Равномерная непрерывность функций и ее применения.

Введение

Отношение между непрерывными функциями
В математическом анализе семейство функций называется равнонепрерывным, если все функции в нем непрерывны и имеют одинаковую вариацию в заданной окрестности в точном смысле, описанном ниже. В частности, это понятие применимо к счетным семействам и, следовательно, к последовательностям функций. Равнонепрерывность фигурирует в формулировке теоремы Асколи, которая утверждает, что подмножество C(X) – пространства непрерывных функций на компактном хаусдорфовом пространстве X – компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто, поточечно ограничено и равнонепрерывно. Как следствие, последовательность в C(X) равномерно сходится тогда и только тогда, когда она равнонепрерывна и поточечно сходится к функции (не обязательно непрерывной априори). В частности, предел равнонепрерывной поточечно сходящейся последовательности непрерывных функций fn на метрическом или локально компактном пространстве является непрерывной функцией. Если, кроме того, функции fn голоморфны, то и предел также голоморфен. Принцип равномерной ограниченности утверждает, что поточечно ограниченное семейство непрерывных линейных операторов между банаховыми пространствами является равнонепрерывным.

Примеры

Набор функций с общей константой Липшица является (равномерно) равнонепрерывным. В частности, это верно, если множество состоит из функций, чьи производные ограничены одной и той же константой. Принцип равномерной ограниченности дает достаточное условие для того, чтобы набор непрерывных линейных операторов был равнонепрерывным. Семейство итераций аналитической функции является равнонепрерывным на множестве Фату.

Контрпримеры

Последовательность функций fn(x) = arctan(nx) не является равнонепрерывной, поскольку определение не выполняется в точке x0=0.

Равнопроницаемость карт, оцененных в топологических группах

Предположим, что T — топологическое пространство, а Y — аддитивная топологическая группа (т. е. группа, наделенная топологией, делающей ее операции непрерывными). Топологические векторные пространства являются яркими примерами топологических групп, и каждая топологическая группа имеет связанную с ней каноническую однородность. Определение: Семейство H отображений из T в Y называется равнонепрерывным в точке t ∈ T, если для каждой окрестности V нуля в Y существует окрестность U точки t в T такая, что h(U) ⊆ h(t) + V для каждого h ∈ H. Говорят, что H равнонепрерывно, если оно равнонепрерывно в каждой точке T.

Отметим, что если H равнонепрерывно в точке, то каждое отображение в H непрерывно в этой точке. Очевидно, что любое конечное множество непрерывных отображений из T в Y является равнонепрерывным.

Равнопрочные линейные карты

Поскольку каждое топологическое векторное пространство (ТВП) является топологической группой, определение равномерно непрерывного семейства отображений, заданное для топологических групп, переносится на ТВП без изменений.

Свойства равнопродолжительных линейных карт

Принцип равномерной ограниченности (также известный как теорема Банаха — Штейнхауса) утверждает, что семейство линейных отображений между банаховыми пространствами равнонепрерывно, если оно поточечно ограничено; то есть, для каждого x выполняется... Результат может быть обобщён на случай, когда пространство X локально выпукло, а Y — бочкообразное.

Свойства равнопродолжительных линейных функционалов

Теорема Алоглу подразумевает, что слабое * -замыкание равнонепрерывного подмножества является слабо * -компактным; таким образом, любое равнонепрерывное подмножество является слабо * -относительно компактным. Если X – любое локально выпуклое TVS, то семейство всех бочек в X и семейство всех подмножеств X, которые выпуклые, сбалансированные, замкнутые и ограниченные в X, соответствуют друг другу полярностью (относительно X). Отсюда следует, что локально выпуклое TVS X является баррелированным тогда и только тогда, когда каждое ограниченное подмножество X является равнонепрерывным.

Равное непрерывность и равномерное сближение

Пусть X — компактное пространство Хаусдорфа, и снабдим C(X) равномерной нормой, тем самым делая C(X) пространством Банаха, а следовательно, метрическим пространством. Тогда теорема Арзела-Асколи утверждает, что подмножество C(X) компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто, равномерно ограничено и равнонепрерывно. Это аналогично теореме Хайне-Бореля, которая утверждает, что подмножества Rn компактны тогда и только тогда, когда они замкнуты и ограничены. Как следствие, любая равномерно ограниченная и равнонепрерывная последовательность в C(X) содержит подпоследовательность, равномерно сходящуюся к непрерывной функции на X. В соответствии с теоремой Арзела-Асколи, последовательность в C(X) сходится равномерно тогда и только тогда, когда она равнонепрерывна и сходится поточечно. Гипотезу утверждения можно немного ослабить: последовательность в C(X) сходится равномерно, если она равнонепрерывна и сходится поточечно на плотном подмножестве к некоторой функции на X (не предполагается непрерывной). Эта более слабая версия обычно используется для доказательства теоремы Арзела-Асколи для сепарабельных компактных пространств. Другим следствием является то, что предел равнонепрерывной поточечно сходящейся последовательности непрерывных функций на метрическом пространстве или на локально компактном пространстве является непрерывным. (Смотрите пример ниже.) В вышесказанном, гипотезу компактности X нельзя ослабить. Чтобы увидеть это, рассмотрим непрерывную функцию g с компактным носителем на R, такую что g(0) = 1, и рассмотрим равнонепрерывную последовательность функций на R, определенную как ƒn(x) = g(x − n). Тогда ƒn сходится поточечно к 0, но не сходится равномерно к 0. Этот критерий для равномерной сходимости часто полезен в вещественном и комплексном анализе. Предположим, что нам дана последовательность непрерывных функций, которая сходится поточечно на некоторое открытое подмножество G из Rn. Как отмечалось выше, она фактически сходится равномерно на компактном подмножестве G, если она равнонепрерывна на компактном множестве. На практике, показать равнонепрерывность часто не так сложно. Например, если последовательность состоит из дифференцируемых функций или функций с некоторой регулярностью (например, функции являются решениями дифференциального уравнения), то теорема о среднем значении или некоторые другие виды оценок могут быть использованы для того, чтобы показать, что последовательность равнонепрерывна. Из этого следует, что предел последовательности непрерывен на каждом компактном подмножестве G; таким образом, непрерывен на G. Аналогичный аргумент можно привести, когда функции голоморфны. Можно использовать, например, оценку Коши, чтобы показать равнонепрерывность (на компактном подмножестве) и заключить, что предел голоморфен. Обратите внимание, что здесь равнонепрерывность существенна. Например, ƒn(x) = arctan(nx) сходится к кратному разрывной функции знака.

Стохастическая равнопродолжительность

Стохастическая равнонепрерывность — это вариант равнонепрерывности, используемый в контексте последовательностей функций от случайных величин и их сходимости.