Кіріспе

Ықтималдықтар теориясында Височанский-Петунин теңсіздігі, шекті дисперсиясы бар кездейсоқ шаманың орташа мәнінен белгілі бір сан стандартты ауытқулар шегінде болу ықтималдығының ең төменгі шегін, немесе керісінше, одан одан да алыс болу ықтималдығының ең жоғарғы шегін көрсетеді. Бұл теңсіздік үшін таралудың жалғыз талабы – унимодальды болуы және шекті дисперсияға ие болуы. Мұнда унимодальдылық – бұл таралудың үздіксіз ықтималдық үлестірімі екенін білдіреді, тек режимінде ғана нөлдік емес ықтималдық болуы мүмкін.

Теорема

Кездейсоқ айнымалы бірмодальды үлестірілімге ие болсын, және егер біз кез келген үшін анықтасақ, онда,

Гаусс теңсіздікке қатынасы

-қа тең деп алғанда, Гаусс теңсіздігінің бірінші жағдайы шығады.

Шынжырдың тығыздығы

Жалпылықты жоғалтпай, және деп есептейік. Егер , сол жақ бірге тең болуы мүмкін, сондықтан шектеудің мағынасы жоқ. Егер , шектеу ықтималдықпен тығыз болады, ал қалған жағдайда интервалда біркелкі таралады. Егер , шектеу ықтималдықпен тығыз болады, ал қалған жағдайда интервалда біркелкі таралады.

Дәлел кескіні

Қарапайым дәлелдеу үшін қараңыз. Дәлелдеудің негізгі идеясы екі жағдайды қарастыруда: біріншісі – егер модасы салыстырмалы мәнге қарағанда жақын болса, онда біз көрсетуге болады; екіншісі – егер модасы салыстырмалы мәннен алыс болса, онда біз көрсетуге болады. Бұл екі жағдайды біріктіру нәтижесінде біз аламыз. екенде, екі жағдай да бірдей мән береді.

Қасиеттері

Теорема Чебышев теңсіздігін 4/9 коэффициентін қосу арқылы нақтылайды, бұл бөлудің біржақты (унимодальды) болу шартымен қамтамасыз етіледі. Бақылау кестелерін және басқа статистикалық тәсілдерді құру кезінде, 1=λ = 3 деп қою қабылданған, бұл 4/81= 0,04938 жоғарғы ықтималдық шегіне сәйкес келеді, және процестің нәтижесінің дерлік барлық мәнін (яғни 95%) шектеу үшін 3 сигма шектерін құруға мүмкіндік береді. Бөлудің біржақты болмауы жағдайында Чебышев теңсіздігі 1= 1/9 = 0,11111 сияқты кеңірек шек береді.

Бір жақты нұсқа

Бір жақты құйрық шекаралары үшін Височанский Петунин теңсіздігінің жақсартылған нұсқасы бар. Орташасы және дисперсиясы бар бір модульді кездейсоқ айнымалы үшін, және , бір жақты Височанский Петунин теңсіздігі былай тұжырымдалады:

Бір жақты Височанский Петунин теңсіздігі, сондай-ақ байланысты Кантелли теңсіздігі, мысалы, қаржы саласында "қаншалықты үлкен шығындар болуы мүмкін" деген мәселені қарастыруда маңызды рөл атқарады.

Дәлел

Бұл дәлел Кантелли теңсіздігінің дәлеліне өте ұқсас. Кез келген үшін,

Содан кейін біз Височанский-Петунин теңсіздігін қолдана аламыз. болғанда, бізде:

Кантелли теңсіздігінің дәлеліндегідей, барлық бойынша ең төменгі мәнге жететіні көрсетіледі. Бұл мәнді қойып, оңайлатсақ, қажетті теңсіздік шығады.