Введение

Топологическая структура групп, возникающая в анализе Фурье.

В нескольких областях математики, включая гармонический анализ, топологию и теорию чисел, локально компактные абелевы группы — это абелевы группы, на которых определена особенно удобная топология. Например, группа целых чисел (с дискретной топологией), действительные числа или окружность (обе с их обычной топологией) являются локально компактными абелевыми группами.

Двойная группа

Если G — локально компактная абелева группа, то характером G является непрерывный групповой гомоморфизм из G в круговую группу T. Множество всех характеров на G можно превратить в локально компактную абелеву группу, называемую двойственной группой к G и обозначаемую Ĝ. Групповая операция в двойственной группе задается поточечным умножением характеров, обратным к характеру является его комплексное сопряжение, а топология на пространстве характеров — это топология равномерной сходимости на компактных множествах (то есть компактно-открытая топология, рассматриваемая как подмножество пространства всех непрерывных функций из G в T). Эта топология, как правило, не метризуема. Однако, если группа G — сепарабельная локально компактная абелева группа, то двойственная группа Ĝ метризуема. Это аналогично дуальному пространству в линейной алгебре: как для векторного пространства V над полем K дуальное пространство равно V*, так и двойственная группа Ĝ аналогична G. Более абстрактно, это оба примеры представимых функторов, представляемых соответственно Hom(G, T) и Hom(V, K). Группа, изоморфная (как топологические группы) своей двойственной группе, называется самодвойственной. В то время как вещественные числа и конечные циклические группы являются самодвойственными, группа G и ее двойственная группа Ĝ не являются естественным образом изоморфными и должны рассматриваться как две различные группы.

Примеры двойных групп

Двойственная группа к изоморфна группе круга. Характер на бесконечной циклической группе целых чисел под сложением определяется своим значением в генераторе 1. Таким образом, для любого характера χ на ℤ, χ(n) = e^(2πinθ) для некоторого θ. Более того, эта формула определяет характер для любого выбора θ из ℝ. Топология равномерной сходимости на компактных множествах в этом случае совпадает с топологией поточечной сходимости. Это топология группы круга, унаследованная от комплексных чисел. Двойственная группа к ℝ канонически изоморфна ℝ. Действительно, характер на ℝ имеет вид χ(x) = e^(2πixθ) для некоторого целого числа θ. Поскольку ℝ компактна, топология на двойственной группе является топологией равномерной сходимости, которая оказывается дискретной топологией. Группа действительных чисел ℝ изоморфна своему собственному дуалу; характеры на ℝ имеют вид χ(x) = e^(2πixθ) для некоторого действительного числа θ. При этих двойственности, версия преобразования Фурье, которая будет представлена далее, совпадает с классическим преобразованием Фурье на ℝ. Аналогично, группа p-адических чисел ℚp изоморфна своему дуалу. (На самом деле, любое конечное расширение ℚp также является самодуальным.) Из этого следует, что адели являются самодуальными.

Категорические свойства

показывает, что категория LCA локально компактных абелевых групп, в очень грубом приближении, измеряет различие между целыми числами и действительными числами. Более точно, алгебраический спектр K-теории категории локально компактных абелевых групп, а также спектры для Z и R, находятся в гомотопической последовательности волокна.