Введение
Расширение алгебраического поля
В математике расширение Галуа — это алгебраическое расширение поля E/F, которое является нормальным и сепарабельным; или, эквивалентно, E/F алгебраично, а поле, фиксированное группой автоморфизмов Aut(E/F), является точно базовым полем F. Значимость расширения Галуа заключается в том, что такое расширение имеет группу Галуа и удовлетворяет основной теореме теории Галуа. Результат Эмиля Артина позволяет строить расширения Галуа следующим образом: если E — заданное поле, а G — конечная группа автоморфизмов E с фиксированным полем F, то E/F является расширением Галуа. Свойство расширения быть расширением Галуа хорошо сохраняется при композиции полей и пересечении.
In mathematics, a Galois extension is an algebraic field extension E/F that is normal and separable; or equivalently, E/F is algebraic, and the field fixed by the automorphism group Aut(E/F) is precisely the base field F. The significance of being a Galois extension is that the extension has a Galois group and obeys the fundamental theorem of Galois theory. A result of Emil Artin allows one to construct Galois extensions as follows: If E is a given field, and G is a finite group of automorphisms of E with fixed field F, then E/F is a Galois extension. The property of an extension being Galois behaves well with respect to field composition and intersection.
Примеры
Существует два основных способа построения примеров расширений Галуа. Возьмите любое поле, любую конечную подгруппу группы Галуа этого поля, и пусть – фиксированное поле. Возьмите любое поле, любой сепарабельный многочлен над этим полем, и пусть – его поле расщепления. Присоединение к полю рациональных чисел квадратного корня из 2 дает расширение Галуа, а присоединение кубического корня из 2 дает расширение, не являющееся расширением Галуа. Оба этих расширения сепарабельны, поскольку они имеют характеристику ноль. Первое из них является полем расщепления многочлена ; второе имеет нормальное замыкание, включающее комплексные кубические корни из единицы, и поэтому не является полем расщепления. Фактически, у него нет автоморфизмов, отличных от тождественного, поскольку оно содержится в действительных числах и имеет только один действительный корень. Более подробные примеры можно найти на странице, посвященной фундаментальной теореме теории Галуа. Алгебраическое замыкание произвольного поля является расширением Галуа над этим полем тогда и только тогда, когда это поле совершенно.