Кіріспе

Математикада, әсіресе өріс теориясында, алгебралық элемент α-ның конъюгат элементтері немесе алгебралық конъюгаттары, L/K өріс кеңейтуі бойынша, α-ның K-ге қатысты ең төменгі дәрежелі көпмүшесі pK,α(x)-тың түбірлері болып табылады. Конъюгат элементтер жиі конъюгаттар деп аталады. Көбінесе α-ның өзі де α-ның конъюгаттары жиынына кіреді. Балама ретінде, α-ның конъюгаттары – K элементтерін өзгеріссіз қалдыратын L өрісінің автоморфизмдері арқылы алынған α-ның бейнелері. Екі анықтаманың сәйкес келуі Галуа теориясының бастапқы қағидаларының бірі болып табылады. Бұл түсінік күрделі конъюгацияны жалпылайды, себебі күрделі санның алгебралық конъюгаттары – санның өзі және оның күрделі конъюгаты.

Қасиеттері

Егер K алгебралық жабық C өрісінде берілген болса, онда конъюгаттарды C ішінде алуға болады. Егер мұндай C көрсетілмесе, конъюгаттарды салыстырмалы түрде кіші L өрісінен алуға болады. L үшін ең кіші мүмкін таңдау – K үстіне pK,α, құрамында α бар, бөлу өрісін алу. Егер L – K-нің α құрайтын кез келген қалыпты кеңейтімі болса, онда ол анықтамасы бойынша мұндай бөліну өрісін қамтиды. Автоморфизм тобы Aut(L/K) = G, және α бар K-нің L қалыпты кеңейтуін ескере отырып, G-дегі g үшін кез келген g(α) элементі α-ның конъюгаты болады, өйткені автоморфизм g, p-нің түбірін p-нің түбіріне жібереді. Керісінше, α-ның кез келген конъюгаты β осы формада болады: яғни, G конъюгаттарға транзитивті әсер етеді. Бұл K(α)-ның K(β)-ға минималды полиномның ирредукциясы арқылы изоморфты екендігінен туындайды, ал F және F өрістерінің кез келген изоморфизмі, полиномды p-ден p-ге бейнелейтін болса, сәйкесінше p / F және p / F бөлу өрістерінің изоморфизміне кеңейтілуі мүмкін. Қорыта айтқанда, α-ның конъюгат элементтері K-нің кез келген L қалыпты кеңейтімінде K(α) қамтитын жағдайда, g(α) элементтерінің жиынтығы ретінде табылады, мұнда g – Aut(L/K)-дан. Бұл тізімдегі әрбір элементтің қайталану саны – бөлінбейтін дәрежесі [L:K(α)]sep.

Кронекер теоремасы бойынша, егер α – нөлден өзге алгебралық бүтін сан болса және α мен оның барлық конъюгаттарының абсолюттік мәні күрделі сандарда 1-ден аспаса, онда α – бірліктің түбірі. Бұның сандық формалары да бар, олар алгебралық бүтін санның бірліктің түбірі екенін көрсететін конъюгаттың ең үлкен абсолюттік мәніне (дәрежеге байланысты) нақтырақ шектеулер қояды.