Георг Фридрих Бернхард Риман: өмір және ғылыми еңбектері

Кіріспе

Неміс математигі (1826–1866)

Георг Фридрих Бернхард Риманн (17 қыркүйек 1826 – 20 шілде 1866) – неміс математигі, анализ, сандар теориясы және дифференциалдық геометрия салаларына маңызды үлес қосып, терең зерттеулер жасаған. Нақты анализ саласында ол интегралдың алғашқы қатаң формулировкасын, яғни Риман интегралын және Фурье қатарлары бойынша жұмыстарын ең жақсы білуге болады. Оның комплекс анализге қосқан үлесінің ең маңыздысы – Риман беттерін енгізуі, бұл комплекс анализді табиғи, геометриялық тұрғыдан қарастырудың жаңа жолын ашты. Оның 1859 жылғы жарияланымдағы жай сан есеу функциясы туралы мақаласы, Риман гипотезасының бастапқы тұжырымын қамтиды және аналитикалық сандар теориясының негізгі еңбегі саналады. Дифференциалдық геометрияға жасаған новаторлық үлесі арқылы Риман жалпы салыстырмалылық теориясының математикалық негізін қалады. Ол көптеген адамдар тарапынан барлық уақыттың ең ұлы математиктерінің бірі деп есептеледі.

Алғашқы жылдар

Риман 1826 жылдың 17 қыркүйегінде Ганновер Корольдігінің Данненберг қаласының жанындағы Бресленц ауылында дүниеге келді. Оның әкесі, Фридрих Бернхард Риман, Бресленцтегі кедей лютеран пасторы болған, ол Наполеон соғыстарына қатысқан. Оның анасы, Шарлотта Эбелл, 1846 жылы қайтыс болды. Риман алты баланың екіншісі, ұялшақ және көптеген нервтік құлауларға ұшыраған. Риман ерте жасынан-ақ есептеу қабілеті сияқты ерекше математикалық дарынымен көзге түсті, бірақ соған қарамастан, ұялшақтықтан және көпшілік алдында сөйлеуден қорқудан қиналды.

Білім

1840 жылы Риман Ганноверге әжесінің үйіне барып, лицейге (орта мектеп жылдары) оқуға түсті, өйткені осындай мектеп оның туған ауылында болмады. 1842 жылы әжесі қайтыс болғаннан кейін ол Люнебургтегі Жоханнеум гимназиясына ауысты. Риман сол жерде Киелі кітапты жақсылап оқыды, бірақ көбінесе математика оны алаңдататын. Оның математикадағы күрделі амалдарды орындау қабілеті мұғалімдерін таң қалдырды, тіпті ол ұстаздарының білімін де асырып түсетін. 1846 жылы, 19 жасында, ол пастор болу және отбасының қаржылық жағдайына көмектесу үшін филология мен христиан теологиясын оқуға кірісті. 1846 жылдың көктемінде әкесі жеткілікті ақша жинаған соң Риманды Геттинген университетіне теология факультетіне оқуға жіберді. Бірақ ол келген соң Карл Фридрих Гаусспен математиканы оқыды (әсіресе, ең кіші квадраттар әдісі бойынша лекцияларын). Гаусс Риманға теологиялық еңбегінен бас тартып, математика саласына көшуді кеңес берді; әкесінің келісімінен кейін Риман 1847 жылы Берлин университетіне ауысты. Оқу барысында Карл Густав Якоб Якоби, Петер Густав Лежен Дирихлет, Якоб Штайнер және Готтгольд Эйзенштейн сабақ берді. Ол Берлинде екі жыл тұрды, ал 1849 жылы Геттингенге қайтып келді.

Академия

Риман өзінің алғашқы лекцияларын 1854 жылы өткізді, ол Риман геометриясы саласын қалыптастырды және осылайша Альберт Эйнштейннің жалпы салыстырмалылық теориясының негізін қалады. 1857 жылы Геттинген университетінде Риманды ерекше профессор қызметіне көтеруге тырысты. Бұл әрекет сәтсіз аяқталса да, Риманға тұрақты жалақы тағайындалды. 1859 жылы Дирихле қайтыс болғаннан кейін (Геттинген университетінде Гаусс атындағы кафедраны басқарған), ол Геттинген университетінің математика кафедрасын басқарды. Сонымен қатар, ол физикалық шындықты сипаттау үшін үш немесе төрттен артық өлшемдерді пайдалануды алғаш ұсынған адам болды.

Протестанттық отбасы және Италиядағы өлім

1866 жылы Ганновер мен Пруссия әскерлері шайқасқанда Риман Геттингеннен қашып кетті. Ол Италияға үшінші сапарында Селаскада (қазіргі Вербанияның Маджоре көліндегі шағын ауылы) туберкулезден қайтыс болды, және Биганзоло (Вербания) зиратында жерленді. Риман – протестант пасторының ұлы, берілген христиан болды және математик ретіндегі өмірін Құдайға қызмет етудің тағы бір жолы деп қарады. Өмірі бойы христиандық сенімін сақтап, оны өміріндегі ең маңыздысы деп есептеді. Өлімі алдында әйелімен бірге "Пәктік дұғасын" оқып жатқанда, оны аяқтап үлкермей қайтыс болды. Ал Геттингенде оның үй шаруасы кеңсесіндегі көптеген жарияланбаған жұмыстарын, қағаздарды тастап кетті. Риман толық емес жұмысты жариялаудан бас тартқандықтан, кейбір терең ойлардың қаза болғаны мүмкін.

Риман геометриясы

Риманның жарияланған еңбектері геометриямен талдауды біріктіретін зерттеу салаларын ашты. Кейіннен олар Риман геометриясы, алгебралық геометрия және күрделі көптік теориясы теориясының маңызды бөлігіне айналды. Риман беттерінің теориясын Феликс Клейн және әсіресе Адольф Хурвиц дамытты. Математиканың бұл саласы топологияның негіздерінің бір бөлігі болып табылады және қазірге дейін математикалық физикада жаңа тәсілдермен қолданылуда. 1853 жылы Гаусс өзінің шәкірті Риманнан геометрия негіздері бойынша Habilitationsschrift дайындауды сұрады. Көп айлар бойы Риман жоғары өлшемдер теориясын жетілдіріп, 1854 жылы Геттингенде «Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen» деген тақырыпта лекция оқыды. Ол он екі жылдан кейін, 1868 жылы, Дедекиндтің жариялауымен, Риманның қайтыс болғаннан кейін екі жыл өткен соң жарық көрді. Оның алғашқы қабылдануы баяу болған сияқты, бірақ қазір геометриядағы ең маңызды еңбектердің бірі ретінде танылды. Осы еңбектің негізінде Риман геометриясы құрылды. Риман беттердің дифференциалдық геометриясын n өлшемге дұрыс кеңейту жолын тапты, оны Гаусс өзінің *theorema egregium*-де дәлелдеген. Негізгі объектілер Риман метрикасы және Риман қисықтық тензоры деп аталады. Бет (екі өлшемді) жағдайында, әрбір нүктедегі қисықтықты бір санға (скалярлық шамаға) келтіруге болады, ал тұрақты оң немесе теріс қисықтығы бар беттер Евклид емес геометриялардың моделі болып табылады. Риман метрикасы – кеңістіктегі әрбір нүктеде (яғни тензор) жылдамдықты өлшеуге мүмкіндік беретін сандар жиынтығы, оның интегралы траекторияның бастапқы және соңғы нүктелері арасындағы қашықтықты анықтайды. Мысалы, Риман төрт кеңістіктік өлшемде әрбір нүктеде он сан қажеттілігін анықтады, бұл санның қаншалықты бұрмаланғанына қарамастан, көпқырлылықтағы қашықтықтар мен қисықтықтарды сипаттау үшін қажет.

Күрделі талдау

Диссертациясында ол Риман беттерін пайдалану арқылы күрделі талдаудың геометриялық негізін құрды, осы арқылы логарифм (шегі жоқ саны бар) немесе квадрат түбір (екі жапырақпен) сияқты көпмәнді функциялар бір-бір функцияларға айналуы мүмкін. Күрделі функциялар – осы беттердегі гармоникалық функциялар (яғни, олар Лаплас теңдеуін және, демек, Коши-Риман теңдеулерін қанағаттандырады) және олардың сингулярлықтарының орналасуымен және беттердің топологиясымен сипатталады. Риман бетінің топологиялық «жынысы» , мұнда бет бұтақтарда жапырақтары бірігіп тұратын жапырақтар болады. Риман бетінде параметрлер бар («модульдер»). Оның осы салаға қосқан үлесі көп. Риманның танымал бейнелеу теоремасы бойынша, күрделі жазықтықта жай ғана байланысқан домен «биголоморфтық эквивалентті» (яғни, олардың арасында голоморфтық керісі бар голоморфтық биекция бар) немесе бірлік шеңбердің ішкі бөлігіне тең. Теореманың Риман беттеріне жалпылануы – атақты біркелкілік теоремасы, оны 19 ғасырда Анри Пуанкаре және Феликс Клейн дәлелдеді. Мұнда да қатаң дәлелдемелер алғаш рет математикалық құралдар (осы жағдайда топология) дамығаннан кейін берілді. Риман беттеріндегі функциялардың бар екендігін дәлелдеу үшін ол минималдық шартын қолданды, оны Дирихле принципі деп атады. Карл Вейерштрасс дәлелдеуде олқылық тапты: Риман өзінің жұмыс істеп тұрған болжамының (минималдың бар екендігі) жұмыс істемеуі мүмкін екенін байқамады; функция кеңістігі толық болмауы мүмкін, сондықтан минималдың бар екендігіне кепілдік берілмейді. Дэвид Гильберттің Вариациялық есептеудегі еңбегі арқылы Дирихле принципі толыққанды қалыптасты. Әйтпесе, Вейерштрасс Риманнан, әсіресе оның абельдік функциялар теориясынан қатты әсер алды. Риманның еңбегі жарияланғанда Вейерштрасс өзінің мақаласын Crelle's Journal журналынан алып тастады және жарияламады. Олар 1859 жылы Риманның Берлинге келген кезде жақсы түсіністікке ие болды. Вейерштрасс өзінің шәкірті Герман Амандус Шварцты күрделі талдауда Дирихле принципіне балама табуға шақырды, ол сәтті болды. Арнольд Зоммерфельдтің әңгімесі заманауи математиктердің Риманның жаңа идеяларымен күрескен қиындықтарын көрсетеді. 1870 жылы Вейерштрасс Риманның диссертациясын Ригиге демалысқа алып барып, оны түсіну қиын екеніне шағымданды. Физик Герман фон Гельмгольц оған түнеуде көмектесіп, бұл «табиғи» және «өте түсінікті» деген пікірмен қайтып келді. Басқа ерекшеліктері оның абельдік функциялар және Риман беттеріндегі тета функциялары бойынша жұмысына жатады. Риман 1857 жылдан бері Вейерштраспен эллиптік интегралдардың жалпылануы – абельдік интегралдар үшін Якоб инверс проблемаларын шешу үшін бәсекелесіп келді. Риман көп айнымалы тета функцияларын пайдаланды және мәселені осы тета функцияларының нөлдерін анықтауға дейін қысқартты. Риман сонымен қатар кезеңдік матрицаларды зерттеді және оларды «Риман кезеңдік қатынастары» (симметриялық, нақты бөлігі теріс) арқылы сипаттады. Фердинанд Георг Фробеньус және Соломон Лефшецтің бұл қатынастың жарамдылығы тета функциялары арқылы проективті кеңістікте (кезеңдік матрицаның торсы қайда) енгізумен тең. , белгілі бір мәндері үшін бұл Риман бетінің Якобтың әралуы, абельдік көптіктің мысалы. Альфред Клебш сияқты көптеген математиктер Риманның алгебралық қисықтардағы жұмысын одан әрі дамытты. Бұл теориялар Риман беттерінде анықталған функциялардың қасиеттеріне байланысты болды. Мысалы, Риман-Рох теоремасы (Рох Риманның шәкірті болды) Риман бетінің сызықтық тәуелсіз дифференциалдар саны туралы (нөлдер мен полюстердегі белгілі шарттармен) бірдеңе айтады. Детлеф Лаугвицтің айтуынша, автоморфтық функциялар алғаш рет электрлік зарядталған цилиндрлердегі Лаплас теңдеуі туралы эсседе пайда болды. Алайда Риманн мұндай функцияларды конформды бейнелеу үшін (мысалы, топологиялық үшбұрыштарды шеңберге бейнелеу) өзінің 1859 жылғы гипергеометриялық функциялар туралы лекциясында немесе минималды беттер туралы трактатында қолданды.

In his dissertation, he established a geometric foundation for complex analysis through Riemann surfaces, through which multi valued functions like the logarithm (with infinitely many sheets) or the square root (with two sheets) could become one to one functions. Complex functions are harmonic functions (that is, they satisfy Laplace's equation and thus the Cauchy–Riemann equations) on these surfaces and are described by the location of their singularities and the topology of the surfaces. The topological "genus" of the Riemann surfaces is given by , where the surface has leaves coming together at branch points. For the Riemann surface has parameters (the "moduli"). His contributions to this area are numerous. The famous Riemann mapping theorem says that a simply connected domain in the complex plane is "biholomorphically equivalent" (i. e. there is a bijection between them that is holomorphic with a holomorphic inverse) to either or to the interior of the unit circle. The generalization of the theorem to Riemann surfaces is the famous uniformization theorem, which was proved in the 19th century by Henri Poincaré and Felix Klein. Here, too, rigorous proofs were first given after the development of richer mathematical tools (in this case, topology). For the proof of the existence of functions on Riemann surfaces, he used a minimality condition, which he called the Dirichlet principle. Karl Weierstrass found a gap in the proof: Riemann had not noticed that his working assumption (that the minimum existed) might not work; the function space might not be complete, and therefore the existence of a minimum was not guaranteed. Through the work of David Hilbert in the Calculus of Variations, the Dirichlet principle was finally established. Otherwise, Weierstrass was very impressed with Riemann, especially with his theory of abelian functions. When Riemann's work appeared, Weierstrass withdrew his paper from Crelle's Journal and did not publish it. They had a good understanding when Riemann visited him in Berlin in 1859. Weierstrass encouraged his student Hermann Amandus Schwarz to find alternatives to the Dirichlet principle in complex analysis, in which he was successful. An anecdote from Arnold Sommerfeld shows the difficulties which contemporary mathematicians had with Riemann's new ideas. In 1870, Weierstrass had taken Riemann's dissertation with him on a holiday to Rigi and complained that it was hard to understand. The physicist Hermann von Helmholtz assisted him in the work overnight and returned with the comment that it was "natural" and "very understandable". Other highlights include his work on abelian functions and theta functions on Riemann surfaces. Riemann had been in a competition with Weierstrass since 1857 to solve the Jacobian inverse problems for abelian integrals, a generalization of elliptic integrals. Riemann used theta functions in several variables and reduced the problem to the determination of the zeros of these theta functions. Riemann also investigated period matrices and characterized them through the "Riemannian period relations" (symmetric, real part negative). By Ferdinand Georg Frobenius and Solomon Lefschetz the validity of this relation is equivalent with the embedding of (where is the lattice of the period matrix) in a projective space by means of theta functions. For certain values of , this is the Jacobian variety of the Riemann surface, an example of an abelian manifold. Many mathematicians such as Alfred Clebsch furthered Riemann's work on algebraic curves. These theories depended on the properties of a function defined on Riemann surfaces. For example, the Riemann–Roch theorem (Roch was a student of Riemann) says something about the number of linearly independent differentials (with known conditions on the zeros and poles) of a Riemann surface. According to Detlef Laugwitz, automorphic functions appeared for the first time in an essay about the Laplace equation on electrically charged cylinders. Riemann however used such functions for conformal maps (such as mapping topological triangles to the circle) in his 1859 lecture on hypergeometric functions or in his treatise on minimal surfaces.

Нақты талдау

Нақты талдау саласында ол өзінің хабилитациясында Риман интегралын ашты. Басқа нәрселермен қатар, ол кез келген бөліктік үздіксіз функцияның интегралданатынын көрсетті. Сол сияқты, Стильджес интегралы да Геттинген математигіне қатысты, сондықтан олар бірге Риман-Стильджес интегралы деп аталады. Фурье қатарлары бойынша хабилитациялық жұмысында ол ұстазы Дирихлеттің еңбектерін жалғастыра отырып, Риман интегралданатын функциялар Фурье қатарларымен "бейнеленетінін" көрсетті. Дирихлет бұл тұжырымды үздіксіз, бөліктік дифференциалданатын функциялар үшін дәлелдеген (яғни, санаулы көптеген дифференциалданбайтын нүктелері бар). Риман үздіксіз, дерлік еш жерде дифференциалданбайтын функцияны көрсететін Фурье қатарының мысалын келтірді, бұл жағдай Дирихлеттің қарастырмауында болған жоқ. Ол сондай-ақ Риман-Лебег леммасын дәлелдеді: егер функция Фурье қатарларымен бейнеленсе, онда Фурье коэффициенттері үлкен n-ге жеткенде нөлге жақындайды. Риманның мақаласы Георг Кантордың Фурье қатарларымен жұмысының бастапқы нүктесі болды, бұл жиын теориясының дамуына түрткіс берді. Ол 1857 жылы күрделі талдау әдістерін қолдана отырып, гипергеометриялық дифференциалдық теңдеулермен де жұмыс істеді және шешімдерді сингулярлықтардың жабық контурларының мінез-құлқы арқылы ұсынды (монодромиялық матрицамен сипатталған). Бұрын белгілі монодромиялық матрицалар арқылы мұндай дифференциалдық теңдеулердің бар екенін дәлелдеу – Гилберт проблемаларының бірі.

Сандар теориясы

Риман қазіргі заманғы аналитикалық сандар теориясына маңызды үлес қосты. Сандар теориясы тақырыбында жариялаған жалғыз қысқа мақаласында ол қазір оның атымен аталатын зетта-функцияны зерттеді және оның жай сандардың таралуын түсінудегі маңыздылығын анықтады. Риман гипотезасы – функцияның қасиеттері туралы оның жасаған жорамалдарының бірі. Риманның еңбектерінде көптеген қызықты жаңалықтар бар. Ол зетта-функциясының функционалдық теңдеуін дәлелдеді (бұл теңдеу бұрын Леонард Эйлерге белгілі болған), оның негізінде тета-функция жатыр. Бұл жуықтау функциясын 1/2 нақты бөлігі бар түзудегі тривиальды емес нөлдер бойынша қосу арқылы, ол жай сандар теоремасы бойынша Пафнутий Чебышевтің жұмысымен таныс екенін көрсететін нақты, "ашық формула" берді. Риман 1852 жылы Дирихлетке барып қайтқан.