Введение
Система музыкальной настройки с постоянными соотношениями между нотами
Равный темперамент — это музыкальный темперамент или система настройки, которая аппроксимирует чистые интервалы, разделяя октаву (или другой интервал) на шаги, так что отношение частот любой смежной пары нот одинаково. Эта система создает шаги высоты тона, воспринимаемые как равные по величине, из-за логарифмических изменений частоты. В классической музыке и западной музыке в целом наиболее распространенной системой настройки с XVIII века является 12-тоновый равный темперамент (также известный как 12-тоновый равный темперамент или, неформально, 12-равный), который делит октаву на 12 равных частей, все из которых равнозначны в логарифмическом масштабе, с отношением, равным 12-му корню из 2 (≈ 1.05946). Полученный в результате наименьший интервал, ширина полутона, называется полутоном или полушагом. В западных странах термин «равный темперамент» без дополнительных уточнений обычно подразумевает, что в современном мире настройка чаще всего производится относительно стандартной частоты 440 Гц, называемой A 440, что означает, что одна нота, , настраивается на 440 Герц, а все остальные ноты определяются как кратное число полутонов выше или ниже этой частоты. Стандартная частота звука не всегда составляла 440 Гц; она значительно менялась и, как правило, повышалась на протяжении последних нескольких сотен лет. Другие равные темпераменты делят октаву по-разному. Например, некоторые музыкальные произведения были написаны в и , а арабская тональная система использует.
In modern times, is usually tuned relative to a standard pitch of 440 Hz, called A 440, meaning one note, , is tuned to 440 hertz and all other notes are defined as some multiple of semitones away from it, either higher or lower in frequency. The standard pitch has not always been 440 Hz; it has varied considerably and generally risen over the past few hundred years. Other equal temperaments divide the octave differently. For example, some music has been written in and , while the Arab tone system uses
Вместо деления октавы равный темперамент может также делить другой интервал, например, равный темперамент версии шкалы Болена — Пирса, которая делит чистый интервал октавы и квинты (отношение 3:1), называемый «тритавой» или «псевдооктавой» в этой системе, на 13 равных частей. Для систем настройки, которые делят октаву поровну, но не являются аппроксимацией чистых интервалов, можно использовать термин «равное деление октавы» или . Неладовые струнные ансамбли, которые могут регулировать настройку всех нот, кроме открытых струн, и вокальные группы, не имеющие механических ограничений настройки, иногда используют настройку, гораздо более близкую к чистой интонации, по акустическим причинам. Другие инструменты, такие как некоторые духовые, клавишные и ладовые инструменты, часто лишь приближенно соответствуют равному темпераменту, поскольку технические ограничения препятствуют точной настройке. Некоторые духовые инструменты, которые могут легко и спонтанно изменять высоту тона, особенно тромбоны, используют настройку, аналогичную настройке струнных ансамблей и вокальных групп.
Общие свойства
В равном темперировании расстояние между двумя соседними ступенями шкалы представляет собой одинаковый интервал. Поскольку воспринимаемая идентичность интервала зависит от его отношения, эта шкала с равными шагами является геометрической прогрессией умножений. (Арифметическая прогрессия интервалов не будет звучать равномерно и не позволит транспонировать их в разные тональности.) В частности, наименьший интервал в равнотемперированной шкале – это отношение: где отношение r делит отношение p (обычно октаву, которая равна 2:1) на n равных частей. (См. раздел «Двенадцать тонов равного темперамента» ниже.) Шкалы часто измеряются в центах, которые делят октаву на 1200 равных интервалов (каждый из которых называется центом). Эта логарифмическая шкала облегчает сравнение различных систем настройки, чем сравнение отношений, и широко используется в этномузыкологии. Основной шаг в центах для любого равного темперамента можно найти, взяв ширину p, указанную выше, в центах (обычно октаву, ширина которой составляет 1200 центов), обозначенную ниже как w, и разделив ее на n частей:
where the ratio r divides the ratio p (typically the octave, which is 2:1) into n equal parts. (See Twelve tone equal temperament below.) Scales are often measured in cents, which divide the octave into 1200 equal intervals (each called a cent). This logarithmic scale makes comparison of different tuning systems easier than comparing ratios, and has considerable use in ethnomusicology. The basic step in cents for any equal temperament can be found by taking the width of p above in cents (usually the octave, which is 1200 cents wide), called below w, and dividing it into n parts:
In musical analysis, material belonging to an equal temperament is often given an integer notation, meaning a single integer is used to represent each pitch. This simplifies and generalizes discussion of pitch material within the temperament in the same way that taking the logarithm of a multiplication reduces it to addition. Furthermore, by applying the modular arithmetic where the modulus is the number of divisions of the octave (usually 12), these integers can be reduced to pitch classes, which removes the distinction (or acknowledges the similarity) between pitches of the same name, e. g., c is 0 regardless of octave register. The MIDI encoding standard uses integer note designations.
В музыкальном анализе материалу, относящемуся к равному темпераменту, часто присваивается целочисленное обозначение, то есть для представления каждой высоты используется одно целое число. Это упрощает и обобщает обсуждение высотного материала в рамках темперамента, подобно тому, как взятие логарифма произведения сводится к сложению. Кроме того, применяя модульную арифметику, где модуль равен количеству делений октавы (обычно 12), эти целые числа можно свести к классам высоты, что устраняет различие (или признает сходство) между высотами с одинаковым названием, например, до (c) = 0 независимо от октавного регистра. Стандарт кодирования MIDI использует целочисленные обозначения нот.
where the ratio r divides the ratio p (typically the octave, which is 2:1) into n equal parts. (See Twelve tone equal temperament below.) Scales are often measured in cents, which divide the octave into 1200 equal intervals (each called a cent). This logarithmic scale makes comparison of different tuning systems easier than comparing ratios, and has considerable use in ethnomusicology. The basic step in cents for any equal temperament can be found by taking the width of p above in cents (usually the octave, which is 1200 cents wide), called below w, and dividing it into n parts:
In musical analysis, material belonging to an equal temperament is often given an integer notation, meaning a single integer is used to represent each pitch. This simplifies and generalizes discussion of pitch material within the temperament in the same way that taking the logarithm of a multiplication reduces it to addition. Furthermore, by applying the modular arithmetic where the modulus is the number of divisions of the octave (usually 12), these integers can be reduced to pitch classes, which removes the distinction (or acknowledges the similarity) between pitches of the same name, e. g., c is 0 regardless of octave register. The MIDI encoding standard uses integer note designations.
Двенадцатитонный равномерный темперамент
12-тоновая равная темперация, которая делит октаву на 12 равновеликих интервалов, является наиболее широко используемой музыкальной системой в настоящее время, особенно в западной музыке.
История
Две фигуры, которым часто приписывают точный расчет равного темперамента, – это Чжу Цзайю (также транскрибируется как Чу Цайю. Китайский: 朱載堉) в 1584 году и Симон Стевин в 1585 году. По мнению Ф. А. Каттнера, критикующего приписывание заслуг Чжу, Кеннет Робинсон считает, что Чжу изобрел равный темперамент, и приводит текстовые цитаты в качестве доказательства. В 1584 году Чжу написал: «Я создал новую систему. Я определяю одну единицу как число, от которого следует выводить остальные, и, используя пропорции, я их вычисляю. В целом, необходимо точно определить значения высоты тона для двенадцати полутонов». Каттнер полагает, что ни Чжу, ни Стевин не достигли равного темперамента и ни один из них не должен считаться его изобретателем.
Kenneth Robinson credits the invention of equal temperament to Zhu and provides textual quotations as evidence. In 1584 Zhu wrote:
I have founded a new system. I establish one foot as the number from which the others are to be extracted, and using proportions I extract them. Altogether one has to find the exact figures for the pitch pipers in twelve operations. Kuttner proposes that neither Zhu nor Stevin achieved equal temperament and that neither should be considered its inventor.
Китай
Китайские теоретики ранее предлагали приближенные значения для , но Чжу был первым, кто математически решил задачу 12-тоновой равной темперации, которую он описал в двух книгах, опубликованных в 1580 и 1584 годах. Нидхэм также приводит подробное описание. Чжу получил свой результат, последовательно деля длину струны и трубы на и длину трубы на , таким образом, чтобы после 12 делений (октавы) длина уменьшилась вдвое. Чжу создал несколько инструментов, настроенных в соответствии с его системой, включая бамбуковые флейты.
Европа
Первыми европейцами, которые стали сторонниками равного темперамента, были лютнисты Винченцо Галилей, Джакомо Горзанис и Франческо Спиначино, все они писали музыку в этом строе. Саймон Стевин первым разработал двенадцатитоновый строй, основанный на двенадцатом корне из двух, который он описал в трактате «van de Spiegheling der singconst» (ок. 1605), опубликованном посмертно в 1884 году. Исполнители на щипковых инструментах (лютнисты и гитаристы) в целом отдавали предпочтение равному темпераменту, в то время как другие придерживались разных точек зрения. В конечном итоге, двенадцатитоновый равный темперамент одержал победу. Это позволило развиваться и процветать энармонической модуляции, новым стилям симметричной тональности и политональности, атональной музыке, такой как музыка, написанная с использованием двенадцатитоновой техники или сериализма, а также джазу (по крайней мере, его фортепианному компоненту).
Математика
В 12-тоновой равной темперации, которая делит октаву на 12 равных частей, ширина полутона, то есть частотное отношение интервала между двумя соседними нотами, равна двенадцатому корню из двух:
Этот интервал делится на 100 центов.
Семитонное равное деление пятой
Скрипки, альты и виолончели настроены в чистых квинтах (для скрипок и для альтов и виолончелей), что указывает на то, что их полутоновое отношение немного выше, чем в стандартном двенадцатитоновом равном темпераменте. Поскольку чистая квинта имеет отношение 3:2 к основному тону, а этот интервал состоит из семи шагов, каждый тон относится к следующему как (100,28 центов), что обеспечивает чистую квинту с отношением 3:2, но слегка расширенную октаву с отношением ≈ 517:258 или ≈ 2,00388:1 вместо обычного 2:1, поскольку 12 чистых квинт не равны семи октавам. Однако при игре скрипачи выбирают высоту звука на слух, и только четыре открытых струны гарантированно демонстрируют это отношение 3:2.
Пяти-, семи- и девятитонные темпераменты в этномузыкологии
Пять и семь тонов с равным темпераментом (и ), с шагами в 240 центов и 171 цент соответственно, встречаются довольно часто. и обозначают границы допустимого диапазона настройки синтонического строя, как показано на рисунке 1. При значении закаленная идеальная квинта имеет ширину 720 центов (в верхней части континуума настройки) и указывает на предел континуума, при котором ширина малой секунды уменьшается до 0 центов. При значении закаленная идеальная квинта имеет ширину 686 центов (в нижней части континуума настройки) и указывает на предел континуума, при котором малая секунда расширяется до ширины большой секунды (по 171 центу каждая).
5 тон и 9 тонов равной температуры
Согласно Кунсту (1949), индонезийские гамеланы настроены определенным образом, но согласно Худу (1966) и Макфи (1966) их настройка значительно различается, а согласно Тензеру (2000) в них используются растянутые октавы. В настоящее время общепринято, что из двух основных систем настройки в музыке гамелана – слендро и пелога – лишь слендро в некоторой степени напоминает пятитоновый равный темперамент, в то время как пелог характеризуется высокой неравномерностью; однако в 1972 году Сурджодининграт, Сударьяна и Сусанто проанализировали пелог как эквивалент 9 равных полутонов (133 центовых шага).
7-тонный равномерный темперамент
Тайский ксилофон, измеренный Мортоном в 1974 году, "отклонялся не более чем на 5 центов" от… По словам Мортона, "тайские инструменты с фиксированной высотой звука настроены в равноотстоящей системе, состоящей из семи тонов в октаве. Однако, как и в западной традиционной музыке, не все тона системы настройки используются в одном ладу (часто называемом 'гаммой'); в тайской системе пять из семи тонов используются в качестве основных в любом ладу, тем самым формируя структуру неравноотстоящих интервалов для данного лада". Южноамериканская индейская гамма из доинструментальной культуры, измеренная Бойлсом в 1969 году, имела семитоновую равную температуру в 175 центов, что немного расширяет октаву, как и в инструментальной музыке гамелан. Китайская музыка традиционно использует .
"Thai instruments of fixed pitch are tuned to an equidistant system of seven pitches per octave As in Western traditional music, however, all pitches of the tuning system are not used in one mode (often referred to as 'scale'); in the Thai system five of the seven are used in principal pitches in any mode, thus establishing a pattern of nonequidistant intervals for the mode." A South American Indian scale from a pre instrumental culture measured by Boiles in 1969 featured 175 cent seven tone equal temperament, which stretches the octave slightly, as with instrumental gamelan music. Chinese music has traditionally used .
Разнообразные равные темпераменты
19 EDO Многие инструменты были построены с использованием настройки 19 EDO. Эквивалент мейтону, он имеет несколько более плоскую идеальную пятую (695 центов), но его минорная терция и большая секста отклоняются от справедливой менее чем на одну пятую цента, при этом 232 EDO является наименьшим EDO, дающим лучшую минорную терцию и большую сексту, чем 19 EDO. Его идеальная кварта (505 центов) на семь центов острее, чем в справедливой интонации, и на пять центов острее, чем в 12 EDO. 23 EDO 23 EDO – это наибольший EDO, который не приближает 3-ю, 5-ю, 7-ю и 11-ю гармоники (3:2, 5:4, 7:4, 11:8) в пределах 20 центов. Однако он очень хорошо приближает соотношения между ними (включая справедливо настроенную минорную терцию 6/5), что делает его привлекательным для микротональных композиторов, ищущих необычные гармонические области. 24 EDO 24 EDO, четвертьтоновая шкала, особенно популярна, поскольку представляет собой удобную отправную точку для композиторов, привыкших к стандартной западной высоте и нотации 12 EDO, и интересующихся микротональностью. Поскольку 24 EDO содержит все высоты 12 EDO, музыканты используют дополнительные оттенки, не теряя никаких тактик, доступных в 12-тоновой гармонии. Тот факт, что 24 является кратным 12, также облегчает реализацию 24 EDO на инструментах, используя два традиционных инструмента 12 EDO, настроенных на четверть тона друг от друга, например, два фортепиано, что также позволяет каждому исполнителю (или одному исполнителю, играющему на разных фортепиано каждой рукой) читать знакомую 12-тоновую нотацию. Различные композиторы, включая Чарльза Айвза, экспериментировали с музыкой для четвертьтоновых фортепиано. 24 EDO также очень хорошо приближает 11-ю и 13-ю гармоники, в отличие от 12 EDO. 26 EDO 26 – это наименьшее число равных делений октавы, которое почти точно настраивает 7-ю гармонику (7:4). Хотя это и мейтоновый темперамент, он очень плоский, с четырьмя его идеальными квинтами, дающими нейтральную терцию, а не большую. 26 EDO имеет две минорные терции и две минорные сексты и может быть альтернативным темпераментом для гармонии в стиле барбершоп. 27 EDO 27 – это наименьшее число равных делений октавы, которое однозначно представляет все интервалы, включающие первые восемь гармоник. Он подавляет септимальную запятую, но не синтоническую. 29 EDO 29 – это наименьшее число равных делений октавы, чья идеальная квинта ближе к справедливой, чем в 12 EDO, где квинта на 1,5 цента острая вместо 2 центов плоская. Его классическая большая терция примерно так же неточна, как в 12 EDO, но настроена на 14 центов плоской, а не на 14 центов острой. Он также настраивает 7-ю, 11-ю и 13-ю гармоники на плоскую, примерно на ту же величину, что позволяет 29 EDO очень точно соответствовать интервалам, таким как 7:5, 11:7 и 13:11. Если все 29 интервалов разделить пополам, получится 58 EDO, что позволяет снизить погрешность для некоторых справедливых тонов. 31 EDO 31 EDO был предложен Кристианом Гюйгенсом и Адрианом Фоккером и представляет собой стандартизацию четвертькомма-мейтона. 31 EDO не имеет такой точной квинты, как 12 EDO (как и 19 EDO), но его большие терции и минорные сексты отклоняются от справедливой менее чем на 1 цент. Он также обеспечивает хорошее соответствие гармоникам до 11, из которых седьмая гармоника особенно точна. 34 EDO 34 EDO дает немного меньшую общую суммарную погрешность приближения к 3:2, 5:4, 6:5 и их обращениям, чем 31 EDO, несмотря на немного менее точное соответствие для 5:4. 34 EDO не точно приближает седьмую гармонику или соотношения, включающие 7, и не является мейтоном, поскольку его квинта острая, а не плоская. Он обеспечивает тритон в 600 центов, поскольку 34 – четное число. 41 EDO 41 – это второе наименьшее число равных делений октавы с лучшей идеальной квинтой, чем в 12 EDO. Его классическая большая терция более точна, чем в 12 EDO и 29 EDO, на шесть центов плоская. Это не мейтон, поэтому он различает 10:9 и 9:8, а также классические и пифагорейские большие терции, в отличие от 31 EDO. Он более точен в пределе 13, чем 31 EDO. 46 EDO 46 EDO обеспечивает большие терции и идеальные квинты, которые оба немного острые, и многие считают, что это придает основным трезвучиям характерный яркий звук. Гармоники до 11 находятся в пределах 5 центов точности, а 10:9 и 9:5 находятся в одной пятой цента от чистого. Поскольку это не система мейтона, она различает 10:9 и 9:8. 53 EDO 53 EDO использовался лишь изредка, но лучше приближает традиционные справедливые консонансы, чем 12, 19 или 31 EDO. Его чрезвычайно точные квинты делают его эквивалентным расширенной пифагорейской настройке, и он иногда используется в турецкой теории музыки. Однако он не соответствует техническим требованиям мейтонных темпераментов, которые обеспечивают легкий доступ к хорошим терциям через цикл квинт. В 53 EDO очень консонантные терции достигаются путем использования пифагорейской уменьшенной кварты (C F), поскольку это пример шизматического темперамента, как и 41 EDO. 58 EDO 58 равный темперамент является дублированием 29 EDO, который он содержит как встроенный темперамент. Как и 29 EDO, он может точно соответствовать интервалам, таким как 7:4, 7:5, 11:7 и 13:11, а также лучше приближать справедливые терции и сексты. 72 EDO 72 EDO хорошо приближает многие интервалы справедливой интонации, обеспечивая почти справедливые эквиваленты 3-й, 5-й, 7-й и 11-й гармоникам. 72 EDO был преподаван, написан и исполнен на практике Джо Манери и его учениками (чьи атональные наклонности обычно избегают каких-либо ссылок на справедливую интонацию). Его можно рассматривать как расширение 12 EDO, поскольку 72 является кратным 12. 72 EDO не точно приближает 13-ю гармонику или большинство простых соотношений, включающих 13. Он содержит шесть копий 12 EDO, начинающихся с разных высот, три копии 24 EDO и две копии 36 EDO, которые сами являются кратными 12. 96 EDO 96 EDO приближает все интервалы в пределах 6,25 центов, что едва различимо. Как восьмеричное кратное 12, его можно использовать в полной мере, как и обычный 12 EDO. Его пропагандировали несколько композиторов, особенно Хулиан Каррильо. Другие равные деления октавы, которые нашли случайное применение, включают 15 EDO, 17 EDO и 22 EDO. 2, 5, 12, 41, 53, 306, 665 и 15601 являются знаменателями первых сходящихся лог(3), поэтому 12-е (и квинты) 2, 5, 12, 41, 53, 306, 665 и 15601, будучи в соответствующих равных темпераментах, равных целому числу октав, являются лучшими приближениями справедливых 12-х/5-х, чем в любом равном темпераменте с меньшим количеством тонов. 1, 2, 3, 5, 7, 12, 29, 41, 53, 200 – это последовательность делений октавы, которые обеспечивают все лучшие и лучшие приближения идеальной квинты. Связанные последовательности, содержащие деления, приближающие другие справедливые интервалы, перечислены в сноске.
Равные темпераменты неоктавных интервалов
Равномерно темперированная версия шкалы Болена — Пирса состоит из отношения 3:1 (1902 цента), что обычно соответствует идеальной квинте плюс октаве (то есть идеальной двенадцатой), называемой в этой теории тритавой, и разделенной на 13 равных частей. Это обеспечивает очень близкое соответствие справедливо настроенным отношениям, состоящим только из нечетных чисел. Каждый шаг составляет 146,3 цента, или…
Уэнди Карлос создала три необычных равных темперамента после тщательного изучения свойств возможных темпераментов с размером шага от 30 до 120 центов. Они были названы альфа, бета и гамма. Их можно рассматривать как равное деление идеальной квинты. Каждый из них обеспечивает очень хорошее приближение нескольких справедливых интервалов. Размеры шагов:
альфа: (78,0 центов)
бета: (63,8 центов)
гамма: (35,1 центов)
Альфа и бета можно услышать на заглавной композиции альбома Карлос 1986 года «Красота в звере».
Wendy Carlos created three unusual equal temperaments after a thorough study of the properties of possible temperaments with step size between 30 and 120 cents. These were called alpha, beta, and gamma. They can be considered equal divisions of the perfect fifth. Each of them provides a very good approximation of several just intervals. Their step sizes:
alpha: (78.0 cents)
beta: (63.8 cents)
gamma: (35.1 cents)
Alpha and beta may be heard on the title track of Carlos's 1986 album Beauty in the Beast.
Пропорции между полутоном и целым тоном
В этом разделе полутон и целый тон могут не иметь своих обычных значений в 12-тоновой равной темперации, поскольку в нем обсуждается, как они могут быть настроены различными способами, отличными от их чистых значений, для получения желаемых соотношений. Пусть число шагов в полутоне будет s, а число шагов в тоне – t.
Существует ровно одна семья равных темпераций, которая фиксирует полутон как любую собственную дробь целого тона, сохраняя при этом порядок нот (то есть, например, , , , и находятся в восходящем порядке, если они сохраняют свои обычные отношения к ). Иными словами, фиксация q как собственной дроби в соотношении также определяет уникальную семью одной равной темперации и ее кратных, удовлетворяющих этому соотношению. Например, где k – целое число, определяет , определяет и определяет . Наименьшие кратные в этих семьях (например, 12, 19 и 31, указанные выше) обладают дополнительным свойством – отсутствие нот за пределами круга квинт. (Это не всегда верно; в 24 полутоны и полуплоские не входят в круг квинт, генерируемый, начиная с ). Предельными случаями являются , когда и полутон становится унисоном, и , когда и полутон и тон представляют собой один и тот же интервал. Как только известно, сколько шагов составляют полутон и тон в данной равной темперации, можно определить количество шагов в октаве. Равная темперация с вышеуказанными свойствами (включая отсутствие нот за пределами круга квинт) делит октаву на , а чистую квинту на . Если есть ноты за пределами круга квинт, то эти результаты необходимо умножить на n – количество неперекрывающихся кругов квинт, необходимых для генерации всех нот (например, два в 24, шесть в 72). (Для этого необходимо брать малый полутон: 19 имеет два полутона, один из которых равен тону, а другой – тону. Аналогично, 31 имеет два полутона, один из которых равен тону, а другой – тону). Наименьшая из этих семей – , и в частности, 12 – наименьшая равная темперация с вышеуказанными свойствами. Кроме того, она делает полутон ровно половиной целого тона, что является самым простым возможным соотношением. Это лишь некоторые из причин, по которым 12 стала наиболее распространенной равной темперацией. (Другая причина заключается в том, что 12-тоновая равная темперация является наименьшей, которая достаточно точно аппроксимирует 5-предельную гармонию, следующей по величине является 19-тоновая равная темперация). Каждый выбор дроби q для соотношения приводит ровно к одному семейству равных темпераций, но обратное неверно: 47 имеет два различных полутона, один из которых равен тону, а другой – , которые не являются дополнениями друг друга, как в 19 (и ). Выбор каждого полутона приводит к выбору различной чистой квинты.
Регулярные диатонические настройки
Диатоническая настройка в 12-тоновом равнотемпераменте может быть обобщена на любую регулярную диатоническую настройку, разделяющую октаву как последовательность шагов (или некоторое круговое смещение или "вращение" этой последовательности). Чтобы считаться регулярной диатонической настройкой, каждый из двух полутонов (s) должен быть меньше любого из тонов (большого тона, T, и малого тона, t). Запятая κ неявно выражает соотношение размеров между большим и малым тонами: выражается в частотах или центах. Ноты в регулярной диатонической настройке связаны в "спирали квинт", которая не замыкается (в отличие от круга квинт в). Начиная с субдоминанты (в тональности До) следуют три подряд совершенных квинт – – и – – каждая из которых состоит из некоторой перестановки меньших интервалов. Эти три стройные квинты прерываются пониженной квинтой – (пониженная означает "на запятую ниже"), за которой следует другая совершенная квинта – и еще одна пониженная квинта – , а затем цикл возобновляется на диезах с – ; та же схема повторяется через диезы, затем двойные диезы и так далее, бесконечно. Однако каждая октава всех натуральных, всех диезных или всех двойных диезных нот понижается на две запятые при каждом переходе от натуральных к диезным, или от одинарных диезов к двойным диезам и т.д. Эта закономерность также обладает обратной симметрией в бемолях: при движении вниз по квартам закономерность взаимно повышает ноты на две запятые при каждом переходе от натуральных нот к бемольным, или от бемолей к двойным бемолям и т.д. Если оставить без изменений, две пониженные квинты в каждом блоке натуральных, диезных или бемольных нот являются "волчьими" интервалами: каждая из пониженных квинт расстроена на диатоническую запятую. Поскольку запятая κ расширяет малый тон до большого, чистая октава может быть разбита на последовательность (или круговое смещение этой последовательности) диатонических полутонов s, хроматических полутонов c и запятых. Различные равные темперации изменяют размеры интервалов, обычно разделяя три запятые, а затем перераспределяя их части между семью диатоническими полутонами s, или пятью хроматическими полутонами c, или и s, и c, с некоторой фиксированной пропорцией для каждого типа полутона. Последовательность интервалов s, c и κ может быть многократно присоединена к себе, образуя большую спираль из 12 квинт, и соединена на ее дальних концах путем незначительных корректировок размера одного или нескольких интервалов, или оставлена без изменений с случайными неидеальными квинтами, пониженными на запятую.
The notes in a regular diatonic tuning are connected in a "spiral of fifths" that does not close (unlike the circle of fifths in Starting on the subdominant (in the key of C) there are three perfect fifths in a row—–, –, and –—each a composite of some permutation of the smaller intervals The three in tune fifths are interrupted by the grave fifth – (grave means "flat by a comma"), followed by another perfect fifth, –, and another grave fifth, –, and then restarting in the sharps with –; the same pattern repeats through the sharp notes, then the double sharps, and so on, indefinitely. But each octave of all natural or all sharp or all double sharp notes flattens by two commas with every transition from naturals to sharps, or single sharps to double sharps, etc. The pattern is also reverse symmetric in the flats: Descending by fourths the pattern reciprocally sharpens notes by two commas with every transition from natural notes to flattened notes, or flats to double flats, etc. If left unmodified, the two grave fifths in each block of all natural notes, or all sharps, or all flat notes, are "wolf" intervals: Each of the grave fifths out of tune by a diatonic comma. Since the comma, κ, expands the lesser tone into the greater tone, a just octave can be broken up into a sequence (or a circular shift of it) of diatonic semitones s, chromatic semitones c, and commas Various equal temperaments alter the interval sizes, usually breaking apart the three commas and then redistributing their parts into the seven diatonic semitones s, or into the five chromatic semitones c, or into both s and c, with some fixed proportion for each type of semitone. The sequence of intervals s, c, and κ can be repeatedly appended to itself into a greater spiral of 12 fifths, and made to connect at its far ends by slight adjustments to the size of one or several of the intervals, or left unmodified with occasional less than perfect fifths, flat by a comma.
Морфирование диатонических настройки в EDO
Равный темперамент может быть создан, если размеры больших и малых тонов (Т, t) изменить так, чтобы они были одинаковы (например, установив , при этом остальные расширить, чтобы все еще заполнить октаву), и оба полутона (s и c) стали одинакового размера, тогда получится двенадцать равных полутонов, по два на тон. В [[12-тоновом равном темпераменте]] полутон s равен ровно половине размера целых тонов одинакового размера T = t.
Some of the intermediate sizes of tones and semitones can also be generated in equal temperament systems, by modifying the sizes of the comma and semitones. One obtains in the limit as the size of c and κ tend to zero, with the octave kept fixed, and in the limit as s and κ tend to zero; is of course, the case and For instance:
and There are two extreme cases that bracket this framework: When s and κ reduce to zero with the octave size kept fixed, the result is a 5 tone equal temperament. As the s gets larger (and absorbs the space formerly used for the comma κ), eventually the steps are all the same size, and the result is seven tone equal temperament. These two extremes are not included as "regular" diatonic tunings. If the diatonic semitone is set double the size of the chromatic semitone, i. e. (in cents) and the result is with one step for the chromatic semitone c, two steps for the diatonic semitone s, three steps for the tones T = t, and the total number of steps 19 steps. The imbedded 12 tone sub system closely approximates the historically important meantone system. If the chromatic semitone is two thirds the size of the diatonic semitone, i. e. with the result is 31 , with two steps for the chromatic semitone, three steps for the diatonic semitone, and five steps for the tone, where 31 steps. The imbedded 12 tone sub system closely approximates the historically important meantone. If the chromatic semitone is made the same size as three commas, (in cents, in frequency ) the diatonic the same as five commas, that makes the lesser tone eight commas and the greater tone nine, Hence for 53 steps of one comma each. The comma size / step size is exactly, or the syntonic comma. It is an exceedingly close approximation to just intonation, and is still in use for classical Turkish music theory.
Некоторые промежуточные размеры тонов и полутонов также могут быть получены в системах равного темперамента путем изменения размеров запятой и полутонов. В пределе, когда размер c и κ стремится к нулю при фиксированной октаве, получается , а в пределе, когда s и κ стремятся к нулю – ; это, конечно, соответствует случаям и . Например:
Some of the intermediate sizes of tones and semitones can also be generated in equal temperament systems, by modifying the sizes of the comma and semitones. One obtains in the limit as the size of c and κ tend to zero, with the octave kept fixed, and in the limit as s and κ tend to zero; is of course, the case and For instance:
and There are two extreme cases that bracket this framework: When s and κ reduce to zero with the octave size kept fixed, the result is a 5 tone equal temperament. As the s gets larger (and absorbs the space formerly used for the comma κ), eventually the steps are all the same size, and the result is seven tone equal temperament. These two extremes are not included as "regular" diatonic tunings. If the diatonic semitone is set double the size of the chromatic semitone, i. e. (in cents) and the result is with one step for the chromatic semitone c, two steps for the diatonic semitone s, three steps for the tones T = t, and the total number of steps 19 steps. The imbedded 12 tone sub system closely approximates the historically important meantone system. If the chromatic semitone is two thirds the size of the diatonic semitone, i. e. with the result is 31 , with two steps for the chromatic semitone, three steps for the diatonic semitone, and five steps for the tone, where 31 steps. The imbedded 12 tone sub system closely approximates the historically important meantone. If the chromatic semitone is made the same size as three commas, (in cents, in frequency ) the diatonic the same as five commas, that makes the lesser tone eight commas and the greater tone nine, Hence for 53 steps of one comma each. The comma size / step size is exactly, or the syntonic comma. It is an exceedingly close approximation to just intonation, and is still in use for classical Turkish music theory.
и
Some of the intermediate sizes of tones and semitones can also be generated in equal temperament systems, by modifying the sizes of the comma and semitones. One obtains in the limit as the size of c and κ tend to zero, with the octave kept fixed, and in the limit as s and κ tend to zero; is of course, the case and For instance:
and There are two extreme cases that bracket this framework: When s and κ reduce to zero with the octave size kept fixed, the result is a 5 tone equal temperament. As the s gets larger (and absorbs the space formerly used for the comma κ), eventually the steps are all the same size, and the result is seven tone equal temperament. These two extremes are not included as "regular" diatonic tunings. If the diatonic semitone is set double the size of the chromatic semitone, i. e. (in cents) and the result is with one step for the chromatic semitone c, two steps for the diatonic semitone s, three steps for the tones T = t, and the total number of steps 19 steps. The imbedded 12 tone sub system closely approximates the historically important meantone system. If the chromatic semitone is two thirds the size of the diatonic semitone, i. e. with the result is 31 , with two steps for the chromatic semitone, three steps for the diatonic semitone, and five steps for the tone, where 31 steps. The imbedded 12 tone sub system closely approximates the historically important meantone. If the chromatic semitone is made the same size as three commas, (in cents, in frequency ) the diatonic the same as five commas, that makes the lesser tone eight commas and the greater tone nine, Hence for 53 steps of one comma each. The comma size / step size is exactly, or the syntonic comma. It is an exceedingly close approximation to just intonation, and is still in use for classical Turkish music theory.
Существует два крайних случая, ограничивающих эту структуру: когда s и κ уменьшаются до нуля при фиксированном размере октавы, результатом является 5-тоновый равный темперамент. По мере увеличения s (и поглощения пространства, ранее занимаемого запятой κ), шаги в конечном итоге становятся все одинакового размера, и получается 7-тоновый равный темперамент. Эти две крайности не включаются в число "регулярных" диатонических строев. Если диатонический полутон установлен вдвое больше хроматического, то есть (в центах), и , то получится 19 шагов: один шаг для хроматического полутона c, два шага для диатонического полутона s, три шага для тонов T = t. Встроенная 12-тоновая подсистема близко приближается к исторически важной системе меантона. Если хроматический полутон составляет две трети размера диатонического, то есть с , то получится 31 шаг: два шага для хроматического полутона, три шага для диатонического полутона и пять шагов для тона, где 31 шаг. Встроенная 12-тоновая подсистема близко приближается к исторически важной системе меантона. Если размер хроматического полутона равен трем запятым, а диатонического – пяти запятым, то малый тон будет равен восьми запятым, а большой – девяти, что дает 53 шага по одной запятой. Размер запятой / размер шага точно равен, или синтонической запятой. Это чрезвычайно близкое приближение к чистой интонации, которое до сих пор используется в классической турецкой теории музыки.
Some of the intermediate sizes of tones and semitones can also be generated in equal temperament systems, by modifying the sizes of the comma and semitones. One obtains in the limit as the size of c and κ tend to zero, with the octave kept fixed, and in the limit as s and κ tend to zero; is of course, the case and For instance:
and There are two extreme cases that bracket this framework: When s and κ reduce to zero with the octave size kept fixed, the result is a 5 tone equal temperament. As the s gets larger (and absorbs the space formerly used for the comma κ), eventually the steps are all the same size, and the result is seven tone equal temperament. These two extremes are not included as "regular" diatonic tunings. If the diatonic semitone is set double the size of the chromatic semitone, i. e. (in cents) and the result is with one step for the chromatic semitone c, two steps for the diatonic semitone s, three steps for the tones T = t, and the total number of steps 19 steps. The imbedded 12 tone sub system closely approximates the historically important meantone system. If the chromatic semitone is two thirds the size of the diatonic semitone, i. e. with the result is 31 , with two steps for the chromatic semitone, three steps for the diatonic semitone, and five steps for the tone, where 31 steps. The imbedded 12 tone sub system closely approximates the historically important meantone. If the chromatic semitone is made the same size as three commas, (in cents, in frequency ) the diatonic the same as five commas, that makes the lesser tone eight commas and the greater tone nine, Hence for 53 steps of one comma each. The comma size / step size is exactly, or the syntonic comma. It is an exceedingly close approximation to just intonation, and is still in use for classical Turkish music theory.