Чистая интонация в музыке: основы и пределы

Введение

Музыкальная настройка, основанная на чистых интервалах

В музыке, справедливая интонация или чистая интонация – это настройка музыкальных интервалов в виде отношений целых чисел (например, 3:2 или 4:3) частот. Интервал, настроенный таким образом, считается чистым и называется справедливым интервалом. Справедливые интервалы (и аккорды, созданные путем их сочетания) состоят из тонов из единой гармонической серии подразумеваемого основного тона. Например, на диаграмме, если ноты G3 и C4 (обозначенные 3 и 4) настроены как члены гармонической серии самой низкой ноты C, их частоты будут в 3 и 4 раза больше основной частоты. Таким образом, отношение интервала между C4 и G3 составляет 4:3, что является чистой квартой. В западной музыкальной практике струнные смычковые инструменты, такие как скрипки, альты, виолончели и контрабасы, настраиваются с использованием чистых квинт или кварт. В отличие от них, клавишные инструменты редко настраиваются исключительно с использованием чистых интервалов – стремление к тому, чтобы разные тональности имели идентичные интервалы в западной музыке, делает это непрактичным. Некоторые инструменты с фиксированной высотой звука, такие как электропианино, обычно настраиваются с использованием равной темперации, в которой все интервалы, кроме октав, состоят из иррациональных отношений частот. Акустические пианино обычно настраиваются с немного расширенными октавами и, следовательно, без чистых интервалов вовсе. Фраза «справедливая интонация» используется как для обозначения одной конкретной версии диатонической интонации с лимитом в 5, то есть интенсивной диатоники Птолемея, так и целого класса настроек, использующих интервалы целых чисел, полученные из гармонического ряда. В этом смысле «справедливая интонация» отличается от равных темпераций и «темперированных» настроек раннего Ренессанса и барокко, таких как темперация Уэлла или темперация Миантона. Поскольку лимит в 5 является наиболее распространенной справедливой интонацией, используемой в западной музыке, западные музыканты впоследствии склонны считать эту гамму единственной версией справедливой интонации. В принципе, существует бесконечное количество возможных «справедливых интонаций», поскольку гармонический ряд бесконечен.

Терминология

Простые интонации классифицируются по понятию лимитов. Лимит относится к наибольшему простому числу, входящему в интервалы лада. Все интервалы любой 3-лимитной простой интонации будут кратны 3. Таким образом, 5 входит в 5-лимит, поскольку в его знаменателе есть 5. Если в ладе используется интервал 21:20, то это 7-лимитная простая интонация, так как 21 кратно 7. Интервал является 3-лимитным, поскольку и числитель, и знаменатель кратны 3 и 2. Возможно создание лада, использующего 5-лимитные интервалы, но не 2-лимитные, то есть без октав, как, например, альфа- и бета-лады Венди Карлос. Также можно создавать диатонические лады, которые не используют кварты или квинты (3-лимит), а используют только 5- и 7-лимитные интервалы. Таким образом, понятие лимита является полезным разграничением, но, конечно, не раскрывает всего, что нужно знать об определенном ладе. Пифагорейский строй, или 3-лимитный строй, допускает отношения, включающие числа 2 и 3 и их степени, такие как 3:2 – совершенная квинта, и 9:4 – большая нона. Хотя интервал от до до соль называется совершенной квинтой в целях музыкального анализа, независимо от метода настройки, для обсуждения систем настройки музыковеды могут различать совершенную квинту, созданную с использованием отношения 3:2, и темпераментную квинту, использующую другую систему, такую как меантон или равный темперамент. 5-лимитный строй охватывает отношения, дополнительно использующие число 5 и его степени, такие как 5:4 – большая терция, и 15:8 – большая септима. Специальный термин «совершенная терция» иногда используется для различения отношения 5:4 от больших терций, созданных другими методами настройки. 7-лимитные и более высокие системы используют более высокие простые гармоники в обертоновом ряду (например, 11, 13, 17 и т. д.). Коммы – это очень маленькие интервалы, возникающие из-за незначительных различий между парами простых интервалов. Например, отношение (5-лимит) 5:4 отличается от пифагорейской (3-лимит) большой терции (81:64) на разницу 81:80, называемую синтонической коммой. Септимальная comma, отношение 64:63, является 7-лимитным интервалом, который представляет собой расстояние между пифагорейским полутоном и септимальной малой терцией 7:6, поскольку цент – это мера размера интервала. Она логарифмическая по отношению к музыкальным частотам. Октава разделена на 1200 шагов, 100 центов на каждый полутон. Центы часто используются для описания того, насколько справедливый интервал отклоняется от. Например, большая терция составляет 400 центов в 12-ТЕТ, но 5-я гармоника 5:4 составляет 386,314 центов. Таким образом, справедливая большая терция отклоняется на −13,686 центов.

Just intonations are categorized by the notion of limits. The limit refers to the highest prime number fraction included in the intervals of a scale. All the intervals of any 3 limit just intonation will be multiples of 3. So is included in 5 limit, because it has 5 in the denominator. If a scale uses an interval of 21:20, it is a 7 limit just intonation, since 21 is a multiple of 7. The interval is a 3 limit interval because both numerator and denominator are multiples of 3 and 2. It is possible to have a scale that uses 5 limit intervals but not 2 limit intervals, i. e. no octaves, such as Wendy Carlos's alpha and beta scales. It is also possible to make diatonic scales that do not use fourths or fifths (3 limit), but use 5 and 7 limit intervals only. Thus, the notion of limit is a helpful distinction, but certainly does not tell us everything there is to know about a particular scale. Pythagorean tuning, or 3 limit tuning, allows ratios including the numbers 2 and 3 and their powers, such as 3:2, a perfect fifth, and 9:4, a major ninth. Although the interval from C to G is called a perfect fifth for purposes of music analysis regardless of its tuning method, for purposes of discussing tuning systems musicologists may distinguish between a perfect fifth created using the 3:2 ratio and a tempered fifth using some other system, such as meantone or equal temperament. 5 limit tuning encompasses ratios additionally using the number 5 and its powers, such as 5:4, a major third, and 15:8, a major seventh. The specialized term perfect third is occasionally used to distinguish the 5:4 ratio from major thirds created using other tuning methods. 7 limit and higher systems use higher prime number partials in the overtone series (e. g. 11, 13, 17, etc.) Commas are very small intervals that result from minute differences between pairs of just intervals. For example, the (5 limit) 5:4 ratio is different from the Pythagorean (3 limit) major third (81:64) by a difference of 81:80, called the syntonic comma. The septimal comma, the ratio of 64:63, is a 7 limit interval which is the distance between the Pythagorean semi ditone, , and the septimal minor third, 7:6 , since

A cent is a measure of interval size. It is logarithmic in the musical frequency ratios. The octave is divided into 1200 steps, 100 cents for each semitone. Cents are often used to describe how much a just interval deviates from For example, the major third is 400 cents in 12 TET, but the 5th harmonic, 5:4 is 386.314 cents. Thus, the just major third deviates by −13.686 cents.

История

Пифагорейская настройка приписывается как Пифагору, так и Эратосфену более поздними авторами, однако могла быть проанализирована и другими ранними греками или другими древними культурами. Самое раннее известное описание системы пифагорейской настройки встречается в вавилонских артефактах. Во II веке нашей эры Клавдий Птолемей описал диатонический лад с пределом 5 в своем влиятельном труде по теории музыки «Harmonics», назвав его «интенсивным диатоническим». Индийская музыка, используя соотношения длин струн 120:100:90:80:75:60, располагает обширной теоретической базой для настройки в чистой интонации.

Диатоника

В 2000–2004 годах Марк Сабат и Вольфганг фон Швайнциц работали в Берлине над разработкой иного метода, основанного на случайных отклонениях – расширенной нотации питча Гельмгольца-Эллиса JI. Продолжая метод обозначения, предложенный Гельмгольцем в его классическом труде «О ощущениях тона как физиологической основе теории музыки», с использованием изобретения Эллиса – центов, и развивая идею Джонстона об «Расширенной JI», Сабат и Швайнциц предлагают уникальные символы (знаки альтерации) для каждого простого измерения гармонического пространства. В частности, традиционные бемоли, натурали и диезы определяют пифагорейский ряд чистых квинт. Пифагорейские высоты затем сопоставляются с новыми символами, которые коматически изменяют их, представляя различные другие гармоники гармонического ряда (рис. 1). Для упрощения быстрой оценки высоты тона можно добавлять указания в центах (например, отклонения вниз от и отклонения вверх от соответствующего знака альтерации). Общепринято, что центовые отклонения относятся к темперированной высоте, подразумеваемой бемолем, натуралью или диезом. Полная легенда и шрифты для данной нотации (см. примеры) имеют открытый исходный код и доступны на сайте Plainsound Music Edition. Например, пифагорейская большая терция от До – это До Ми, а чистая большая терция – До Ми↓ (см. рис. 4 для «комбинированного» символа).

Сагиттальная нотация (от латинского sagitta, «стрела») – это система знаков альтерации в виде стрелок, указывающих на изменения в комах простых чисел в пифагорейском ряду. Она используется для записи как чистой интонации, так и равной темперации. Размер символа указывает на величину изменения. Главное преимущество таких систем нотации заключается в том, что они позволяют точно записывать естественные гармонические ряды. В то же время они обеспечивают определенную практичность за счет расширения традиционной нотации, поскольку музыканты, получившие классическое образование, могут использовать свою интуицию для приблизительной оценки высоты тона. Это отличается от более абстрактного использования отношений для представления высоты, где величина разницы между двумя тонами и «направление» изменения могут быть не сразу очевидны большинству музыкантов. Одним из ограничений является необходимость для исполнителей изучать и запоминать (большое) количество новых графических символов. Однако использование уникальных символов снижает гармоническую неоднозначность и потенциальную путаницу, возникающую при указании только центовых отклонений.

Примеры аудио

Мажорная гамма ля, за которой следуют три мажорных трезвучия, а затем последовательность квинт в чистой интонации. Мажорная гамма ля, за которой следуют три мажорных трезвучия, а затем последовательность квинт в равном темпераменте. Биения в этом файле могут быть более заметными после прослушивания предыдущего файла. Пара мажорных терций, за которой следует пара полных мажорных аккордов. Первый в каждой паре в равном темпераменте, второй – в чистой интонации. Звук фортепиано. Пара мажорных аккордов. Первый – в равном темпераменте, второй – в чистой интонации. Пара аккордов повторяется с переходом от равного темперамента к чистой интонации между двумя аккордами. В аккордах в равном темпераменте можно услышать шероховатость или биения примерно на 4 Гц и 0,8 Гц. В трезвучии в чистой интонации эта шероховатость отсутствует. Квадратная волна делает разницу между равным темпераментом и чистой интонацией более очевидной.