determinant is the product of the eigenvalues. If it is positive, then the eigenvalues are both positive, or both negative. If it is negative, then the two eigenvalues have different signs. If it is zero, then the second derivative test is inconclusive. Equivalently, the second order conditions that are sufficient for a local minimum or maximum can be expressed in terms of the sequence of principal (upper leftmost) minors (determinants of sub matrices) of the Hessian; these conditions are a special case of those given in the next section for bordered Hessians for constrained optimization—the case in which the number of constraints is zero. Specifically, the sufficient condition for a minimum is that all of these principal minors be positive, while the sufficient condition for a maximum is that the minors alternate in sign, with the minor being negative.
Басты тұстар
Егер функцияның градиенті (бөлшек туындылардың векторы) қандай да бір нүктеде нөл болса, онда функцияның сол нүктеде критикалық (немесе стационарлық) нүктесі болады. Гессианның детерминанты кейбір жағдайларда дискриминант деп аталады. Егер бұл детерминант нөл болса, онда функцияның бұл нүктесі дегенеративті критикалық нүкте деп аталады немесе Морзе емес критикалық нүкте деп аталады, әйтпесе ол дегенеративті емес, және Морзе критикалық нүктесі деп аталады. Гессиан матрицасы Морзе теориясы мен катастрофа теориясында маңызды рөл атқарады, өйткені оның ядросы мен өзіндік мәндері критикалық нүктелерді жіктеуге мүмкіндік береді. Функцияның критикалық нүктесінде есептелген Гессиан матрицасының детерминанты, функцияны көпқырлылық ретінде қарастырғанда, оның гаусс қисықтығына тең болады. Гессианның сол нүктедегі өзіндік мәндері функцияның басқы қисықтықтары, ал өзіндік векторлар қисықтықтың басқы бағыттары болып табылады. (Қараңыз .)
The Hessian matrix plays an important role in Morse theory and catastrophe theory, because its kernel and eigenvalues allow classification of the critical points. The determinant of the Hessian matrix, when evaluated at a critical point of a function, is equal to the Gaussian curvature of the function considered as a manifold. The eigenvalues of the Hessian at that point are the principal curvatures of the function, and the eigenvectors are the principal directions of curvature. (See .)
Басқа қолданбалар
Гессиан матрицасы бейне өңдеу және компьютерлік көруде бейне өңдеу операторларын көрсету үшін жиі қолданылады (Гос (LoG) блогының детекторы, Гессианның (DoH) блогының детекторы және масштаб кеңістігін қараңыз). Ол инфрақызыл спектроскопиядағы әртүрлі молекулалық жиіліктерді есептеу үшін қалыпты режимдік талдауда қолданылуы мүмкін. Сондай-ақ, оны жергілікті сезімталдық және статистикалық диагностикада пайдалануға болады.
Шекаралық гессен
Шекаралы Гессиан белгілі бір шектелген оптимизация мәселелерінде екінші туынды тесті үшін қолданылады. Бұрын қарастырылған функцияны ескере отырып, бірақ шектеу функциясын қоса отырып, онда шекаралы Гессиан Лагранж функциясының Гессианы болып табылады. Егер, мысалы, шектеу болса, онда сол жақ жоғарғы бұрыштағы нөл – нөлдер блогы болып табылады, ал жоғары жақта шекаралық қатарлар және сол жақта шекаралық бағандар болады. Жоғарыда айтылған ережелер, экстремумдар (бірлігі жоқ Гессианы бар сындық нүктелер арасында) оң анықталған немесе теріс анықталған Гессианмен сипатталатынын көрсетеді, бірақ шекаралы Гессиан теріс анықталған немесе оң анықталған бола алмайды, себебі егер – тек біріншісі нөлдік емес элементі бар кез келген вектор болса. Екінші туынды тесті шекаралы Гессианның белгілі бір жиынтығының кіші матрицаларының анықтауыштарының таңба шектеулерінен тұрады. Интуитивті түрде, шектеулерді мәселені еркін айнымалысы бар мәселеге дейін азайту деп қарастыруға болады. (Мысалы, шектеуімен максимизацияны шектеусіз максимизацияға дейін азайтуға болады.) Нақтырақ айтқанда, шектелген Гессианның жетекші кіші анықтауыштар тізбегіне (жоғарғы сол жақтан басталатын кіші матрицалардың анықтауыштары) таңба шарттары қойылады, онда алғашқы жетекші кіші анықтауыштар ескерілмейді, ең кішкентай кіші анықтауыш қысқартылған бірінші қатарлар мен бағандардан тұрады, келесісі – қысқартылған бірінші қатарлар мен бағандардан және т.б., соңғысы – бүкіл шекаралы Гессиан; егер –тан үлкен болса, ең кішкентай жетекші кіші анықтауыш – Гессианның өзі. Осылайша, қарастырылып жатқан нүктеде бағаланатын кіші анықтауыш бар, олардың әрқайсысы ең жоғары немесе ең төменгі нүктеге үміткер ретінде қарастырылады. Жергілікті максимум үшін жеткілікті шарт – осы кіші анықтауыштардың таңбасы таңбасы бар ең кішкентай кіші анықтауышпен кезектесіп отыруы. Жергілікті минимум үшін жеткілікті шарт – осы кіші анықтауыштардың барлығының таңбасына ие болуы. (Шектелмеген жағдайда бұл шарттар шексіз Гессианның тиісінше теріс анықталған немесе оң анықталған болуы үшін шарттармен сәйкес келеді).
If there are, say, constraints then the zero in the upper left corner is an block of zeros, and there are border rows at the top and border columns at the left. The above rules stating that extrema are characterized (among critical points with a non singular Hessian) by a positive definite or negative definite Hessian cannot apply here since a bordered Hessian can neither be negative definite nor positive definite, as if is any vector whose sole non zero entry is its first. The second derivative test consists here of sign restrictions of the determinants of a certain set of submatrices of the bordered Hessian. Intuitively, the constraints can be thought of as reducing the problem to one with free variables. (For example, the maximization of subject to the constraint can be reduced to the maximization of without constraint.) Specifically, sign conditions are imposed on the sequence of leading principal minors (determinants of upper left justified sub matrices) of the bordered Hessian, for which the first leading principal minors are neglected, the smallest minor consisting of the truncated first rows and columns, the next consisting of the truncated first rows and columns, and so on, with the last being the entire bordered Hessian; if is larger than then the smallest leading principal minor is the Hessian itself. There are thus minors to consider, each evaluated at the specific point being considered as a candidate maximum or minimum. A sufficient condition for a local maximum is that these minors alternate in sign with the smallest one having the sign of A sufficient condition for a local minimum is that all of these minors have the sign of (In the unconstrained case of these conditions coincide with the conditions for the unbordered Hessian to be negative definite or positive definite respectively).
Күрделі жағдайға жалпылау
Күрделі бірнеше айнымалылар контекстінде Гессианды жалпылауға болады. Егер және деп жазатын болсақ, онда жалпыланған Гессиан болады. Егер n өлшемді Коши-Риманн шарттарын қанағаттандырса, онда күрделі Гессиан матрицасы толығымен нөлге тең болады.
Риманның көптүрліліктеріне жалпылау
Римандық көптік және оның Леви-Чивита байланысы болсын. f – тегіс функция болсын. Гессиан тензорын былай анықтаймыз:
мұнда функцияның бірінші ковариантты туындысы оның обычный дифференциалымен бірдей екендігі ескеріледі. Жергілікті координаттарды таңдау Гессиан үшін жергілікті өрнек береді:
мұнда – байланыстың Кристоффель символдары. Гессианның басқа да эквивалентті формалары мына төменде келтірілген: