Введение

Немецкий математик (1826–1866)

Георг Фридрих Бернхард Риманн (; 17 сентября 1826 – 20 июля 1866) был немецким математиком, внесшим глубокие и значительные contributions в анализ, теорию чисел и дифференциальную геометрию. В области математического анализа он наиболее известен первой строгой формулировкой интеграла, интеграла Римана, и его работами над рядами Фурье. Его вклад в комплексный анализ включает, в частности, введение поверхностей Римана, открывших новые горизонты в естественном геометрическом подходе к комплексному анализу. Его статья 1859 года о функции распределения простых чисел, содержащая первоначальную формулировку гипотезы Римана, считается основополагающей работой аналитической теории чисел. Благодаря своим новаторским работам в дифференциальной геометрии, Риман заложил основы математического аппарата общей теории относительности. Многие считают его одним из величайших математиков за всю историю.

Ранние годы

Риманн родился 17 сентября 1826 года в Брезеленце, деревне близ Данненберга в Королевстве Ганновер. Его отец, Фридрих Бернхард Риманн, был бедным лютеранским пастором в Брезеленце и участвовал в Наполеоновских войнах. Его мать, Шарлотта Эбелл, умерла в 1846 году. Риманн был вторым из шести детей, застенчивым и склонным к частым нервным срывам. С ранних лет он проявлял выдающиеся математические способности, в частности, к вычислениям, но страдал от робости и боязни выступать на публике.

Образование

В 1840 году Риман отправился в Ганновер, чтобы жить с бабушкой и посещать лицей, поскольку такого типа школы не было в его родной деревне. После смерти бабушки в 1842 году он перешел в Йоханнеум в Люнебурге, гимназию в Люнебурге. Там Риман интенсивно изучал Библию, но часто отвлекался на математику. Его учителя были поражены его способностью выполнять сложные математические вычисления, в которых он нередко опережал знания своих преподавателей. В 1846 году, в возрасте 19 лет, он начал изучать филологию и христианское богословие, чтобы стать пастором и помочь семье с финансами. Весной 1846 года его отец, накопив достаточно средств, отправил Римана в Геттингенский университет, где он планировал получить теологическое образование. Однако, оказавшись там, он начал изучать математику под руководством Карла Фридриха Гаусса (в частности, его лекции о методе наименьших квадратов). Гаусс рекомендовал Риману отказаться от теологических занятий и посвятить себя математике; получив согласие отца, Риман перешел в Берлинский университет в 1847 году. Во время учебы там преподавали Карл Густав Якоб Якоби, Петер Густав Лежен Дирихле, Якоб Штайнер и Готтфрид Эйзенштейн. Он пробыл в Берлине два года и вернулся в Геттинген в 1849 году.

Академия

Риманн прочитал свои первые лекции в 1854 году, заложив основы римановой геометрии и тем самым подготовив почву для общей теории относительности Альберта Эйнштейна. В 1857 году была предпринята попытка назначить Римана экстраординарным профессором в Геттингенском университете. Хотя эта попытка не увенчалась успехом, она привела к тому, что Риманну была назначена регулярная заработная плата. В 1859 году, после смерти Дирихле (который занимал кафедру Гаусса в Геттингенском университете), Риманн был назначен заведующим кафедрой математики Геттингенского университета. Он также первым предложил использовать измерения, превышающие три или четыре, для описания физической реальности.

Протестантская семья и смерть в Италии

Риман бежал из Геттингена, когда армии Ганновера и Пруссии столкнулись там в 1866 году. Он умер от туберкулеза во время своей третьей поездки в Италию, в Селаске (ныне хутор Вербании на озере Маджоре), где и был похоронен на кладбище в Биганзоло (Вербания). Риман был преданным христианином, сыном протестантского пастора, и рассматривал свою жизнь математика как еще один способ служить Богу. На протяжении всей жизни он твердо придерживался христианской веры и считал ее самым важным в своей жизни. В момент смерти он вместе с женой читал молитву «Отче наш» и скончался, не закончив ее. Тем временем в Геттингене его экономка выбросила часть бумаг из его кабинета, включая множество неопубликованных работ. Риман не публиковал незавершенные работы, и некоторые глубокие идеи могли быть навсегда утрачены.

Риманновская геометрия

Публикуемые работы Римана открыли исследовательские области, сочетающие анализ с геометрией. Впоследствии они стали основными частями теорий римановой геометрии, алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий. Теория поверхностей Римана была разработана Феликсом Клейном и особенно Адольфом Хурвицем. Эта область математики является частью основания топологии и до сих пор находит новые применения в математической физике. В 1853 году Гаусс попросил своего ученика Римана подготовить диссертацию на тему основ геометрии (Habilitationsschrift). В течение многих месяцев Риман разрабатывал свою теорию высших измерений и в 1854 году прочитал лекцию в Геттингене под названием «Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen». Она была опубликована лишь спустя двенадцать лет, в 1868 году, Дедекиндом, через два года после смерти Римана. Первоначальное восприятие работы, по-видимому, было медленным, но сейчас она признана одним из важнейших трудов по геометрии. Риманова геометрия – это предмет, основанный этой работой. Риман нашел верный способ обобщить дифференциальную геометрию поверхностей на n измерений, которую сам Гаусс доказал в своей теореме egregium. Основными объектами являются риманова метрика и тензор кривизны Римана. Для случая поверхности (двухмерного пространства) кривизна в каждой точке может быть сведена к числу (скаляру), при этом поверхности с постоянной положительной или отрицательной кривизной служат моделями неевклидовых геометрий. Риманова метрика – это набор чисел в каждой точке пространства (то есть тензор), позволяющий измерять скорость вдоль любой траектории, а интеграл от этой скорости дает расстояние между конечными точками траектории. Например, Риман обнаружил, что в четырех пространственных измерениях для описания расстояний и кривизны на многообразии, независимо от степени его искажения, требуется десять чисел в каждой точке.

Комплексный анализ

В своей диссертации он заложил геометрические основы комплексного анализа посредством поверхностей Римана, благодаря которым многозначные функции, такие как логарифм (с бесконечным числом листов) или квадратный корень (с двумя листами), могли стать однозначными функциями. Комплексные функции являются гармоническими функциями (то есть удовлетворяют уравнению Лапласа и, следовательно, уравнениям Коши — Римана) на этих поверхностях и описываются расположением их сингулярностей и топологией поверхностей. Топологический «род» поверхностей Римана задается формулой , где поверхность имеет листы, соединяющиеся в точках ветвления. Для поверхности Римана имеется параметров («модулей»). Его вклад в эту область огромен. Знаменитая теорема Римана об отображении утверждает, что просто связная область на комплексной плоскости «биголоморфно эквивалентна» (то есть существует биекция между ними, которая голоморфна и имеет голоморфное обратное отображение) либо плоскости с удаленной точкой, либо внутренней области единичного круга. Обобщением этой теоремы на поверхности Римана является знаменитая теорема об униформизации, доказанная в XIX веке Анри Пуанкаре и Феликсом Клейном. Здесь же строгие доказательства были впервые получены после разработки более мощных математических инструментов (в данном случае, топологии). Для доказательства существования функций на поверхностях Римана он использовал условие минимальности, которое назвал принципом Дирихле. Карл Вейерштрасс обнаружил пробел в доказательстве: Риман не заметил, что его рабочее предположение (о существовании минимума) может оказаться неверным; пространство функций может быть неполным, и, следовательно, существование минимума не гарантировано. Благодаря работам Давида Гильберта в вариационном исчислении принцип Дирихле был окончательно обоснован. В противном случае Вейерштрасс был очень впечатлен Риманом, особенно его теорией абелевых функций. Когда работа Римана была опубликована, Вейерштрасс отозвал свою статью из журнала Crelle's Journal и не опубликовал ее. Они хорошо понимали друг друга, когда Риман посетил его в Берлине в 1859 году. Вейерштрасс поощрял своего ученика Германна Амандуса Шварца искать альтернативы принципу Дирихле в комплексном анализе, что ему и удалось. Анекдот Арнольда Зоммерфельда показывает, с какими трудностями сталкивались современники при освоении новых идей Римана. В 1870 году Вейерштрасс взял с собой диссертацию Римана в отпуск в Риги и жаловался, что ее трудно понять. Физик Герман фон Гельмгольц помог ему в работе за ночь и вернулся с комментарием, что она была «естественной» и «очень понятной». Среди других его работ — исследования абелевых функций и тета-функций на поверхностях Римана. С 1857 года Риман соперничал с Вейерштрассом в решении обратных задач Якоби для абелевых интегралов, являющихся обобщением эллиптических интегралов. Риман использовал тета-функции многих переменных и свел задачу к определению нулей этих тета-функций. Риман также исследовал матрицы периодов и характеризовал их посредством «соотношений периодов Римана» (симметричных, с отрицательной действительной частью). Фердинанд Георг Фробениус и Соломон Лефшец показали, что справедливость этого соотношения эквивалентна вложению решетки матрицы периодов в проективное пространство посредством тета-функций. При определенных значениях это является якобиевым многообразием поверхности Римана, примером абелева многообразия. Многие математики, такие как Альфред Клебш, развивали работы Римана по алгебраическим кривым. Эти теории зависели от свойств функции, определенной на поверхностях Римана. Например, теорема Римана — Роха (Рох был учеником Римана) утверждает нечто о числе линейно независимых дифференциалов (с известными условиями на нулях и полюсах) поверхности Римана. По словам Детлефа Лаугвица, автоморфные функции впервые появились в эссе об уравнении Лапласа на электрически заряженных цилиндрах. Однако Риман использовал такие функции для конформных отображений (например, отображения топологических треугольников на окружность) в своей лекции 1859 года о гипергеометрических функциях или в своем трактате о минимальных поверхностях.

Реальный анализ

В области вещественного анализа он открыл интеграл Римана в своей диссертации на степень хабилитации. В частности, он показал, что любая кусочно-непрерывная функция интегрируема. Аналогично, интеграл Стильтьеса также восходит к этому гёттингенскому математику, и поэтому они вместе называются интегралом Римана — Стильтьеса. В своей работе по рядам Фурье, где он развивал идеи своего учителя Дирихле, он показал, что функции, интегрируемые по Риману, "представимы" в виде ряда Фурье. Дирихле доказал это для непрерывных, кусочно-дифференцируемых функций (то есть с исчислимым числом точек недифференцируемости). Риман привел пример ряда Фурье, представляющего непрерывную функцию, почти всюду недифференцируемую, случай, не охваченный теоремой Дирихле. Он также доказал лемму Римана — Лебега: если функция представима в виде ряда Фурье, то коэффициенты Фурье стремятся к нулю при больших n.

Диссертация Римана также послужила отправной точкой для работы Георга Кантора с рядами Фурье, которая стала импульсом для развития теории множеств. Он также занимался гипергеометрическими дифференциальными уравнениями в 1857 году, используя методы комплексного анализа, и представил решения через поведение замкнутых контуров вокруг особых точек (описываемое матрицей монодромии). Доказательство существования таких дифференциальных уравнений с помощью ранее известных матриц монодромии является одной из проблем Гильберта.

Теория чисел

Риман внес значительный вклад в современную аналитическую теорию чисел. В одной короткой статье, единственной, посвященной им теории чисел, он исследовал дзета-функцию, впоследствии названную его именем, и установил ее важность для понимания распределения простых чисел. Гипотеза Римана была одним из ряда предположений, которые он выдвинул относительно свойств этой функции. В работах Римана содержится множество интересных результатов. Он доказал функциональное уравнение для дзета-функции (уже известное Леонарду Эйлеру), в основе которого лежит тета-функция. Путем суммирования этой аппроксимирующей функции по нетривиальным нулям на прямой с действительной частью 1/2, он получил точную, "явную формулу" для… Риман был знаком с работами Пафнутия Чебышева по теореме о простых числах. Он посетил Дирихле в 1852 году.