Введение

(Математическая) матрица вторых производных

В математике, гессиан — это квадратная матрица вторых частных производных скалярнозначной функции или скалярного поля. Она описывает локальную кривизну функции многих переменных. Гессиан был разработан в XIX веке немецким математиком Людвигом Отто Гессе и позднее назван в его честь. Гессе изначально использовал термин "функциональные определители". Гессиан иногда обозначается H или, неоднозначно, ∇².

Точки переворота

Если f — однородный многочлен от трех переменных, то уравнение f = 0 является имплицитным уравнением плоской проективной кривой. Точки перегиба кривой — это точно несингулярные точки, в которых гессианский определитель равен нулю. Из теоремы Безу следует, что кубическая плоская кривая имеет не более 9 точек перегиба, поскольку гессианский определитель является многочленом степени 6.

Испытание второй деривативы

Гессианская матрица выпуклой функции является положительно полуопределённой. Уточнение этого свойства позволяет проверить, является ли критическая точка локальным максимумом, локальным минимумом или седловой точкой, следующим образом:

Если гессиан положительно определён в точке , то функция достигает изолированного локального минимума в точке . Если гессиан отрицательно определён в точке , то функция достигает изолированного локального максимума в точке . Если гессиан имеет как положительные, так и отрицательные собственные значения, то является седловой точкой для функции . В противном случае тест не даёт однозначного ответа. Это означает, что в точке локального минимума гессиан является положительно полуопределённым, а в точке локального максимума гессиан является отрицательно полуопределённым. Для положительно и отрицательно полуопределённых гессианов тест не даёт однозначного ответа (критическая точка, в которой гессиан полуопределён, но не определён, может быть локальным экстремумом или седловой точкой). Однако, с точки зрения теории Морса, можно сказать больше. Второй тест на производную для функций одной и двух переменных проще, чем в общем случае. В одной переменной гессиан содержит ровно одну вторую производную; если она положительна, то является локальным минимумом, а если она отрицательна, то является локальным максимумом; если она равна нулю, то тест не даёт однозначного ответа. В двух переменных можно использовать определитель, поскольку определитель является произведением собственных значений. Если он положительный, то собственные значения либо оба положительные, либо оба отрицательные. Если он отрицательный, то два собственных значения имеют разные знаки. Если он равен нулю, то второй тест на производную не даёт однозначного ответа. Эквивалентно, условия второго порядка, достаточные для локального минимума или максимума, могут быть выражены в терминах последовательности главных (верхних левых) миноров (определителей подматриц) гессиана; эти условия являются частным случаем тех, которые приведены в следующем разделе для граничных гессианов для оптимизации с ограничениями – случая, в котором число ограничений равно нулю. В частности, достаточное условие для минимума состоит в том, что все эти главные миноры должны быть положительными, а достаточное условие для максимума состоит в том, что миноры чередуются по знаку, причём первый минор должен быть отрицательным.

Критические моменты

Если градиент (вектор частных производных) функции равен нулю в некоторой точке, то эта точка является критической (или стационарной) точкой функции. Определитель гессиана в этой точке в некоторых контекстах называется дискриминантом. Если этот определитель равен нулю, то точка называется вырожденной критической точкой или неморсовской критической точкой. В противном случае она является невырожденной и называется морсовской критической точкой. Матрица Гессе играет важную роль в теории Морса и теории катастроф, поскольку её ядро и собственные значения позволяют классифицировать критические точки. Определитель матрицы Гессе, вычисленный в критической точке функции, равен гауссовой кривизне функции, рассматриваемой как многообразие. Собственные значения Гессе в этой точке являются главными кривизнами функции, а собственные векторы – главными направлениями кривизны. (См. )

Другие применения

Гессианская матрица широко используется для представления операторов обработки изображений в задачах обработки изображений и компьютерного зрения (например, в детекторах блобов "Лапласиан Гаусса" (LoG), "Детерминант Гессиана" (DoH) и в теории масштабного пространства). Она также применяется в анализе нормальных мод для вычисления различных молекулярных частот в инфракрасной спектроскопии, а также в анализе локальной чувствительности и статистической диагностике.

Граничный гессонский

Гессиан с границей используется для проверки второй производной в некоторых задачах оптимизации с ограничениями. Для рассматриваемой ранее функции, к которой добавляется функция ограничения такая, что граничный гессиан является гессианом функции Лагранжа.

Если имеется, скажем, ограничений, то ноль в верхнем левом углу представляет собой блок нулей, а сверху располагается пограничных строк и слева пограничных столбцов. Вышеуказанные правила, согласно которым экстремумы характеризуются (среди критических точек с невырожденным гессианом) положительно определенным или отрицательно определенным гессианом, здесь неприменимы, поскольку граничный гессиан не может быть ни отрицательно определенным, ни положительно определенным – например, если – любой вектор, единственным ненулевым элементом которого является первый. Проверка второй производной в данном случае заключается в ограничении знаков определителей определенного набора подматриц граничного гессиана. Интуитивно, ограничения можно рассматривать как сведение задачи к задаче с независимыми переменными. (Например, максимизацию при ограничении можно свести к максимизации без ограничений.) В частности, на последовательность ведущих главных миноров (определители верхних левых подматриц) граничного гессиана накладываются условия на знаки, при этом первые ведущих главных миноров игнорируются, наименьший минор состоит из усеченных первых строк и столбцов, следующий – из усеченных первых строк и столбцов и так далее, последний – это весь граничный гессиан; если больше, чем , то наименьший ведущий главный минор – это сам гессиан. Таким образом, необходимо рассмотреть миноров, каждый из которых вычисляется в конкретной точке, рассматриваемой как кандидат на максимум или минимум. Достаточным условием для локального максимума является чередование знаков этих миноров, причем наименьший из них имеет знак . Достаточным условием для локального минимума является то, что все эти миноры имеют знак . (В случае неограниченной оптимизации эти условия совпадают с условиями положительной или отрицательной определенности неграничного гессиана соответственно).

Обобщение на сложный случай

В контексте нескольких комплексных переменных, гессиан может быть обобщен. Пусть и запишем Тогда обобщенный гессиан равен Если удовлетворяет n-мерным условиям Коши — Римана, то комплексная гессианская матрица тождественно равна нулю.

Обобщения для римановских многообразий

Пусть M — риманово многообразие, а Γ — его связность Леви-Чивиты. Пусть f — гладкая функция. Определим тензор Гессе следующим образом:

где используется тот факт, что первая ковариантная производная функции совпадает с её обычным дифференциалом. Выбор локальных координат xⁱ дает локальное выражение для тензора Гессе:

где Γⁱⱼₖ — символы Кристоффеля связности Γ. Другие эквивалентные формы для тензора Гессе имеют вид: