Введение

В теории вероятностей неравенство Высочанского — Петунина предоставляет нижнюю оценку для вероятности того, что случайная величина с конечной дисперсией лежит в пределах заданного числа стандартных отклонений от среднего значения этой величины, или, что эквивалентно, верхнюю оценку для вероятности того, что она лежит за пределами этого диапазона. Единственным требованием к распределению является его унимодальность и конечность дисперсии; при этом унимодальность подразумевает, что это непрерывное распределение вероятностей, за исключением моды, которая может иметь ненулевую вероятность.

Теорема

Пусть X — случайная величина с одномодальным распределением, и если мы определим Y = X - m, то для любого ε > 0, P(|Y| > ε) ≤ 2P(|X - m| > ε).

Отношение к неравенству Гаусса

Принимая равным моды, мы получаем первый случай неравенства Гаусса.

Тесность связки

Без потери общности, предположим, что и . Если , левая часть может равняться единице, следовательно, оценка бесполезна. Если , оценка точна, когда с вероятностью , а в противном случае распределена равномерно на интервале . Если , оценка точна, когда с вероятностью , а в противном случае распределена равномерно на интервале .

Скетч для доказательств

Для сравнительно элементарного доказательства см. Основная идея доказательства состоит в том, что существуют два случая: один, когда мода близка к по сравнению с , и в этом случае мы можем показать , а другой, когда мода далека от по сравнению с , и в этом случае мы можем показать. Объединение этих двух случаев дает . При , оба случая дают одно и то же значение.

Свойства

Теорема уточняет неравенство Чебышева, включая коэффициент 4/9, что становится возможным благодаря условию одномодальности распределения. При построении контрольных карт и других статистических эвристик обычно задают 1 = λ = 3, что соответствует верхней границе вероятности 4/81 = 0,04938, и строят пределы в 3 сигмы для ограничения почти всех (то есть 95%) значений выходных данных процесса. Без одномодальности неравенство Чебышева дало бы менее точную границу 1 = 1/9 = 0,11111.

Односторонняя версия

Существует улучшенная версия неравенства Высочанского-Петунина для односторонних оценок хвостов распределения. Для унимодальной случайной величины со средним μ и дисперсией σ², при условии μ < x, одностороннее неравенство Высочанского-Петунина имеет вид:

Одностороннее неравенство Высочанского-Петунина, а также связанное с ним неравенство Кантелли, могут быть применимы, например, в финансовой сфере для оценки максимальных возможных убытков.

Доказательство

Доказательство очень похоже на доказательство неравенства Кантелли. Для любого ,

Тогда мы можем применить неравенство Высочанского-Петунина. При этом, мы имеем:

Как и в доказательстве неравенства Кантелли, можно показать, что минимум достигается при подстановке . Подстановка этого значения и упрощение дают требуемое неравенство.