Введение
В математике, в частности в теории поля, сопряжённые элементы или алгебраические сопряжённые алгебраического элемента α над расширением поля L/K являются корнями минимального многочлена pK,α(x) элемента α над K. Сопряжённые элементы обычно называются сопряжёнными в контексте, где это не вызывает двусмысленности. Обычно сам α включается в множество сопряжённых α. Эквивалентно, сопряжённые α – это образы α при полевых автоморфизмах L, фиксирующих элементы K. Эквивалентность этих двух определений является одним из отправных пунктов теории Галуа. Данное понятие обобщает комплексное сопряжение, поскольку алгебраические сопряжённые комплексного числа – это само число и его комплексно сопряжённое.
Equivalently, the conjugates of α are the images of α under the field automorphisms of L that leave fixed the elements of K. The equivalence of the two definitions is one of the starting points of Galois theory. The concept generalizes the complex conjugation, since the algebraic conjugates over of a complex number are the number itself and its complex conjugate.
Свойства
Если K задано внутри алгебраически замкнутого поля C, то сопряженные можно взять внутри C. Если такое C не указано, можно взять сопряженные в некотором относительно небольшом поле L. Наименьший возможный выбор для L – взять разлагающее поле над K для p(K, α), содержащее α. Если L – любое нормальное расширение K, содержащее α, то по определению оно уже содержит такое разлагающее поле. Пусть L – нормальное расширение K, с группой автоморфизмов Aut(L/K) = G, содержащее α. Тогда любой элемент g(α) для g из G будет сопряженным к α, поскольку автоморфизм g отображает корни p в корни p. Обратно, любой сопряженный β к α имеет такой вид: другими словами, G действует транзитивно на сопряженные. Это следует из того, что K(α) изоморфно K(β) по неприводимости минимального многочлена, и любой изоморфизм полей F и F, отображающий многочлен p в p, может быть расширен до изоморфизма разлагающих полей p над F и p над F соответственно. В итоге, сопряженные элементы α можно найти в любом нормальном расширении L поля K, содержащем K(α), как множество элементов g(α) для g из Aut(L/K). Число повторений каждого элемента в этом списке равно сепарабельной степени [L:K(α)]sep.
Теорема Кронекера утверждает, что если α – ненулевое алгебраическое целое, такое, что α и все его сопряженные в комплексных числах имеют абсолютное значение не более 1, то α является корнем из единицы. Существуют количественные формулировки этой теоремы, более точно определяющие границы (зависящие от степени) на наибольшее абсолютное значение сопряженного, что влечет за собой, что алгебраическое целое является корнем из единицы.