Ковариантная производная на многообразии

Введение

Определение производной вдоль касательного вектора многообразия

В математике ковариантная производная — это способ определения производной вдоль касательных векторов многообразия. Альтернативно, ковариантная производная является способом введения и работы с аффинным соединением на многообразии посредством дифференциального оператора, в отличие от подхода, основанного на главном соединении на расслоении касательных векторов – см. аффинное соединение. В частном случае многообразия, изометрически погруженного в евклидово пространство большей размерности, ковариантная производная может рассматриваться как ортогональная проекция евклидовой направленной производной на касательное пространство многообразия. В этом случае евклидова производная распадается на две составляющие: внешнюю нормальную компоненту (зависящую от погружения) и внутреннюю ковариантную компоненту. Название обусловлено важностью преобразований координат в физике: ковариантная производная ковариантно преобразуется при общем преобразовании координат, то есть линейно посредством якобиана преобразования. В данной статье представлено введение в ковариантную производную векторного поля по векторному полю, как в координатно-независимой форме, так и с использованием локальной системы координат и традиционного индексного обозначения. Ковариантная производная тензорного поля представляется как обобщение той же концепции. Ковариантная производная непосредственно обобщается на понятие дифференцирования, связанного с соединением на векторном расслоении, также известном как соединение Козуля.

История

Исторически, на рубеже 20-го века ковариантная производная была введена Грегорио Риччи Курбастро и Туллио Леви-Чивитой в теории римановой и псевдоримановой геометрии. Риччи и Леви-Чивита (опираясь на идеи Эльвина Бруно Кристоффеля) заметили, что символы Кристоффеля, используемые для определения кривизны, также могут предоставить понятие дифференцирования, обобщающее классическую направленную производную векторных полей на многообразии. Эта новая производная – связь Леви-Чивиты – была ковариантной в том смысле, что она удовлетворяла требованию Римана о том, что объекты в геометрии должны быть независимы от их описания в конкретной системе координат. Вскоре другие математики, среди которых были Герман Вейль, Ян Арнольдус Шутен и Эли Картан, отметили, что ковариантную производную можно определить абстрактно, без наличия метрики. Ключевой особенностью была не зависимость от метрики, а то, что символы Кристоффеля удовлетворяли определенному точному закону преобразования второго порядка. Этот закон преобразования мог служить отправной точкой для определения производной ковариантным образом. Таким образом, теория ковариантной дифференциации отделилась от строго риманового контекста, чтобы включить более широкий диапазон возможных геометрий. В 1940-х годах специалисты по дифференциальной геометрии начали вводить другие понятия ковариантной дифференциации в общих векторных расслоениях, которые, в отличие от классических расслоений, представляющих интерес для геометров, не являлись частью тензорного анализа многообразия. В основном, эти обобщенные ковариантные производные требовали ad hoc определения с использованием некоторой версии концепции связи. В 1950 году Жан Луи Козуль объединил эти новые идеи ковариантной дифференциации в векторном расслоении посредством того, что сегодня известно как связь Козуля или связь на векторном расслоении. Используя идеи кохомологии алгебры Ли, Козуль успешно преобразовал многие аналитические особенности ковариантной дифференциации в алгебраические. В частности, связи Козуля устранили необходимость в неудобных манипуляциях символами Кристоффеля (и другими аналогичными нетензорными объектами) в дифференциальной геометрии. Таким образом, они быстро заменили классическое понятие ковариантной производной во многих работах по этой теме, опубликованных после 1950 года.

Historically, at the turn of the 20th century, the covariant derivative was introduced by Gregorio Ricci Curbastro and Tullio Levi Civita in the theory of Riemannian and pseudo Riemannian geometry. Ricci and Levi Civita (following ideas of Elwin Bruno Christoffel) observed that the Christoffel symbols used to define the curvature could also provide a notion of differentiation which generalized the classical directional derivative of vector fields on a manifold. This new derivative – the Levi Civita connection – was covariant in the sense that it satisfied Riemann's requirement that objects in geometry should be independent of their description in a particular coordinate system. It was soon noted by other mathematicians, prominent among these being Hermann Weyl, Jan Arnoldus Schouten, and Élie Cartan, that a covariant derivative could be defined abstractly without the presence of a metric. The crucial feature was not a particular dependence on the metric, but that the Christoffel symbols satisfied a certain precise second order transformation law. This transformation law could serve as a starting point for defining the derivative in a covariant manner. Thus the theory of covariant differentiation forked off from the strictly Riemannian context to include a wider range of possible geometries. In the 1940s, practitioners of differential geometry began introducing other notions of covariant differentiation in general vector bundles which were, in contrast to the classical bundles of interest to geometers, not part of the tensor analysis of the manifold. By and large, these generalized covariant derivatives had to be specified ad hoc by some version of the connection concept. In 1950, Jean Louis Koszul unified these new ideas of covariant differentiation in a vector bundle by means of what is known today as a Koszul connection or a connection on a vector bundle. Using ideas from Lie algebra cohomology, Koszul successfully converted many of the analytic features of covariant differentiation into algebraic ones. In particular, Koszul connections eliminated the need for awkward manipulations of Christoffel symbols (and other analogous non tensorial objects) in differential geometry. Thus they quickly supplanted the classical notion of covariant derivative in many post 1950 treatments of the subject.

Мотивация

Ковариантная производная является обобщением направленной производной из векторного исчисления. Как и направленная производная, ковариантная производная представляет собой правило, , которое принимает на вход: (1) вектор 'u', определенный в точке P, и (2) векторное поле 'v', определенное в окрестности точки P. Результатом является вектор , также в точке P. Основное отличие от обычной направленной производной состоит в том, что она должна, в определенном точном смысле, быть независимой от способа ее выражения в системе координат. Вектор можно описать как список чисел относительно базиса, но как геометрический объект вектор сохраняет свою идентичность независимо от способа его описания. Для геометрического вектора, заданного компонентами относительно одного базиса, при изменении базиса компоненты преобразуются согласно формуле преобразования базиса, при этом координаты испытывают ковариантное преобразование. Ковариантная производная должна преобразовываться при изменении координат ковариантным образом, так же, как и базис (отсюда и название). В случае евклидова пространства обычно направленная производная векторного поля определяется как разность между двумя векторами в двух близких точках. В такой системе один из векторов переносится в начало координат другого, сохраняя его параллельным, а затем вычисляется их разность в одном и том же векторном пространстве. В картезианской (фиксированной ортонормальной) системе координат "сохранение параллельности" сводится к сохранению постоянными компонент вектора. Эта обычная направленная производная в евклидовом пространстве является первым примером ковариантной производной. Далее необходимо учитывать изменения системы координат. Например, если евклидова плоскость описывается полярными координатами, "сохранение параллельности" не означает, что полярные компоненты остаются постоянными при переносе, поскольку сама координатная сетка "вращается". Таким образом, та же ковариантная производная, записанная в полярных координатах, содержит дополнительные члены, описывающие вращение самой координатной сетки или, в более общих координатах, расширение, сжатие, искривление, переплетение и т.д. сетки. Рассмотрим пример частицы, движущейся по кривой γ(t) в евклидовой плоскости. В полярных координатах γ может быть записана через радиальную и угловую координаты как γ(t) = (r(t), θ(t)). Вектор в определенный момент времени t (например, постоянное ускорение частицы) выражается через , где и являются единичными касательными векторами для полярных координат, служащими базисом для разложения вектора на радиальную и тангенциальную компоненты. В чуть более поздний момент времени новый базис в полярных координатах оказывается слегка повернутым относительно исходного. Ковариантная производная базисных векторов (символы Кристоффеля) служит для описания этого изменения. В искривленном пространстве, таком как поверхность Земли (рассматриваемая как сфера), перенос касательных векторов между различными точками не определен однозначно, а его аналог, параллельный перенос, зависит от пути, вдоль которого переносится вектор. Вектор на земном шаре на экваторе в точке Q направлен на север. Предположим, мы переносим вектор (сохраняя его параллельным) сначала вдоль экватора до точки P, затем перетаскиваем его по меридиану к Северному полюсу N и, наконец, переносим его по другому меридиану обратно в точку Q. Тогда мы замечаем, что параллельно перенесенный вектор вдоль замкнутого контура не возвращается в исходное состояние; вместо этого он имеет другую ориентацию. Этого не произойдет в евклидовом пространстве и вызвано кривизной поверхности земного шара. Тот же эффект возникает, если перетащить вектор по бесконечно малой замкнутой поверхности последовательно вдоль двух направлений, а затем вернуть его обратно. Это бесконечно малое изменение вектора является мерой кривизны и может быть определено через ковариантную производную.

The covariant derivative is a generalization of the directional derivative from vector calculus. As with the directional derivative, the covariant derivative is a rule, , which takes as its inputs: (1) a vector, 'u', defined at a point P, and (2) a vector field 'v' defined in a neighborhood of P. The output is the vector , also at the point P. The primary difference from the usual directional derivative is that must, in a certain precise sense, be independent of the manner in which it is expressed in a coordinate system. A vector may be described as a list of numbers in terms of a basis, but as a geometrical object the vector retains its identity regardless of how it is described. For a geometric vector written in components with respect to one basis, when the basis is changed the components transform according to a change of basis formula, with the coordinates undergoing a covariant transformation. The covariant derivative is required to transform, under a change in coordinates, by a covariant transformation in the same way as a basis does (hence the name). In the case of Euclidean space, one usually defines the directional derivative of a vector field in terms of the difference between two vectors at two nearby points. In such a system one translates one of the vectors to the origin of the other, keeping it parallel, then taking their difference within the same vector space. With a Cartesian (fixed orthonormal) coordinate system "keeping it parallel" amounts to keeping the components constant. This ordinary directional derivative on Euclidean space is the first example of a covariant derivative. Next, one must take into account changes of the coordinate system. For example, if the Euclidean plane is described by polar coordinates, "keeping it parallel" does not amount to keeping the polar components constant under translation, since the coordinate grid itself "rotates". Thus, the same covariant derivative written in polar coordinates contains extra terms that describe how the coordinate grid itself rotates, or how in more general coordinates the grid expands, contracts, twists, interweaves, etc. Consider the example of a particle moving along a curve γ(t) in the Euclidean plane. In polar coordinates, γ may be written in terms of its radial and angular coordinates by 1=γ(t) = (r(t), θ(t)). A vector at a particular time t (for instance, a constant acceleration of the particle) is expressed in terms of , where and are unit tangent vectors for the polar coordinates, serving as a basis to decompose a vector in terms of radial and tangential components. At a slightly later time, the new basis in polar coordinates appears slightly rotated with respect to the first set. The covariant derivative of the basis vectors (the Christoffel symbols) serve to express this change. In a curved space, such as the surface of the Earth (regarded as a sphere), the translation of tangent vectors between different points is not well defined, and its analog, parallel transport, depends on the path along which the vector is translated. A vector on a globe on the equator at point Q is directed to the north. Suppose we transport the vector (keeping it parallel) first along the equator to the point P, then drag it along a meridian to the N pole, and finally transport it along another meridian back to Q. Then we notice that the parallel transported vector along a closed circuit does not return as the same vector; instead, it has another orientation. This would not happen in Euclidean space and is caused by the curvature of the surface of the globe. The same effect occurs if we drag the vector along an infinitesimally small closed surface subsequently along two directions and then back. This infinitesimal change of the vector is a measure of the curvature, and can be defined in terms of the covariant derivative.

Замечания

В определении ковариантной производной не используется метрика пространства. Однако для каждой метрики существует единственная ковариантная производная без кручения, называемая связностью Леви-Чивиты, такая что ковариантная производная самой метрики равна нулю. Свойства производной подразумевают, что она зависит от значений u в произвольно малой окрестности точки p так же, как, например, производная скалярной функции f вдоль кривой в заданной точке p зависит от значений f в произвольно малой окрестности p. Информация об окрестности точки p, содержащаяся в ковариантной производной, может быть использована для определения параллельного переноса вектора. Кроме того, кривизна, кручение и геодезические могут быть определены только в терминах ковариантной производной или других связанных модификаций идеи линейной связности.

Формальное определение

Ковариантная производная — это (Koszul) соединение на тангенциальном расслоении и других тензорных расслоениях: она дифференцирует векторные поля аналогично обычному дифференциалу функций. Определение расширяется на дифференцирование дуальных векторных полей (то есть ковекторных полей) и произвольных тензорных полей, единственным образом обеспечивающим совместимость с тензорным произведением и операциями трассировки (тензорного сжатия).

Функции

При заданной точке многообразия , вещественной функции на многообразии и тангентного вектора , ковариантная производная функции f в точке p вдоль вектора 'v' – это скаляр в точке p, обозначаемый , который представляет собой главную часть изменения значения f при изменении аргумента f на бесконечно малое смещение 'v'. (Это дифференциал функции f, вычисленный на векторе 'v'.) Формально, существует дифференцируемая кривая , такая что и , и ковариантная производная f в точке p определяется как:

Если 'v' – векторное поле на , то ковариантная производная – это функция, которая сопоставляет каждой точке p из общей области определения f и 'v' скаляр .

Для скалярной функции f и векторного поля 'v' ковариантная производная совпадает с производной Ли и с внешним дифференциалом.

Ковекторальные поля

При заданном поле ковекторов (или одной формы), определенном в окрестности точки p, его ковариантная производная определяется таким образом, чтобы результирующая операция была совместима с тензорным стягиванием и правилом произведения. То есть, она определяется как единственная одна форма в точке p, для которой выполняется следующее тождество для всех векторных полей 'u' в окрестности p.

Ковариантная производная ковекторного поля вдоль векторного поля 'v' является ковекторным полем.

Отношение к производной Ли

Ковариантная производная вводит дополнительную геометрическую структуру на многообразии, позволяющую сравнивать векторы в соседних касательных пространствах: не существует канонического способа сравнения векторов из разных касательных пространств, поскольку не существует канонической системы координат. Однако существует другое обобщение направленных производных, которое является каноническим: производная Ли, вычисляющая изменение одного векторного поля вдоль потока другого векторного поля. Таким образом, необходимо знать оба векторных поля в открытой окрестности, а не только в одной точке. Ковариантная производная, напротив, вводит собственное изменение для векторов в заданном направлении и зависит только от направления вектора в одной точке, а не от векторного поля в открытой окрестности точки. Иными словами, ковариантная производная линейна (относительно C^(∞)(M)) по аргументу направления, в то время как производная Ли линейна ни по одному из аргументов. Следует отметить, что антисимметризованная ковариантная производная ∇uv − ∇vu и производная Ли Luv отличаются кручением связности, так что если связность не имеет кручения, то её антисимметризация совпадает с производной Ли.