Манифольдтың жанама векторлары бойынша туындының спецификациясы

Кіріспе

Математикада ковариантты туынды — көпқырлының тангенттік векторлары бойынша туындыны анықтаудың бір жолы. Ковариантты туынды дифференциалдық оператор арқылы көпқырлыға қосылысты енгізу және онымен жұмыс істеу тәсілі ретінде де қарастырылады, бұл фрейм шоғырындағы негізгі қосылыс арқылы берілген тәсілмен салыстырылады. Жоғары өлшемді Евклид кеңістігіне изометриялық түрде енгізілген көпқырлының ерекше жағдайында ковариантты туындыны Евклидтік бағытталған туындының көпқырлының тангенттік кеңістігіне ортогональды проекциясы ретінде қарастыруға болады. Бұл жағдайда Евклидтік туынды екі бөлікке бөлінеді: сыртқы нормальдық компонент (енгізілгенге байланысты) және ішкі ковариантты туынды компоненті. Атауы физикадағы координаттардың өзгеруінің маңыздылығымен байланысты: ковариантты туынды жалпы координаттардың өзгеруі кезінде ковариантты түрде, яғни өзгерудің Якоб матрицасы арқылы сызықтық түрде өзгереді. Бұл мақалада векторлық өріске қатысты векторлық өрістің ковариантты туындысына кіріспе берілген, ол координаттарсыз тілде де, жергілікті координаттар жүйесі мен дәстүрлі индекс белгілеуін пайдалану арқылы да қарастырылады. Тензорлық өрістің ковариантты туындысы осы ұғымның кеңейтілуі ретінде ұсынылады. Ковариантты туынды векторлық шоғырдағы байланысқа қатысты дифференциациялау түсінігіне тікелей жалпыланады, бұл Козуль қосылысы деп те аталады.

Тарих

Тарихи тұрғыдан алғанда, 20 ғасырдың басында ковариантты туындыны Грегорио Риччи Курбастро мен Туллио Леви-Чивита Риман және псевдо-Риман геометриясының теориясына енгізді. Риччи мен Леви-Чивита (Эльвин Бруно Кристоффельдің идеяларын негізге ала отырып) Кристоффель символдарының қисықтықты анықтау үшін қолданылуымен қатар, векторлық өрістердің классикалық бағытталған туындысын жалпылайтын дифференциациялау түсінігін де қамтамасыз ете алатынын байқады. Бұл жаңа туынды – Леви-Чивита байланысы – ковариантты болды, яғни ол Риманның геометриялық объектілердің нақты координата жүйесіндегі сипаттамасына тәуелді болмауы керек деген талабын қанағаттандырды. Көп ұзамай, Герман Вейл, Ян Арнольдус Шутэн және Эли Картан сияқты басқа математиктер ковариантты туындыны метриканың қатысуынсыз абстрактілі түрде анықтауға болатынын көрсетті. Метрикаға ерекше тәуелділік емес, Кристоффель символдарының белгілі бір дәл екінші реттік түрлену заңын қанағаттандыруы маңызды еді. Бұл түрлену заңы туындыны ковариантты түрде анықтау үшін бастапқы нүкте ретінде қызмет ете алатын еді. Осылайша, ковариантты дифференциациялау теориясы қатаң Римандық контекстен ықтимал геометриялардың кең ауқымын қамтуға қарай бағытталды. 1940 жылдары дифференциалдық геометриямен айналысатындар жалпы векторлық жиынтықтарда ковариантты дифференциациялаудың басқа ұғымдарын енгізе бастады, бұл жиынтықтар геометрлерге қызығушылық тудырған классикалық жиынтықтардан өзгеше, көптүрліліктің тензорлық талдауының бір бөлігі емес еді. Көбінесе, осы жалпыланған ковариантты туындыларды байланыс тұжырымының кейбір түрімен арнайы анықтау қажет болды. 1950 жылы Жан Луи Козуль векторлық жиынтықтағы ковариантты дифференциациялаудың осы жаңа идеяларын бүгінгі күні Козуль байланысы немесе векторлық жиынтықтағы байланыс деп аталатын құралдар арқылы біріктірді. Ли алгебрасының когомологиясынан алынған идеяларды пайдалана отырып, Козуль ковариантты дифференциациялаудың көптеген аналитикалық ерекшеліктерін алгебралық түрге сәтті аударды. Атап айтқанда, Козуль байланыстары дифференциалдық геометрияда Кристоффель символдарымен (және басқа да тензорлық емес объектілермен) қиын жұмыстар істеу қажеттілігін жойды. Осылайша, олар 1950 жылдан кейінгі көптеген еңбектерде классикалық ковариантты туынды түсінігін жылдам алмастырды.

Historically, at the turn of the 20th century, the covariant derivative was introduced by Gregorio Ricci Curbastro and Tullio Levi Civita in the theory of Riemannian and pseudo Riemannian geometry. Ricci and Levi Civita (following ideas of Elwin Bruno Christoffel) observed that the Christoffel symbols used to define the curvature could also provide a notion of differentiation which generalized the classical directional derivative of vector fields on a manifold. This new derivative – the Levi Civita connection – was covariant in the sense that it satisfied Riemann's requirement that objects in geometry should be independent of their description in a particular coordinate system. It was soon noted by other mathematicians, prominent among these being Hermann Weyl, Jan Arnoldus Schouten, and Élie Cartan, that a covariant derivative could be defined abstractly without the presence of a metric. The crucial feature was not a particular dependence on the metric, but that the Christoffel symbols satisfied a certain precise second order transformation law. This transformation law could serve as a starting point for defining the derivative in a covariant manner. Thus the theory of covariant differentiation forked off from the strictly Riemannian context to include a wider range of possible geometries. In the 1940s, practitioners of differential geometry began introducing other notions of covariant differentiation in general vector bundles which were, in contrast to the classical bundles of interest to geometers, not part of the tensor analysis of the manifold. By and large, these generalized covariant derivatives had to be specified ad hoc by some version of the connection concept. In 1950, Jean Louis Koszul unified these new ideas of covariant differentiation in a vector bundle by means of what is known today as a Koszul connection or a connection on a vector bundle. Using ideas from Lie algebra cohomology, Koszul successfully converted many of the analytic features of covariant differentiation into algebraic ones. In particular, Koszul connections eliminated the need for awkward manipulations of Christoffel symbols (and other analogous non tensorial objects) in differential geometry. Thus they quickly supplanted the classical notion of covariant derivative in many post 1950 treatments of the subject.

Мотивация

Ковариантты туынды – векторлық есептеудегі бағытталған туындының обобщениесі болып табылады. Бағытталған туынды сияқты, ковариантты туынды да бір ереже, , оның кірістері ретінде: (1) P нүктесінде анықталған вектор 'u' және (2) P маңындағы анықталған 'v' векторлық өріс алынады. Нәтижесі – вектор , сондай-ақ P нүктесінде. Қарапайым бағытталған туындыдан басты айырмашылық – оның координаттар жүйесіндегі өрнектелу тәсіліне қарамастан, белгілі бір дәлдікпен тәуелсіз болуы керек. Векторды белгілі бір базис бойынша сандар тізімі ретінде сипаттауға болады, бірақ геометриялық объект ретінде вектор қалай сипатталғанына қарамастан өзінің сәйкестігін сақтайды. Бір базис бойынша компоненттерде жазылған геометриялық вектор үшін, базис өзгерген кезде компоненттер базистік түрлендіру формуласына сәйкес ковариантты түрленуге ұшырайтын координаттармен өзгереді. Ковариантты туынды координаталар өзгерген кезде базис сияқты ковариантты түрлену арқылы түрленуі керек (содан атауы да осылай). Евклид кеңістігінде векторлық өрістің бағытталған туындысы әдетте екі жақын нүктедегі екі вектор арасындағы айырмашылық ретінде анықталады. Мұндай жүйеде векторлардың бірін екіншісінің нөлдік нүктесіне жылжытып, оны параллель сақтап, содан кейін олардың айырмасын сол векторлық кеңістікте есептейді. Картезиандық (тұрақты ортонормалды) координаттар жүйесінде "оны параллель сақтау" компоненттерді өзгеріссіз ұстауға тең. Евклид кеңістігіндегі бұл қарапайым бағытталған туынды – ковариантты туындының алғашқы мысалы. Содан кейін координаттар жүйесінің өзгеруін ескеру қажет. Мысалы, егер Евклид жазықтығы полярлық координаттармен сипатталса, "оны параллель сақтау" полярлық компоненттерді жылжыту кезінде өзгеріссіз ұстауға жатпайды, себебі координаттар торының өзі "бұрылады". Осылайша, полярлық координаттарда жазылған бірдей ковариантты туындыда координаттар торының бұрылуын немесе жалпы координаттар торының кеңеюін, жиырылуын, бұрылуын, өрілуін және т.б. сипаттайтын қосымша мүшелер болады. Евклид жазықтығында γ(t) қисық сызығы бойынша қозғалатын бөлшектің мысалын қарастырайық. Полярлық координаттарда γ радиалдық және бұрыштық координаттары арқылы 1=γ(t) = (r(t), θ(t)) деп жазылуы мүмкін. Белгілі бір уақыт t кезінде (мысалы, бөлшектің тұрақты үдеуі) вектор радиалдық және жанама компоненттер бойынша векторды жіктеуге арналған полярлық координаттар үшін базис ретінде қызмет ететін және бірлік жанама векторлары арқылы өрнектеледі. Сәл кейінірек уақытта, полярлық координаттардағы жаңа базис алғашқы жиынтыққа қатысты сәл бұрылған болып көрінеді. Базистік векторлардың ковариантты туындысы (Кристофель символдары) осы өзгерісті білдіреді. Жер бетіндегі (сфера ретінде қарастырылатын) қисық кеңістікте әртүрлі нүктелер арасындағы жанама векторларды жылжыту дұрыс анықталмаған, ал оның аналогы – параллель көшу – вектор жылжытылған жолға байланысты. Экватордағы Q нүктесіндегі жер шарындағы вектор солтүстікке бағытталған. Егер векторды (оны параллель сақтап) алдымен экватор бойымен P нүктесіне дейін жылжытаймыз, содан кейін оны N полюсіне дейін меридиан бойымен сүйрейміз, содан кейін оны басқа меридиан бойымен Q-ға дейін жылжытаймыз. Содан кейін біз жабық контур бойынша параллель жылжытылған вектордың сол вектор ретінде қайтарылмайтынын байқаймыз; оның орнына, оның бағыты өзгеше. Бұл Евклид кеңістігінде орын алмас еді және жер шарының бетінің қисықтығына байланысты. Егер векторды шексіз кішкентай жабық бет бойымен екі бағытта, содан кейін кері жылжытсақ, дәл осындай әсер болады. Бұл вектордың шексіз кішкентай өзгеруі қисықтықтың өлшемі болып табылады және оны ковариантты туынды арқылы анықтауға болады.

The covariant derivative is a generalization of the directional derivative from vector calculus. As with the directional derivative, the covariant derivative is a rule, , which takes as its inputs: (1) a vector, 'u', defined at a point P, and (2) a vector field 'v' defined in a neighborhood of P. The output is the vector , also at the point P. The primary difference from the usual directional derivative is that must, in a certain precise sense, be independent of the manner in which it is expressed in a coordinate system. A vector may be described as a list of numbers in terms of a basis, but as a geometrical object the vector retains its identity regardless of how it is described. For a geometric vector written in components with respect to one basis, when the basis is changed the components transform according to a change of basis formula, with the coordinates undergoing a covariant transformation. The covariant derivative is required to transform, under a change in coordinates, by a covariant transformation in the same way as a basis does (hence the name). In the case of Euclidean space, one usually defines the directional derivative of a vector field in terms of the difference between two vectors at two nearby points. In such a system one translates one of the vectors to the origin of the other, keeping it parallel, then taking their difference within the same vector space. With a Cartesian (fixed orthonormal) coordinate system "keeping it parallel" amounts to keeping the components constant. This ordinary directional derivative on Euclidean space is the first example of a covariant derivative. Next, one must take into account changes of the coordinate system. For example, if the Euclidean plane is described by polar coordinates, "keeping it parallel" does not amount to keeping the polar components constant under translation, since the coordinate grid itself "rotates". Thus, the same covariant derivative written in polar coordinates contains extra terms that describe how the coordinate grid itself rotates, or how in more general coordinates the grid expands, contracts, twists, interweaves, etc. Consider the example of a particle moving along a curve γ(t) in the Euclidean plane. In polar coordinates, γ may be written in terms of its radial and angular coordinates by 1=γ(t) = (r(t), θ(t)). A vector at a particular time t (for instance, a constant acceleration of the particle) is expressed in terms of , where and are unit tangent vectors for the polar coordinates, serving as a basis to decompose a vector in terms of radial and tangential components. At a slightly later time, the new basis in polar coordinates appears slightly rotated with respect to the first set. The covariant derivative of the basis vectors (the Christoffel symbols) serve to express this change. In a curved space, such as the surface of the Earth (regarded as a sphere), the translation of tangent vectors between different points is not well defined, and its analog, parallel transport, depends on the path along which the vector is translated. A vector on a globe on the equator at point Q is directed to the north. Suppose we transport the vector (keeping it parallel) first along the equator to the point P, then drag it along a meridian to the N pole, and finally transport it along another meridian back to Q. Then we notice that the parallel transported vector along a closed circuit does not return as the same vector; instead, it has another orientation. This would not happen in Euclidean space and is caused by the curvature of the surface of the globe. The same effect occurs if we drag the vector along an infinitesimally small closed surface subsequently along two directions and then back. This infinitesimal change of the vector is a measure of the curvature, and can be defined in terms of the covariant derivative.

Ескертпелер

Ковариантты туындының анықтамасы кеңістікте метриканы пайдаланбайды. Дегенмен, әрбір метрика үшін Леви-Чивита байланысы деп аталатын, торсиясыз және бірегей ковариантты туынды бар, онда метриканың ковариантты туындысы нөлге тең болады. Туындының қасиеттеріне сәйкес, ол p нүктесінің өте кішкентай аймағындағы u-дың мәндеріне тәуелді, дәл сол сияқты, мысалы, берілген нүктедегі f скалярлық функциясының туындысы f қисығы бойымен p нүктесінің өте кішкентай аймағындағы f-тың мәндеріне тәуелді. Ковариантты туындыдағы p нүктесінің аймағы туралы ақпаратты вектордың параллель көшіруін анықтау үшін қолдануға болады. Сондай-ақ, қисықтық, бұрылыс және геодезиялық сызықтар тек ковариантты туынды немесе сызықтық байланыс идеясына негіделген басқа да өзгерістер арқылы анықталуы мүмкін.

Ресми анықтама

Ковариантты туынды — тангенциалдық бундельдегі және басқа тензорлық бундельдердегі (Козуль) байланыс: ол функциялардағы қалыпты дифференциалдауға ұқсас тәсілмен векторлық өрістерді дифференциалдайды. Анықтамасы векторлық өрістердің (яғни ковекторлық өрістердің) дуалындағы және кез келген тензорлық өрістердегі дифференциалдауға дейін бірегей түрде кеңейтіледі, бұл тензорлық көбейту және із (тензорлық жиырылу) операцияларымен үйлесімділікті қамтамасыз етеді.

Функциялар

Көптүрліліктің берілген нүктесі , көптүрліліктегі нақты функция және тангенс векторы болғанда, f-тың p нүктесіндегі 'v' бойымен алынған ковариантты туындысы – p нүктесіндегі скаляр шама болып табылады, ол f аргументі 'v' шексіз ығысу векторымен өзгерген кезде f мәнінің өзгеруінің басты бөлігін көрсетеді. (Бұл f функциясының 'v' векторына қатысты есептелген дифференциалы.) Формальды түрде, мұндай дифференциалданатын қисық бар, мұндағы және , ал f-тың p нүктесіндегі ковариантты туындысы былай анықталады:

Егер - көптүрліліктегі векторлық өріс болса, онда ковариантты туынды – f және 'v' функцияларының ортақ доменіндегі әрбір p нүктесіне сәйкес келетін скаляр шама.

Скалярлық функция f және векторлық өріс 'v' үшін ковариантты туынды Ли туындысымен және сыртқы туындымен бірдей болады.

Ковекторлы өрістер

p нүктесінің маңында анықталған ковекторлардың (немесе бір форманың) өрісі берілгенде, оның ковариантты туындысы алынған операцияны тензорлық жиырылыспен және көбейту ережесімен үйлесімді ету үшін анықталады. Яғни, p нүктесіндегі бірегей бір форма, p-нің маңындағы барлық 'u' векторлық өрістері үшін келесі тепе-теңдік орындалатындай етіп анықталады. 'v' векторлық өрісі бойымен ковекторлық өрістің ковариантты туындысы да ковекторлық өріс болып табылады.

Ли дериватымен қатынасы

Ковариантты туынды көпқырлылықтағы векторларды көршілес тангенциалды кеңістіктерде салыстыруға мүмкіндік беретін қосымша геометриялық құрылымды енгізеді: әртүрлі тангенциалды кеңістіктерден алынған векторларды салыстырудың канондық тәсілі жоқ, себебі канондық координаттар жүйесі жоқ. Алайда, бағытталған туындылардың тағы бір канондық жалпыламасы бар: бір векторлық өрістің екінші векторлық өрістің ағыны бойынша өзгеруін бағалайтын Ли туындысы. Осылайша, ашық маңда тек бір нүктеде ғана емес, екі векторлық өрісті де білу қажет. Ковариантты туынды, керісінше, берілген бағыттағы векторлар үшін өзінің өзгеруін енгізеді және ол тек бір нүктедегі вектор бағытына ғана тәуелді, нүктенің ашық маңындағы векторлық өріске емес. Басқаша айтқанда, ковариантты туынды бағыт аргументі бойынша сызықтық (C^(∞)(M) бойынша), ал Ли туынды екі аргументі бойынша да сызықтық емес. Антисимметрияланған ковариантты туынды ∇uv − ∇vu және Ли туындысы Luv байланыстың бұрылысымен ерекшеленеді, сондықтан байланыс бұрылыссыз болса, оның антисимметриясы Ли туындысы болады.